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（2025年中考数学押题练习）江苏省各地区中考真题重组卷（一）
一．选择题（共10小题）
1．（2024 无锡）函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x≠5 C．x＜5 D．x≠﹣5
2．（2024 南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．5 D．9
3．（2024 常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．第1km所用的时间最长
B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同
D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
4．（2024 南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
5．（2024 苏州）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（　　）
A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b
6．（2024 无锡）下列命题中，是真命题的为（　　）
A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
7．（2024 无锡）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a6 B．6a2﹣2a2＝3a2
C．a2 a4＝a6 D．（2a2）3＝6a6
8．（2024 徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
9．（2024 宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
10．（2024 南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　）
A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200
二．填空题（共6小题）
11．（2024 镇江）分解因式：x2+3x＝　 　 ．
12．（2024 无锡）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　 　 ．
13．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 　 　 ．
14．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　 　 ．
15．（2024 徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　 　 °．
16．（2024 连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 　 　 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2024 苏州）解方程组：．
18．（2024 连云港）计算：．
19．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
20．（2024 常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 　 　 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
21．（2024 扬州）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 　 　 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 　 　 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
22．（2024 淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
23．（2024 无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
24．（2024 无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
25．（2024 无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2024 连云港）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
27．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝　 　 ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
（2025年中考数学押题练习）江苏省各地区中考真题重组卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D D C C C A
一．选择题（共10小题）
1．（2024 无锡）函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x≠5 C．x＜5 D．x≠﹣5
【解答】解：由题意得：5﹣x≠0，
解得：x≠5，
故选：B．
2．（2024 南京）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．5 D．9
【解答】解：连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°，
∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB＝15，BC＝17，
∴AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED，
∴∠BAD＝∠BEC＝90°，
∴CE8，
∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠CHD＝90°，
∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH＝AD，DH＝AB＝15，
∴CH＝BC﹣BH＝17﹣AD，
∵DH2+CH2＝CD2，且CD＝CE+ED＝8+AD，
∴152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2，
解得AD＝9，
故选：D．
3．（2024 常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（　　）
A．第1km所用的时间最长
B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同
D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
【解答】解：由图象可知，
第1km所用的时间最长，约4.5分钟，故选项A说法正确，不符合题意；
第5km所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项B说法正确，不符合题意；
第2km和第3km的平均速度相同，故选项C说法正确，不符合题意；
前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
4．（2024 南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
【解答】解：延长CB与直线b交于点M，
∵a∥b，∠2＝41°，
∴∠BMA＝∠2＝41°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠1+∠BMA＝90°，
∴∠1＝90°﹣41°＝49°．
故选：C．
5．（2024 苏州）若a＞b﹣1，则下列结论一定正确的是（　　）
A．a+1＜b B．a﹣1＜b C．a＞b D．a+1＞b
【解答】解：若a＞b﹣1，不等式两边加1可得a+1＞b，故A不合题意，D符合题意，
根据a＞b﹣1，得不到a﹣1＜b，a＞b，故B、C不符合题意．
故选：D．
6．（2024 无锡）下列命题中，是真命题的为（　　）
A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形
【解答】解：A、一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、一组对边相等且对角线互相平分的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形，是真命题，符合题意；
故选：D．
7．（2024 无锡）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a6 B．6a2﹣2a2＝3a2
C．a2 a4＝a6 D．（2a2）3＝6a6
【解答】解：a2+a2＝2a2，则A不符合题意，
6a2﹣2a2＝4a2，则B不符合题意，
a2 a4＝a6，则C符合题意，
（2a2）3＝8a6，则D不符合题意，
故选：C．
8．（2024 徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【解答】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速行驶，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
9．（2024 宿迁）如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DFN＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠DFN＝140°，
故选：C．
10．（2024 南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　）
A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200
【解答】解：由题意可得，
7200（1+x）2＝8450，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 镇江）分解因式：x2+3x＝　x（x+3）　 ．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
12．（2024 无锡）某个函数的图象关于原点对称，且当x＞0时，y随x的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　（答案不唯一）　 ．
【解答】解：根据题意有：，
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 　20π　 ．
【解答】解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为2π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
14．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 　2　 ．
【解答】解：设点B坐标为（m，），则C（m，0），
∵A（1，0），
∴AC＝m﹣1，
由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG，DG，
∴D（，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴（） k ①，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，
∴BCAC，即（m﹣1）②，
由①②解得k＝2．
故答案为：2．
15．（2024 徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　35　 °．
【解答】解：连接OD，则∠ODC＝90°，∠COD＝70°；
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠CAD∠COD＝35°，
故答案为：35
16．（2024 连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，AB＝4，则BC的长为 　　 ．
【解答】解：方法一：设AG与BF交于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD＝4，
∵翻折，
∴，AG⊥BH，
设BG＝a，则BC＝5a，
∴，，
∵，
∴，
∵∠BMG＝∠C＝90°，
∴cos，
∴BM BF＝BG BC，
∴，
∴，经检验是原方程的解，
∴，
方法二：∵△ABG∽△BCF，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2024 苏州）解方程组：．
【解答】解：，
①﹣②得：4y＝4，即y＝1，
将y＝1代入①得：x＝3，
则方程组的解为．
18．（2024 连云港）计算：．
【解答】解：原式＝2+1﹣4
＝3﹣4
＝﹣1．
19．（2024 南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
20．（2024 常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 　　 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
21．（2024 扬州）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组 x＜60 5%
B组 60≤x＜70 15%
C组 70≤x＜80 a
D组 80≤x＜90 35%
E组 90≤x≤100 25%
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中a＝ 　20　 %，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在 　D　 组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【解答】解：（1）由题意得，C组的人数为200﹣10﹣30﹣70﹣50＝40（人），
∴a＝40÷200×100%＝20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
（2）将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
（3）1200×25%＝300（人）．
∴估计该校1200名学生中成绩在9（0分）以上（包括90分）的人数约300人．
22．（2024 淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG＝53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG＝37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：sin53°，sin37°，tan53°，tan37°）
【解答】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB＝x cm，则AC＝60+x，
∵sin53°，
∴AF＝（60+x） sin53°，
如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC＝60+2x，
∴AH＝（60+2x） sin37°，
∵AF＝AH，
∴（60+x） sin53°＝（60+2x） sin37°，
∴，
解得：x＝30．
答：每节拉杆的长度为30cm．
23．（2024 无锡）某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表：
A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元）
第一次 20 25 1150
第二次 10 20 800
（1）求A，B两种型号劳动用品的单价；
（2）若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变）
【解答】解：（1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，
，
解得：，
答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元．
（2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品（40﹣a）件，
根据题意可得：10≤a≤25，
设购买这40件劳动用品需要W元，
W＝20a+30（40﹣a）＝﹣10a+1200，
∵﹣10＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W取最小值，W＝﹣10×25+1200＝950，
∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元．
24．（2024 无锡）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD．
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度数．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）连接BD，如图：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
设∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
即2α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°
∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°
25．（2024 无锡）已知二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点和点B（2，1）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，试比较y1和y2的大小，并说明理由；
（3）点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上．问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把，B（2，1）代入y＝ax2+x+c得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）∵C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在该二次函数的图象上，
∴y1，y2，
∴y1﹣y2m，
当时，即时，y1＞y2；
当时，即时，y1＝y2；
当时，即时，y1＜y2；
（3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+e，
把，B（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为，
当PQ为正方形的边时，
①∵B（2，1），
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，如图1，
∵PQ∥MN，MG∥x轴，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，则MG＝2NG，
设NG＝t，则MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），
∴点N的纵坐标为﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t2﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，PM＝MN，
∴△PHM≌△MGN，
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t2+1），
把P（﹣3t，﹣2t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图2：构造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
设NH＝GM＝2t，则QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），Q（t，﹣2t2+4t+1），
把Q（t，﹣2t2+4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，﹣5）；
③如图3：构造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
设GN＝HM＝2t，则GM＝HP＝t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣t+1），P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1），
把P（﹣t，﹣2t2﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图4：构造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
设GM＝HN＝2t，则GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+t+1），P（t，﹣2t2﹣t+1），
把P（t，﹣2t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当PQ为正方形对角线时，
⑤如图5：构造矩形HGJI，过点P作PK⊥IJ于点K，
∴PK∥x轴，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
设QK＝x，则PK＝2x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四边形HGJI为正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，则，
∴，
设PG＝HN＝t，则PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣2t2+2t+1），N（0，﹣2t2+6t+1），P（﹣t，﹣2t2+3t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥如图6：构造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
设PG＝HM＝t，则PH＝GN＝3t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（0，﹣2t2﹣6t+1），P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣2t2﹣5t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或N（0，﹣5）或N（0，5）或或．
26．（2024 连云港）如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）利用图象直接写出时x的取值范围；
（3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
【解答】解：（1）∵点A在 的图象上，
∴当 x＝2时，．
∴A（2，3），
∴将点A（2，3）代入y＝kx+1，
得：k＝1．
（2）由（1）可知一次函数解析式为y＝x+1，
联立方程组，解得，，
A（2，3），B（﹣3，﹣2），
根据图象可知不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜2．
（3）由题意可知 C（0，1），CE＝4．
如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，
∵CE＝4，∠CEG＝45°，
∴．
又∵A（2，3），C（0，1），
∴．
由平移性质可知，阴影部分面积就是 ACFD的面积，即 ．
27．（2024 常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝　3　 ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝3，
即OC＝3，
故答案为：3；
（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线的x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝1（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，
同理可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上，点P的横坐标为：1或1.5或．
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