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（2025年中考数学押题练习）广东省各地区中考真题重组卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 广州）若a＜b，则（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b
2．（2024 广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024 广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
4．（2024 广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
6．（2024 广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
7．（2024 深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．（2024 广州）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（　　）
A．a的值为20
B．用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多
C．用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
9．（2024 广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2的图象如图所示，当（　　）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
10．（2024 深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
二．填空题（共5小题）
11．（2024 广州）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　 　 ．
12．（2024 深圳）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是 　 　 .（写出一个答案即可）
13．（2024 广州）定义新运算：a b例如：﹣2 4＝（﹣2）2﹣4＝0，2 3＝﹣2+3＝1．若x 1，则x的值为 　 　 ．
14．（2024 广州）如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　 　 ．
15．（2024 深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC，且点A落在反比例函数y（x＞0）上，点B落在反比例函数y（x＞0）上，则k＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2024 广东）计算：20×||3﹣1．
17．（2024 深圳）先化简，再代入求值：，其中．
18．（2024 广州）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
A组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求A组同学得分的中位数和众数；
（2）现从A，B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
19．（2024 深圳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC是直径，AB＝BD，⊙O的切线BE交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE⊥DE；
（2）若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径．
20．（2024 深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米.
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　 　 ；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由．
21．（2024 深圳）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若，CE＝2，则AE＝　 　 ；AB＝　 　 ；
（2）如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5．
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；
（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长．
22．（2024 广州）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2．
（1）求抛物线G的对称轴；
（2）求m的值；
（3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点．
①求t的值；
②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．
23．（2024 广东）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数y的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
（2025年中考数学押题练习）广东省各地区中考真题重组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C C A B B B D B
一．选择题（共10小题）
1．（2024 广州）若a＜b，则（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b
【解答】解：若a＜b，两边同时加上3得a+3＜b+3，则A不符合题意；
若a＜b，两边同时减去2得a﹣2＜b﹣2，则B不符合题意；
若a＜b，两边同时乘﹣1得﹣a＞﹣b，则C不符合题意；
若a＜b，两边同时乘2得2a＜2b，则D符合题意；
故选：D．
2．（2024 广东）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵共有四种区域文化，
∴随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是．
故选：A．
3．（2024 广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【解答】解：设AB与OC交于点D，
∵弦AB的长为4，OC⊥AB，
∴AD＝BDAB＝2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOD＝2∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴OA＝2OD，
设OD＝x，则OA＝2x，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2，
解得x＝±2（负值舍去），
∴OA＝2x＝4，
∵OP＝5，
∴OP＞OA，
∴点P在圆外．
故选：C．
4．（2024 广东）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（2024 广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵二次函数y＝x2，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
6．（2024 广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：B．
7．（2024 深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵入射光线是平行光线，
∴∠1＝∠3，
由反射定律得：∠3＝∠4，
∴∠4＝∠1＝50°．
故选：B．
8．（2024 广州）为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（　　）
A．a的值为20
B．用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多
C．用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【解答】解：由题意可得，a＝50﹣4﹣16﹣12﹣8＝10，故选项A不符合题意；
由频数分布直方图可知，用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多，故选项B符合题意；
由频数分布直方图可知，用地面积在0＜x≤4这一组的公园个数最少，故选项C不符合题意；
由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，没有达到一半，故选项D不符合题意．
故选：B．
9．（2024 广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2的图象如图所示，当（　　）时，y1，y2均随着x的增大而减小．
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1
【解答】解：根据二次函数图象当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．
故选：D．
10．（2024 深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．（2024 广州）若a2﹣2a﹣5＝0，则2a2﹣4a+1＝　11　 ．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0，
∴a2﹣2a＝5，
∴原式＝2（a2﹣2a）+1
＝2×5+1
＝11，
故答案为：11．
12．（2024 深圳）如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是 　2（答案不唯一）　 .（写出一个答案即可）
【解答】解：∵SA＝10，SC＝1，
∴正方形A的边长为，正方形C的边长为1，
∴1＜B的边长，
正方形B的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
13．（2024 广州）定义新运算：a b例如：﹣2 4＝（﹣2）2﹣4＝0，2 3＝﹣2+3＝1．若x 1，则x的值为 　或　 ．
【解答】解：∵x 1，
∴当x≤0时，x2﹣1，
解得x或x（不合题意，舍去）；
当x＞0时，﹣x+1，
解得x；
由上可得，x的值为或，
故答案为：或．
14．（2024 广州）如图， ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　5　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，
∴∠EAB＝∠CBA，
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA＝∠CBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，
故答案为：5．
15．（2024 深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC，且点A落在反比例函数y（x＞0）上，点B落在反比例函数y（x＞0）上，则k＝　8　 ．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴设AD＝4x，则OA＝5x，
∴OD3x，
∵点A落在反比例函数y上（x＞0），
∴4x 3x＝3，
解得x（负值舍去），
∴4x＝2，3x，
∴A（，2），
∴OA＝5x，
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB＝OA，
∴B（，2），即（4，2），
∵点B落在反比例函数y（x＞0）上，
∴k＝4×2＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共8小题）
16．（2024 广东）计算：20×||3﹣1．
【解答】解：原式＝12
2
＝2．
17．（2024 深圳）先化简，再代入求值：，其中．
【解答】解：


，
当时，原式．
18．（2024 广州）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
A组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求A组同学得分的中位数和众数；
（2）现从A，B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
【解答】解：（1）将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，
∴A组同学得分的中位数为（84+86）÷2＝85（分）．
由表格可知，A组同学得分的众数为82分．
（2）将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，
∴这2名同学恰好来自同一组的概率为．
19．（2024 深圳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC是直径，AB＝BD，⊙O的切线BE交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE⊥DE；
（2）若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接BO并延长交AD于H点，如图，
∵AB＝BD，OA＝OD，
∴BO垂直平分AD，
∴∠BHD＝90°，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形BEDH为矩形，
∴∠E＝90°，
∴BE⊥DE；
（2）解：∵BO垂直平分AD，
∴AH＝DHAD，
∵四边形BEDH为矩形，
∴DH＝BE＝5，
在Rt△BDH中，∵BD＝AB＝5，DH＝5，
∴BH5，
设⊙O的半径为r，则OH＝5r，OD＝r，
在Rt△ODH中，（5r）2+52＝r2，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
20．（2024 深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米.
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　L＝0.2n+1　 ；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意得：L＝0.2（n﹣1）+1.2＝0.2n+1，
∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L＝0.2n+1；
故答案为：L＝0.2n+1；
（2）当L＝2.6时，0.2n+1＝2.6，
解得 n＝8，2×8＝16（辆），
答：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车；
（3）设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，
根据题意得：，
解得m
∴m为正整数，且m≤5，
∴m＝3，4，5，
∴共有3种运输方案，即用扶手电梯运输3次，直立电梯运输2次或用扶手电梯运输4次，直立电梯运输1次或用扶手电梯运输5次，直立电梯运输0次．
21．（2024 深圳）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在 ABCD中，BF⊥AC于点E，交AD于点F，若F为AD的中点，则 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若，CE＝2，则AE＝　1　 ；AB＝　　 ；
（2）如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点．若AB＝BD，试猜想AF与CD的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CE＝2AE＝12，BE＝5．
①请画出以BC为边的垂中平行四边形，使得E为垂中点，点A在垂中平行四边形的边上；
（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P，连接PE，请直接写出PE的长．
【解答】解：（1）由题可知，，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴，
∵CE＝2，
∴AE＝1，
∵，
∴，
∴；
故答案为：1；；
（2），证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴△AED∽△FEB，
∴2，
设BE＝x，则DE＝2x，
∴AB＝BD＝3x，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①第一种情况：如图①．
第二种情况：如图②．
第三种情况：如图③．
②若按照上图①作图，即如图④，
由题意可知，∠ACB＝∠ACP，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ACB＝∠PAC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴△PAC是等腰三角形；
过P作PH⊥AC于H，则AH＝HC，
∵BE＝5，CE＝2AE＝12，
∴B′E＝BE＝5，AE＝6，
∴，
∴EH＝AH﹣AE＝9﹣6＝3，
∵PH⊥AC，BE⊥AC，
∴△CPH∽△CB′E，
∴，
即，
∴；
若按照上图②作图，即如图⑤，
延长CA、DF交于点G，
同理可得△PGC是等腰三角形，
连接PA，
∵GF∥BC，
∴△GAF∽△CAB，
∴，
∴AG＝AC，
∴PA⊥AC；
同理△CPA∽△CB′E，
∵AE＝6，EC＝12，B'E＝BE＝5，
∴，
即，
∴；
若按照上图③作图，则没有交点，不存在PE（不符合题意），即如图⑥，
故答案为：或．
22．（2024 广州）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）过点A（x1，2）和点B（x2，2），直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），交线段AB于点D，记△CDA的周长为C1，△CDB的周长为C2，且C1＝C2+2．
（1）求抛物线G的对称轴；
（2）求m的值；
（3）直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后（0≤t＜45）得到直线l′，当l′∥AB时，直线l′交抛物线G于E，F两点．
①求t的值；
②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x3；
（2）直线l：y＝m2x+n过点C（3，1），则该直线的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1，
当y＝2时，2＝m2（x﹣3）+1，
则xD3，
∵C1＝C2+2，即AC+CD+AD＝BC+CD+BD+2，
其中，AC＝BC，上式变为：AD＝BD+2，
即2xD＝xA+xB+2，
而函数的对称轴为直线x＝3，由函数的对称性知，xA+xB＝2×3＝6，
即2xD＝xA+xB+2＝8，
则xD＝43，
解得：m＝±1；
（3）①当m＝±1时，一次函数的表达式为：y＝m2（x﹣3）+1＝x﹣2，
该直线和x轴的夹角为45°，
则t＝45÷3＝15（秒）；
②由①知，l为：y＝1，如图：
则SEF×（yA﹣yE）EF，
联立直线l和抛物线的表达式得：ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1＝1，
即x2﹣6x﹣a2+2a＝0，
设点E、F的横坐标为m，n，
则m+n＝6，nm＝﹣a2+2a，
则EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），
则SEF2，
当a＝1时，等号成立，
即k的最大值为：2，a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+2．
23．（2024 广东）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数y的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
【解答】解：（1）设B（m，ma），则，
∵AD∥x轴，
∴D点的纵坐标为，
将代入y＝ax中，得：，
∴，
∴，
∴，
将代入中得出，y＝am，
∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点B（1，2）在直线y＝ax上，
∴a＝2，
∴y＝2x，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，A（1，k），
∴，
∴DC＝k﹣2，
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，
∴，∠BED＝∠BCD＝90°，
∴，
如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴，
∵AD∥x轴，
∴H，A，D三点共线，
∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°，
∴∠HED＝∠EBF，
∵∠DHE＝∠EFB＝90°，
∴△DHE∽△EFB，
∴，
∵BF＝1，，
∴HE＝2，，
∴，
由图知，HF＝DC，
∴，
∴；
（3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°，
∴，，BP⊥AC，
∵BC∥x轴，
∴直线y＝ax为一，三象限的夹角平分线，
∴y＝x，
当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵AD∥x轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，，
∴，
∴，
∴，，，
∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，
∴HO＝HD＝4，
∴HA＝HD﹣DA＝4﹣2＝2，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵AO＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OP⊥AC，
∴，
∴，，
∴，，
∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8．
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