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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.3　直线的方程
基础过关练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线方程的点斜式与斜截式
1.(2025江苏无锡锡东高级中学阶段检测)已知直线l1的倾斜角为60°,若直线l2过点C(2,5),且与直线l1的倾斜角互余,则直线l2的方程为(　　)
A.y-5=-(x-2)　　　　B.y-5=(x-2)
C.y-5=-(x-2)　　　　D.y-5=(x-2)
2.(2025江西新余第一中学段考)已知直线l过点A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是(　　)
A.x-y-1=0或x+y-3=0
B.x-y-1=0或x-y+3=0
C.x+y+1=0或x-y+3=0
D.x+y+1=0或x+y-3=0
3.(2025北京通州期中)如果A·B·C≠0,那么“A·C<0”是“直线Ax+By+C=0不过第三象限”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
4.(2025江西宜春赣西外国语学校月考)直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0在同一平面直角坐标系中的图形有可能是(　　)
　　　　
　　　　
5.(2024安徽当涂第一中学月考)已知直线l经过点P(-1,2),且其斜率为k.
(1)若k=2,求l的点斜式方程;
(2)若直线l在y轴上的截距为4,求l的斜截式方程.
题组二　直线方程的两点式与截距式
6.已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列不在直线l上的点是(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.(-1,0)
C.(0,1)　　　　D.(2,1)
7.(易错题)(2025江西新余第十六中学月考)过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为(　　)
A.x-y+3=0
B.x+y-5=0
C.4x-y=0或x+y-5=0
D.4x-y=0或x-y+3=0
8.(2025湖北部分普通高中期中)已知定点M(5,0),若直线l1过定点M且方向向量是n1=(-5,5),直线l2过定点M且方向向量是n2=(5,-3),l1在y轴上的截距是a,l2在y轴上的截距是b,则a-b=(　　)
A.2　　B.-2　　C.1　　D.-1
9.(多选题)(2025山西部分学校期中)下列命题正确的是(　　)
A.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线均可用方程+=1表示
B.方程x=my+n(m,n为常数)不能表示垂直于y轴的直线
C.经过点(x0,y0)的直线均可用方程λ(x-x0)+μ(y-y0)=0(λ,μ不同时为0)表示
D.经过两个不同的点(x1,y1),(x2,y2)的直线均可用方程(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0表示
10.(易错题)(多选题)(2025河北张家口期中)直线l经过点(1,3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则l的方程可能是(　　)
A.3x-y=0　　　　B.3x+y=0
C.x+y-4=0　　　　D.x-y+2=0
11.(2024江苏南通海安高级中学月考)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的方程.
(1)在x轴、y轴上的截距互为相反数;
(2)与两坐标轴在第一象限内围成的三角形的面积最小.
题组三　直线方程的一般式与点法式
12.(教材习题改编)已知直线l经过点P(1,0),且一个法向量n=(2,-1),则l的方程为(　　)
A.x+2y-2=0　　　　B.2x-y-2=0
C.x+2y-1=0　　　　D.x-2y-1=0
13.(2025山东百师期中联考)设直线l:x-2y-6=0的倾斜角为α,则tan α的值为(　　)
A.2　　B.-2　　C.　　D.-
14.(多选题)(2025江西南昌十九中期中)已知直线l:(2a-3)x+(1-a)y+1=0,则(　　)
A.若a=1,则l的倾斜角为
B.l过定点(1,2)
C.若a=,则l在x轴和y轴上的截距相等
D.若l不经过第二象限,则a<1
15.(2025云南大学附属中学期中)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线的一般式方程为(　　)
A.3x+y=0　　　　B.3x-y=0
C.x+3y=0　　　　D.x-3y=0
16.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:无论a为何值,直线l恒过第一象限;
(2)从下面两个条件中任选一个,求a的值.
条件①:直线l的倾斜角比直线x-3y+1=0的倾斜角大;
条件②:直线l的一个方向向量为v=(1,1).
能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组　直线方程的综合应用
1.(易错题)(2025湖北武汉部分重点中学期中)已知直线l1:y=x-1绕点(0,-1)逆时针旋转得到直线l2,则直线l2不过(　　)
A.第四象限　　　　B.第三象限
C.第二象限　　　　D.第一象限
2.(2024黑龙江大庆第一中学月考)已知直线+=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中正确的是(　　)
A.|a|<|b|　　　　B.<
C.(b-a)(b+a)>0　　　　D.<
3.(多选题)(2025江苏镇江第一中学学情调查,)下列结论正确的有(　　)
A.直线kx-y+2k=3恒过定点(-2,-3)
B.直线x+(m2+)y+2=0的倾斜角的取值范围是∪
C.直线m1x+n1y+2=0和m2x+n2y+2=0都经过点A(3,1),则过两点P1(m1,n1),P2(m2,n2)的直线方程为3x+y+2=0
D.过直线l:y=x+3与x轴的交点,且与直线l的夹角为30°的直线方程为x-y+=0或x+=0
4.(2025江西赣州十八县二十四校期中联考)过点(-1,-4)的直线l分别与x轴、y轴交于不同的两点A,B,O为坐标原点,若存在4条直线l使得△AOB的面积均为m,则m的取值范围是　　　　.
5.(2025河北石家庄期中)已知常数a∈-,-2,直线l:(2+a)x-(2a+5)y+1=0与x轴、y轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积取最小值时直线l的方程为　　　　　　　.(写成一般式)
6.(2024河南省实验中学月考)已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0).
(1)写出直线PQ的方程;
(2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值.
7.(2025江苏洪泽中学期中,)已知一条直线l过点P(1,4),且分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点,求:
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;
(2)OA+OB取最小值时的直线l的方程;
(3)PA·PB取最小值时的直线l的倾斜角.
答案与分层梯度式解析
1.3　直线的方程
基础过关练
1.B　∵l1的倾斜角为60°,l2与l1的倾斜角互余,
∴l2的倾斜角为30°,
∴l2的斜率k=tan 30°=.
又l2过点C(2,5),
∴l2的点斜式方程为y-5=(x-2).
2.C　由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2)(k≠0),
令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=-2-,
则|2k+1|=,解得k=1或k=-或k=-1,
当k=-时,|2k+1|==0,不合题意,舍去.
故直线l的方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),
即x-y+3=0或x+y+1=0.
3.B　因为A·B·C≠0,所以A≠0,B≠0,C≠0,
由Ax+By+C=0得y=-x-,
取A=-1,B=1,C=1,满足A·C<0,此时直线方程为y=x-1,过第三象限,充分性不成立;
若直线Ax+By+C=0,即直线y=-x-不过第三象限,
则得A·C<0,必要性成立.
故为必要不充分条件.
4.B　直线方程可化为l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a.
对于A,由l1得-a<0,-b>0,即a>0,b<0,
由l2得-b<0,-a<0,即b>0,a>0,显然不成立;
对于B,由l1得-a<0,-b<0,即a>0,b>0,
由l2得-b<0,-a<0,即b>0,a>0,显然成立;
对于C,由l1得-a>0,-b<0,即a<0,b>0,
由l2得-b>0,-a>0,即b<0,a<0,显然不成立;
对于D,由l1得-a>0,-b>0,即a<0,b<0,
由l2得-b<0,-a>0,即b>0,a<0,显然不成立.
5.解析　(1)当直线l经过点P(-1,2)且斜率k=2时,l的点斜式方程为y-2=2(x+1).
(2)由已知可得,直线l经过点(-1,2),(0,4),所以其斜率k==2,故l的斜截式方程为y=2x+4.
6.D　因为直线l经过点(-3,-2),(1,2),所以直线l的方程为=,整理,得x-y+1=0,
将各个选项中点的坐标代入直线l的方程,可知点(2,1)不在直线l上.
7.D　当直线过原点时,(易错点)其在两坐标轴上的截距都为0,满足题意,
因为直线过点A(1,4),所以直线的斜率为=4,
所以直线方程为y=4x,即4x-y=0;
当直线不过原点时,设其方程为+=1,
把点A(1,4)的坐标代入,得+=1,解得a=-3,所以直线方程为+=1,即x-y+3=0.
故所求直线方程为4x-y=0或x-y+3=0.
8.A　由题意得l1:y=(x-5),即l1:y=-x+5,所以a=5.
同理,l2:y=(x-5),即l2:y=-x+3,所以b=3,故a-b=5-3=2.
9.BC　对于A,当ab=0时,不可以用方程+=1表示,故A错误.
对于B,无论实数m,n取何值,方程x=my+n均不可以表示垂直于y轴的直线,故B正确.
对于C,当直线垂直于x轴时,直线方程为x=x0,存在λ=1,μ=0;
当直线垂直于y轴时,直线方程为y=y0,存在λ=0,μ=1;
当直线不垂直于坐标轴时,存在λ≠0,μ≠0,
故经过点(x0,y0)的直线方程均可表示为λ(x-x0)+μ(y-y0)=0,故C正确.
对于D,过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线方程为(y2-y1)·(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,故D错误.
10.ACD　当l在两坐标轴上的截距均为0时,(易错点)直线方程为y=3x,即3x-y=0;
当l在两坐标轴上的截距不为0时,设l的方程为+=1(a≠0,b≠0),
由题意得①或②
由①得a=b=4,此时l的方程为+=1,即x+y-4=0,
由②得a=-2,b=2,此时l的方程为+=1,即x-y+2=0.
综上,l的方程可能是3x-y=0或x+y-4=0或x-y+2=0.
易错分析　若题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、互为相反数,或在一坐标轴上的截距是在另一坐标轴上截距的m倍(m>0)等条件时,可采用截距式求直线的方程,但一定要考虑截距为0的情况.
11.解析　(1)①当l经过原点时,l的方程为y=x,即3x-2y=0.
②当l不经过原点时,设其方程为+=1(m≠0),
∵P(2,3)在直线l上,∴+=1,解得m=-1,即x-y+1=0.
综上所述,直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
(2)由题意可知直线l与两坐标轴均交于正半轴,故设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),将P(2,3)的坐标代入可得+=1,
则+=1≥2,故ab≥24,当且仅当=,即a=4,b=6时等号成立,
此时面积最小,为ab=12,
所以直线l的方程为+=1,即3x+2y-12=0.
方法技巧　求解与直线方程有关的面积问题,关键是由直线方程求出相应点的坐标或者相关长度,此时注意点在直线上,即点的坐标适合直线方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
12.B　l的一个法向量n=(2,-1),且l经过点P(1,0),代入直线的点法式方程得2(x-1)-y=0,即2x-y-2=0.
13.C　l:x-2y-6=0可化为y=x-3,所以l的斜率为,即tan α=.
14.ABC　对于A,若a=1,则l:-x+1=0,所以l的倾斜角为,故A正确;
对于B,(2a-3)x+(1-a)y+1=0可化为(2x-y)a=3x-y-1,由得则l过定点(1,2),故B正确;
对于C,若a=,则l:-x-y+1=0,令y=0,得x=3,令x=0,得y=3,所以l在x轴和y轴上的截距均为3,故C正确;
对于D,当a=1时,l:-x+1=0,l不过第二象限,
当a≠1时,由B知l过定点(1,2),要使得l不过第二象限,则k=≥=2,解得a<1,所以a≤1,故D错误.
15.C　由已知得,△ABC的重心坐标为,即,
AB中垂线的方程为y=1,AC中垂线的方程为x=-3,
故外心坐标为(-3,1),故欧拉线的方程为y=·(x+3)+1,整理得x+3y=0.
16.解析　将直线l的方程变形得y-=a,所以直线l的斜率为a,且过定点.
(1)证明:点在第一象限内,所以无论a为何值,直线l恒过第一象限.
(2)若选择条件①:因为直线x-3y+1=0的斜率k=,所以其倾斜角α=,
则l的倾斜角为+=,可知l的斜率kl=1,所以a=1.
若选择条件②:由直线l的一个方向向量为v=(1,1),可知l的斜率kl=1,所以a=1.
能力提升练
1.D　直线l1的斜率k1=1,设其倾斜角为α1(α1∈[0,π)),则tan α1=1,所以α1=.
l1绕点(0,-1)逆时针旋转得到直线l2,则l2的倾斜角α2=+=,
故l2的斜率k2=tan α2=tan=-,
因为l2过点(0,-1),所以l2的方程为y+1=-x,即y=-x-1,其斜率为负,在y轴上的截距为负,所以l2不过第一象限.
2.D　由直线+=1经过第一、二、三象限,可知直线斜率存在且大于0,直线在x轴上的截距a<0,在y轴上的截距b>0,
由直线的斜率小于1,可知0<-<1,结合a<0可得a<0对于A,由绝对值的性质可知|a|>|b|,故A错误;
对于B,由幂函数的单调性可知>,故B错误;
对于C,由不等式的性质可得b-a>0,b+a<0,则(b-a)(b+a)<0,故C错误;
对于D,<0,>0,则<,故D正确.
3.ACD　对于A,直线kx-y+2k=3,即y+3=k(x+2),恒过定点(-2,-3),故A正确;
对于B,直线x+(m2+)y+2=0的斜率k=-∈,设直线的倾斜角为θ,则tan θ∈,所以θ∈,故B错误;
对于C,两条直线都经过点A(3,1),则
所以过两点P1(m1,n1),P2(m2,n2)的直线方程为3x+y+2=0,故C正确;
对于D,由直线l的方程知其斜率为,所以倾斜角为60°,令y=0,得x=-,
则直线l与x轴的交点坐标为(-,0).
因为所求直线与l的夹角为30°,
所以所求直线的倾斜角为30°或90°,
所以所求直线的斜率为或不存在,
故所求直线的方程为y=(x+)或x=-,
即x-y+=0或x+=0,故D正确.
4.答案　(8,+∞)
解析　显然直线AB的斜率存在且不为0,设其方程为y+4=k(x+1)(k≠0),
令x=0,得y=k-4,令y=0,得x=-1,
则S△OAB=|k-4|=,
由题意知关于k的方程=m,即8-k-=±2m有四个不同的实数解,
所以k2+(2m-8)k+16=0有两个不等实根,k2-(2m+8)k+16=0有两个不等实根,
则解得m<-8或m>8,
又m>0,所以m>8.
5.答案　x+2y-4=0
解析　对于方程(2+a)x-(2a+5)y+1=0,令x=0,得y=,令y=0,得x=-,所以A,B,
故S△ABO=|OA||OB|==·,
因为a∈,所以2a+5>0,a+2<0,
故S△ABO=-·,
设f(a)=(a+2)(2a+5)=2a2+9a+10,a∈,
则f(a)在上单调递减,在上单调递增,
故f(a)在a=-时取得最小值,此时S△ABO取得最小值,
故直线l的方程为x-y+1=0,即x+2y-4=0.
6.解析　(1)令t=10-t,得t=5,此时直线PQ的方程为x=5,
当t≠5时,直线PQ的方程为y-t=(x-t),
即tx+(10-2t)y+t2-10t=0.
(2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB,
则A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),
因为点C(2a,a)在直线PQ上,
所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0,
所以a=t(10-t)=-(t-5)2+,0要使正方形ABCD的面积最大,只需a的值最大,
易知当t=5时,amax=,此时正方形ABCD的面积最大.
7.解析　设直线l在x轴、y轴正半轴的截距分别为a,b,则OA=a,OB=b,直线l的方程为+=1.
因为直线l过点P(1,4),所以+=1.
(1)1=+≥2,则ab≥16,故S△AOB=ab≥8,当且仅当=,+=1,即a=2,b=8时取“=”,此时直线l的方程为+=1,即4x+y-8=0.
(2)OA+OB=a+b=(a+b)=5++≥5+2·=9,当且仅当=,+=1,即a=3,b=6时取“=”,此时直线l的方程为+=1,即2x+y-6=0.
(3)解法一:设直线l与x轴所成锐角为θ,则PA=,PB=,所以PA·PB=·=≥8,当且仅当sin 2θ=1,即θ=时取“=”,此时直线l的倾斜角为π-θ=.
解法二:PA·PB=-·=-(a-1,-4)·(-1,b-4)=a+4b-17=(a+4b)-17=+≥2=8,当且仅当a=b,+=1,即a=b=5时取“=”,此时直线l的倾斜角为.
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