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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
全书综合测评
(全卷满分150分　考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:m2x-y+=0垂直,则实数m的值为(　　)
A.0 B.-或0 C.0或 D.
2.设随机变量X~N(5,σ2),若P(X>10-a)=0.4,则P(X>a)=(　　)
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
3.安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动,每个活动至少有3人参加,且参加活动甲的男生人数不小于参加活动乙的男生人数,则不同的参加方法种数是(　　)
A.31 B.53 C.61 D.65
4.如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且,点P在线段AN上,且AP=3PN,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.b-c B.b+c-a
C.b-c-a D.a+b-c
5.随机事件A,B满足P(A)=,则下列说法错误的是(　　)
A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互独立
C.P(A+B)=P() D.P(B|)=P(A)
6.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是双曲线C的右顶点,O为坐标原点,点P在过点A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.2 C.3 D.4
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CC1的中点,P是底面ABCD内一动点(包含边界),且直线A1P,MP与底面ABCD的夹角相等,则动点P的轨迹为(　　)
A.圆的一部分 B.直线的一部分
C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分
8.已知P为棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球表面上的一个动点,且,x,y,z∈R,则x+y+z的取值范围是(　　)
A. B.
C.[] D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.关于的展开式,下列说法正确的是(　　)
A.所有项的二项式系数之和为128 　B.所有项的系数之和为1
C.常数项为70 　D.二项式系数最大的项为第4项
10.下列说法正确的是(　　)
A.已知空间向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2),则a在b方向上的投影向量为(1,2,2)
B.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是
C.设{a,b,c}是空间向量的一组基,则{a-b,b+c,a+c}也是空间向量的一组基
D.已知A,B,C三点不共线,对于空间任意一点O,若,则P,A,B,C四点共面
11.已知点F(1,0),直线l:x=4,动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某条直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论中正确的是(　　)
A.点P的轨迹方程是=1
B.直线l1:x+2y-4=0是“最远距离直线”
C.平面上有一点A(-1,1),则|PA|+2|PF|的最小值为5
D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0没有交点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,A为抛物线上一点,且|AF|=2|OF|,△OAF的面积为4,则抛物线方程为　　　　　　.
13.口袋里有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一球,记下它的号码后放回袋中,这样连续操作三次.若每次取到各个小球的可能性相等,记事件A=“三次抽到的号码不全相同”,则P(A)=　　　　;记事件B=“三次抽到的号码之和为7”,则P(B|A)=　　　　.(用数字作答)
14.如图1,已知△ABC为直角三角形,∠CAB=90°,AB=AC=2a,AH⊥BC,现将△ACH沿AH翻折到△AC'H的位置,使得二面角C'-AH-B的平面角为120°,如图2,则直线BC'与平面AC'H夹角的大小为　　　　.
　　
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某市为庆祝春节,共举行了8场精彩的烟花秀节目.前5场的观众人数(单位:万)与场次的统计数据如下表所示:
场次编号x 1 2 3 4 5
观众人数y/万 0.7 0.8 1 1.2 1.3
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x之间的关系,请建立y关于x的线性回归方程;
(2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等级的票价,某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况,得到的部分数据如表所示,请将2×2列联表补充完整,是否有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 50
女性观众 60
总计 100 200
参考公式及参考数据:线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为;
χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
16.(15分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠DAB=,点M为BD的中点.
(1)证明:B1M∥平面A1C1D;
(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.
17.(15分)如图,已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
18.(17分)某品牌国产电动汽车近期进行了一系列优惠促销活动,活动宗旨是既要真正让利于民,又要保证品质兼优.工厂在车辆出厂前抽取了100辆该品牌电动汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100辆电动汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
(2)根据大量的测试数据,可以认为该品牌电动汽车的单次最大续航里程X近似服从正态分布N(μ,σ2),经计算,该品牌电动汽车样本标准差s的近似值为50,用样本平均值作为μ的近似值,用样本标准差s作为σ的估计值,现从该品牌电动汽车的生产线中任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率;
(3)某线下销售公司面向意向客户推出“玩游戏,赢大奖,送现金”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,指挥车模在方格图上行进,若车模最终停在“幸运之神”方格,则可获得购车优惠券8万元;若最终停在“赠送现金”方格,则可获得若干现金.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5,车模开始在第0格,客户每掷一次硬币,车模向前移动一次.若掷出正面,车模向前移动一格,若掷出反面,车模向前移动两格,直到移到第4格(幸运之神)或第5格(赠送现金)时游戏结束.若有6人玩游戏,每人参与一次,求这6人获得优惠券总金额的期望值.
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
19.(17分)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,P为椭圆的上顶点,以P为圆心且过F1,F2的圆与直线x=-相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知直线l交椭圆C于M,N两点.
①若直线l的斜率等于1,求△OMN面积的最大值;
②若·=-1,点D在l上,OD⊥l.证明:存在定点W,使得|DW|为定值.
答案与解析
全书综合测评
1.C　因为l1⊥l2,所以2×m2+m×(-1)=0,
解得m=0或m=.
2.A　由随机变量X~N(5,σ2),可知μ=5.因为P(X>10-a)=0.4,所以P(Xa)=0.6.
3.B　以活动甲的参加人数为分类标准,可分为两类:一是活动甲有3人参加,二是活动甲有4人参加.
当活动甲有3人参加时,可以分为2男1女和3男0女两种情况,
所以此时不同的参加方法有=18+4=22(种);
当活动甲有4人参加时,可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况,
所以此时不同的参加方法有=18+12+1=31(种).
由分类加法计数原理得,满足条件的不同的参加方法种数是22+31=53.
4.B　b+c,A错误;
b+c-a,B正确;
因为点P在线段AN上,且AP=3PN,所以b+c-a,C错误;
=a+b+c-a=a+b+c,D错误.
5.D　A与B一定互斥,A中说法正确;
P(A|B)=,则P(AB)==P(A)P(B),
∴事件A与B相互独立,B中说法正确;
P(,
∴P(A+B)=P(),C中说法正确;
P(B|≠P(A),D中说法错误.
6.B　由题意可得双曲线C的焦点在x轴上,设|F1F2|=2c.
∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,
∴|PF2|=|F1F2|=2c,点P位于第一象限,
∵|OF2|=c,∴点P的坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°),即P(2c,c),
∵点P在过点A且斜率为的直线上,A(a,0),
∴,可得=2,即e=2.
7.A　如图,连接PA,PC,
由A1A⊥底面ABCD,C1C⊥底面ABCD,可得∠A1PA,∠MPC分别为直线A1P,MP与底面ABCD的夹角,
由∠A1PA=∠MPC,可得,
又|A1A|=2|MC|,∴|PA|=2|PC|.
在平面ABCD内,以D为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设正方体的棱长为a(a>0),则A(a,0),C(0,a),
设P(x,y),0≤x≤a,0≤y≤a,
由|PA|=2|PC|,得,
整理得,故动点P的轨迹是以为圆心,为半径的圆在正方形ABCD内的部分.
8.B　如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,连接AC1,
则A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D(0,1,0),故=(1,1,1),则=(x,y,z),
所以x+y+z=·>.
|>表示在方向上的投影数量.
当点P为AC1与内切球的交点时,|>取得最值.
取正方体的中心O,则O,内切球半径为,
所以|AO|-≤|>≤|AO|+,
所以|>∈,故x+y+z∈.
9.BD　所有项的二项式系数之和为26=64,故A错误;
令x=1,得所有项的系数之和为(1-2)6=1,故B正确;
的二项式通项为Tr+1=,r=0,1,2,…,6,
令=0,得r=2,∴常数项为(-2)2=60,故C错误;
展开式有7项,二项式系数最大的项为第4项,故D正确.
10.AD　对于A,a在b方向上的投影向量为·=(1,2,2),A正确;
对于B,直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α∈[-1,1],
当k∈[-1,0)时,倾斜角θ∈;当k∈[0,1]时,倾斜角θ∈,所以直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪,B错误;
对于C,令a+c=λ(a-b)+μ(b+c),则λ=μ=1,
所以向量a-b,b+c,a+c共面,故不能作为空间向量的一组基,C错误;
对于D,因为=1,所以P,A,B,C四点共面,D正确.
11.ABC　对于A,设P(x,y),因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半,
所以|x-4|,化简可得=1,A正确;
对于B,联立得(x-1)2=0,解得x=1(二重根),则y=,故直线l1上存在满足题意的点P,所以直线l1:x+2y-4=0是“最远距离直线”,B正确;
对于C,过点P作PB⊥l于点B,
由题意可得|PB|=2|PF|,则|PA|+2|PF|=|PA|+|PB|,
由图可知|PA|+|PB|的最小值即为点A到直线l的距离,为5,C正确;
对于D,x2+y2-2x=0可变形为(x-1)2+y2=1,则圆C的圆心为(1,0),半径为1,易知点P的轨迹与圆C交于点(2,0),D错误.
12.答案　y2=8x
解析　由题意可知F,设A(x0,y0),则|AF|=x0+,
因为|AF|=2|OF|,所以x0+=p,解得x0=,则=2px0=p2,即|y0|=p,
则S△OAF==4,又p>0,所以p=4,所以抛物线方程为y2=8x.
13.答案　
解析　由题意得=“三次抽到的号码全相同”,则P(,
所以P(A)=1-.
事件B表示抽到的三个号码为2,2,3或1,3,3,
故B A,则P(AB)=P(B)=,
故P(B|A)=.
14.答案　30°
解析　由已知得AH=BH=HC=2a,则HC'=2a,
以H为坐标原点,HA,HB所在直线分别为x轴、y轴,过点H且垂直于平面HAB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2a,0,0),H(0,0,0),B(0,2a,0),C'(0,-a,a),
所以=(2a,0,0),
设平面AC'H的一个法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,则x=0,y=,所以n=(0,,1).
设直线BC'与平面AC'H的夹角为α,
则sin α=|cos<,n>|=,所以α=30°.
故直线BC'与平面AC'H夹角的大小为30°.
15.解析　(1)设y关于x的线性回归方程为.
由题表中数据可知=1,(3分)
可得=10,(5分)
则=0.52,
所以y关于x的线性回归方程为=0.16x+0.52.(8分)
(2)根据数据补全2×2列联表如下:
购买A等票 购买非A等票 总计
男性观众 40 50 90
女性观众 60 50 110
总计 100 100 200
所以χ2=≈2.020<2.706,(11分)
故没有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关.(13分)
16.解析　(1)证明:连接B1D1,交A1C1于点N,连接DN,(2分)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,DD1∥BB1,DD1=BB1,
所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD.
又点M为BD的中点,N为B1D1的中点,
所以B1N=MD且B1N∥MD,(4分)
所以四边形B1NDM是平行四边形,所以B1M∥ND,
又因为B1M 平面A1C1D,DN 平面A1C1D,所以B1M∥平面A1C1D.(6分)
(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),
设A1(x,y,z),其中z>0,
则=(0,1,0),(8分)
因为AA1=1,cos<,
所以即解得
则A1,则.(10分)
设平面BAA1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则
令y1=1,则x1=0,z1=-1,则m=(0,1,-1),
设平面AA1D的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
则
令x2=1,则y2=0,z2=-,则n=(1,0,-),(12分)
设二面角B-AA1-D的大小为θ,
则|cos θ|=|cos|=,
则sin θ=,
所以二面角B-AA1-D的正弦值为.(15分)
17.解析　(1)易得焦点F的坐标为(0,1),C1(1,-1),设M,
则|PM|=,(2分)
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线准线y=-1的距离,
所以|FM|=+1,(4分)
由|PM|=|FM|,得+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(6分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),令Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,(9分)
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,所以A(2k1,),同理B(2k2,),
所以kAB=,
所以直线AB的方程为y-(x-2k1),即y=x-k1k2,即y=x-y0.
所以|AB|=··,
P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d=,整理得-4y0=3,(12分)
联立得(x0-1)(+19x0-13)=0,所以x0=1或+19x0-13=0,
设f(x0)=≤x0≤,显然f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=+19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(15分)
18.解析　(1)估计这100辆电动汽车的单次最大续航里程的平均值为
=0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300千米.(4分)
(2)由题意得X~N(300,502),
则P(250(3)已知硬币出现正、反面的概率都是,(8分)
第一次掷出正面,车模移动到第1格,其概率P1=,
车模移动到第2格有两类情况:掷出2次正面或掷出1次反面,其概率P2=,(10分)
同理,P3=,
P4=,
P5=,(13分)
设参与游戏一次的顾客获得的优惠券金额为X万元,则X的可能取值为8,0,
∴EX=8×.(15分)
设这6人获得的优惠券总金额为Y万元,则EY=E(6X)=6×=33,所以这6人获得优惠券总金额的期望为33万元.(17分)
19.解析　(1)由题意知F1(-1,0),F2(1,0),P(0,b),所以c=1.
因为以P为圆心且过F1,F2的圆与直线x=-相切,
所以该圆的半径为,所以a=|PF1|=,所以b==1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(4分)
(2)①设直线l的方程为y=x+t,M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=x+t代入+y2=1,得3x2+4tx+2t2-2=0,
所以x1+x2=-,(6分)
Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,解得-.
所以|MN|=,
点O到直线l的距离d=,(8分)
所以S△OMN=··≤,
当且仅当t2=3-t2,即t=±时等号成立,
故当t=±时,△OMN的面积最大,且最大值为.(10分)
②证明:显然直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+m,M(x3,y3),N(x4,y4),
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
所以x3+x4=-,
所以y3y4=(kx3+m)(kx4+m)=k2x3x4+km(x3+x4)+m2=,
所以·=-1,
解得m=±,
所以直线过定点Z或Z,(14分)
所以D在以OZ为直径的圆上,该圆的圆心为W或W,半径为,
所以存在定点W,其坐标为或,使得|DW|为定值.(17分)
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