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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.4　两条直线的平行与垂直
基础过关练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　两条直线平行
1.(2024湖北襄阳月考)已知直线l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,),B(-2,-2),则l1,l2的位置关系是(　　)
A.平行或重合　　　　B.平行
C.垂直　　　　D.以上都不对
2.(2025江西上饶余干第二中学检测)已知直线l1:x+2y+5=0与l2:3x+ay+b=0平行,且l2过点(-3,1),则=(　　)
A.-3　　　　B.3　　
C.-2　　　　D.2
3.(2024湖北武汉外国语学校期末)将一张画着直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 024,2 025)与点(m,n)重合,则m+n=(　　)
A.1　　　 　B.2 025
C.4 048　　　　D.4 049
题组二　两条直线垂直
4.(2025河北保定部分学校联考)若直线l1:ax-3y+2=0与l2:3ax+y+3=0垂直,l3:a2x-y+4=0与l4:x+(a+2)y=0垂直,则a=(　　)
A.1　　B.-1　　C.2　　D.-2
5.(2025江苏镇江三校、泰州部分学校期中)将直线l1:x+y-2=0绕点(2,0)顺时针旋转90°得到直线l2,则l2的方程是(　　)
A.2x-y+2=0　　　　B.x+y+2=0
C.x-y-2=0　　　　D.2x-y-2=0
6.(2024广东深圳名校期中联考)已知点A(1,2),点B(2,3),点C在x轴上,△ABC为直角三角形,请写出点C的一个坐标:　　　　.
7.(教材习题改编)已知△ABC的顶点分别为A(1,3),B(-1,-3),C(-3,2),求:
(1)直线AB的方程;
(2)AB边上的高所在直线的方程.
题组三　两条直线平行与垂直的综合应用
8.(2025黑龙江鹤岗月考)已知直线l1过点A(-2,m)和B(m,4),l2:2x+y-1=0,l3:x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n=(　　)
A.-10　　B.-2　　C.0　　D.8
9.(多选题)(2025江西宜春第一中学期中)下列说法正确的是(　　)
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距都相等的直线方程为x+y-2=0
C.已知直线y=x,则直线的倾斜角为60°
D.若直线l1:ax+2y+3a-2=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行,则a=1
10.(2025广西南宁第九中学月考)已知点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0).
(1)试判断直线AB和直线CD的位置关系;
(2)试判定四边形ABCD的形状.
答案与分层梯度式解析
1.4　两条直线的平行与垂直
基础过关练
1.A　由题意得l2的斜率k2==,
∵l1的倾斜角为60°,∴其斜率k1=tan 60°=,
故l1与l2平行或重合.
2.D　因为l1∥l2,所以1×a=2×3,解得a=6,又l2过点(-3,1),所以-9+6+b=0,解得b=3,经验证l1与l2不重合,所以=2.
3.D　记A(2,0),B(-2,4),则直线AB的斜率kAB==-1.由题意知,过点(2 024,2 025)和点(m,n)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得m+n=4 049.
4.B　∵l1⊥l2,l3⊥l4,∴3a2-3=0,且a2-(a+2)=0,
解得a=-1.
5.C　设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,由题意知k1=-1,l1⊥l2,所以k1k2=-1,得k2=1,因为l2过点(2,0),所以l2的方程为y-0=1·(x-2),即x-y-2=0.
6.答案　(3,0)(答案不唯一,填(3,0),(5,0)中的任意一个都可以)
解析　设C(x,0),易知当x=1或x=2时,不符合题意,
当x≠1且x≠2时,kAB==1,kAC=,kBC=,
当A为直角时,kAB·kAC=1×=-1,解得x=3,此时C的坐标为(3,0);
当B为直角时,kAB·kBC=1×=-1,解得x=5,此时C的坐标为(5,0);
当C为直角时,kAC·kBC=·=-1,化简,得x2-3x+8=0,该方程无实数解.
综上所述,点C的坐标可以为(3,0)或(5,0).
7.解析　(1)设直线AB的斜率为k,则k==3,
所以直线AB的方程为y-3=3(x-1),即3x-y=0.
(2)因为直线AB的斜率为3,所以AB边上的高所在直线的斜率为-,
所以AB边上的高所在直线的方程为y-2=-(x+3),即x+3y-3=0.
8.A　由题意可得l1的斜率为,l2的斜率为-2,l3的斜率为-,∵l1∥l2,l2⊥l3,∴=-2,-2×=-1,解得m=-8,n=-2,故m+n=-10.
9.CD　对于A,两直线垂直的充要条件是a2+a=0,解得a=0或a=-1,故A错误.
对于B,当直线在x轴、y轴上的截距相等且为0时,直线方程为y=x;
当直线在x轴、y轴上的截距相等且不为0时,设截距为a,则直线方程为+=1,把(1,1)代入,得=1,解得a=2,故直线方程为x+y-2=0.
综上,所求直线方程为x+y-2=0或y=x,故B错误.
对于C,设直线y=x的倾斜角为θ(0≤θ<π),则tan θ=,故θ=60°,故C正确.
对于D,∵l1∥l2,∴a(a+1)=2,解得a=1或a=-2,当a=-2时,l1与l2重合,舍去,故a=1,故D正确.
10.解析　(1)由题意可得kAB==,kCD==,
则直线AB的方程为y-3=(x+4),即x-3y+13=0,
直线CD的方程为y=(x+3),即x-3y+3=0,
所以直线AB和直线CD平行.
(2)因为kAD==-3,kBC==-,所以kAD≠kBC,即AD与BC不平行,
又kAB·kAD=-1,所以AB⊥AD,所以四边形ABCD为直角梯形.
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