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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
1.6　平面直角坐标系中的距离公式
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　两点间的距离公式及其简单应用
1.(教材习题改编)过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为,则|MN|=(　　)
A.2　　B.2　　C.4　　D.4
2.(2025广东汕头期中)点A(2,-4)到直线l:mx-y-4m-8=0(m为任意实数)的距离的最大值是(　　)
A.5　　B.2　　C.4　　D.
3.(2024湖南长沙长郡中学周练)已知A,B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上,且线段AB的中点为P,则线段AB的长为(　　)
A.11　　B.10　　C.9　　D.8
4.(2025宁夏石嘴山月考)已知x-y=0,则+的最小值为　　　　.
题组二　点到直线的距离公式及其简单应用
5.(2025河北石家庄精英中学期中)已知A(4,0),B(2,a)两点到直线l:x+y-5=0的距离相等,则a=(　　)
A.2　　B.4　　C.1或4　　D.2或4
6.(2025江西南昌师范大学附属中学素养测评)已知直线l1:x+y+C=0与l2:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)交于点(1,1),则原点到l2距离的最大值为(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.1
7.(2024安徽安庆月考)已知点P(x,y)在直线x-y-1=0上运动,则(x-2)2+(y-2)2的最小值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024江苏南通海安高级中学月考)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A.3　　B.2　　C.　　D.4
9.(2025江西九江外国语学校月考)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为　　　　　　　　.
题组三　两条平行线间的距离公式及其简单应用
10.(2025重庆实验外国语学校期中)若直线l1:ax+2y+1=0和直线l2:3x+(a-1)y-=0平行,则l1与l2之间的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.(2025安徽江淮名校期中)已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+4=0,在l1上任取一点A,在l2上任取一点B,连接AB,取线段AB上靠近点A的三等分点C,过点C作l1的平行线l3,则l1与l3之间的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
12.(2025江西上饶第二中学月考)已知直线l1:3(x-1)+4(y-1)=0,l2:3x+4(y+2)=0,点A和点B分别是直线l1,l2上的动点.
(1)若直线AB经过原点O,且|AB|=3,求直线AB的方程;
(2)设线段AB的中点为P,求点P到原点O的最短距离.
能力提升练
　　　　　　　　　　　　　
题组　距离公式的综合应用
1.(2025江苏南京东山高级中学月考,)如图所示,已知点A(2,0),B(0,2),从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(　　)
A.3　　B.　　C.3　　D.2
2.(2025河南安阳月考,)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
3.(2024福建四校期中,)下列结论正确的是(　　)
A.若直线ax+y+1=0与直线4x+ay+2=0平行,则它们之间的距离为
B.原点O到直线kx+(2k+1)y-3k-1=0的距离的最大值为2
C.点A(5,0)关于直线l:y=2x的对称点A'的坐标为(-3,4)
D.直线+=1与坐标轴围成的三角形的面积为m2+m
4.(2025江苏南通期中,)已知P,Q是直线l:x-y+1=0上两动点,且|PQ|=,点A(-4,6),B(0,6),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　)
A.10+　　B.10-　　C.10　　D.12
5.(2024广东广雅中学期中,)已知实数x,y满足x-y=0,则-的最大值是　　　　　　.
6.(创新题)(2025江西抚州四校月考,)已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x,l2:y=-x是一组“O-1共轭线对”,其中O是坐标原点.
(1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,求l1,l2的夹角的最小值;
(2)已知点Q(-1,-),直线l1,l2是“Q-2共轭线对”,当l1的斜率变化时,求原点O到直线l1,l2的距离之积的取值范围.
规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角,若直线l1与l2的斜率分别为k1,k2,则它们的夹角θ满足tanθ=
答案与分层梯度式解析
1.6　平面直角坐标系中的距离公式
基础过关练
1.B　依题意得=,解得a=2,所以M(-2,2),N(2,4),所以|MN|==2.
2.B　直线l的方程可化为y+8=m(x-4),
令得故直线l恒过点(4,-8),不妨设B(4,-8),
易知点A到直线l的距离的最大值为AB的长,此时l⊥AB.
易求得|AB|==2,所以点A到直线l的距离的最大值为2.
3.B　因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×1+(-1)×a=0,解得a=2,所以P(0,5).
设A(m,2m),B,则解得
所以A(4,8),B(-4,2),
所以|AB|==10.
4.答案　
解析　+=+,其表示点(x,y)到点(-1,-2)与到点(2,0)的距离之和,设T(x,y),Q(-1,-2),P(2,0),则问题转化为求|QT|+|PT|的最小值.
易得P(2,0)关于直线y=x的对称点是(0,2),记M(0,2),连接MT,MQ,则|MQ|==,
所以|QT|+|PT|=|QT|+|MT|≥|QM|=,
当且仅当T是线段MQ与直线y=x的交点时取等号,
所以+的最小值为.
5.D　由点到直线的距离公式得=,即|a-3|=1,所以a=2或a=4.
6.B　因为两直线交于点(1,1),所以1+1+C=0,A+B+C=0,即C=-2,A+B=2,
原点到直线l2的距离d===,
由A2-2A+2=(A-1)2+1≥1,得d≤,当且仅当A=1时,d取得最大值.
7.A　(x-2)2+(y-2)2表示点P(x,y)与点(2,2)之间距离的平方,
因为点(2,2)到直线x-y-1=0的距离d==,
所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为d2=.
8.A　由题意知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,
设该直线方程为x+y+c=0(-7∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即为=3.
9.答案　2x+3y+12=0
解析　由ax+y+3a-1=0得(x+3)a+(y-1)=0,由得∴M(-3,1),则点M不在直线2x+3y-6=0上.
设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0(C≠-6),
则=,解得C=12或C=-6(舍),
故所求直线方程为2x+3y+12=0.
10.A　因为l1∥l2,所以a×(a-1)-6=0,解得a=-2或a=3,
当a=-2时,l1:2x-2y-1=0,l2:2x-2y-1=0,两直线重合,不符合题意,
当a=3时,l1:3x+2y+1=0,l2:3x+2y-=0,满足l1∥l2,符合题意.
则l1与l2之间的距离d==.
11.A　如图,过点A作AD⊥l2交l2于点D,交l3于点E,则AE的长即为l1与l3之间的距离.
因为l1∥l2∥l3,|AC|=|AB|,所以|AE|=|AD|=×=.
12.解析　(1)将l1,l2的方程化为一般式方程得
l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0,则两直线平行,
故两直线之间的距离d==3,
又|AB|=3,所以直线AB和两直线均垂直.
因为l1,l2的斜率均为-,所以kAB=.
又直线AB经过原点O,所以直线AB的方程为y=x.
(2)因为l1∥l2,所以线段AB的中点P的轨迹方程为3x+4y+=0,即3x+4y+=0,
所以点P到原点O的最短距离即点O到直线3x+4y+=0的距离,即为=.
所以点P到原点O的最短距离为.
能力提升练
1.B　依题意得直线AB的方程为x+y=2,设点P关于直线AB的对称点为Q(a,b),
则解得即Q(2,1),
设点P关于y轴的对称点为T,则T(-1,0),
易知光线所经过的路程即△PMN的周长,
△PMN的周长为|MP|+|MN|+|NP|=|MQ|+|MN|+|NT|=|QT|==,
所以光线所经过的路程是.
2.A　直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以点P(x0,y0)到这两条直线的距离相等,
即=,化简可得x0+2y0+1=0.
∵y0>x0+2,∴-(x0+1)>x0+2,解得x0<-.
设=k,则k==--,
∵0<-<,
∴0<-<,∴-3.C　对于A,由题意得a2-4=0,∴a=±2,
当a=2时,两直线方程均为2x+y+1=0,不符合题意,舍去,
当a=-2时,两直线方程分别为2x-y-1=0,2x-y+1=0,
∴两直线间的距离d==,A错误;
对于B,直线kx+(2k+1)y-3k-1=0即(x+2y-3)k+(y-1)=0,∴直线过定点(1,1),设为A,
∴原点O到直线的距离的最大值在直线与OA垂直时取得,∴最大距离d'==,B错误;
对于C,易得直线l的斜率k=2,则kAA'=-,
∴直线AA'的方程为y=-(x-5),
联立解得则点A'的坐标为(1×2-5,2×2-0),即(-3,4),C正确;
对于D,由直线方程可得直线在x轴、y轴上的截距分别为m,2m+2,
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|m||2m+2|=|m||m+1|=D错误.
4.A　不妨设点P(x,x+1),且在点Q的左边,而直线l的倾斜角为45°,且|PQ|=,则点Q的坐标为(x+1,x+2),
则|AP|+|PQ|+|QB|=++,
记d=+,
则可将d理解为点M(x,x)到D(-4,5)和C(-1,4)的距离之和,
即点D(-4,5),C(-1,4)到直线y=x的距离之和,则原问题可转化为求d的最小值.
如图,作点C(-1,4)关于直线y=x的对称点C',则C'(4,-1),
连接DC',交直线y=x于点N,则|CN|+|DN|即d的最小值,
且|CN|+|DN|=|DN|+|C'N|=|DC'|==10,
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为10+.
5.答案　
思路分析　赋予式子-几何意义,它表示直线x-y=0上的点P(x,y)到点A(2,4),B(1,0)的距离之差,通过作点B关于直线x-y=0的对称点B'求最值.
解析　-表示直线x-y=0上的点P(x,y)到点A(2,4),B(1,0)的距离之差,设点B(1,0)关于直线x-y=0的对称点为B'(a,b),
则解得即B'(0,1),
则|PA|-|PB|=|PA|-|PB'|≤|AB'|==,当且仅当P,A,B'三点共线时取等号,
所以-的最大值为.
6.解析　(1)设l1的斜率为k,则l2的斜率为,两直线的夹角为α,
则tanα==≥,当且仅当k=±时等号成立.
∵α∈,∴≤α<,
所以直线l1,l2的夹角的最小值为.
(2)设l1:y+=k(x+1),l2:y+=(x+1),其中k≠0,
原点O到直线l1,l2的距离之积为d,
则d=×=×
=×=×
=×,
因为k2++5≥2+5=9,当且仅当k2=2时等号成立,故1-∈[0,1),
所以d∈[0,),
即原点O到直线l1,l2的距离之积的取值范围为[0,).
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