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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练1　直线方程及位置关系的应用
1.(多选题)(2025江西南昌师范大学附属中学素养测试)下列说法错误的是(　　)
A.已知直线l1:3x-y+15=0,若l1⊥l2,则l2的倾斜角为
B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪
C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程均可写为=
D.已知A(2,4),B(1,1),若直线l:kx+y+k-2=0与线段AB有公共点,则k∈
2.已知过定点(2,1)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则这样的直线的条数为(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.0
3.(多选题)(2025辽宁大连育明高级中学月考)已知直线l1:xcosθ+ysinθ=1,直线l2:xcosθ-ysinθ=1,直线l3:xsinθ+ycosθ=1,直线l4:xsinθ-ycosθ=1,则下列说法正确的是(　　)
A.对任意的θ∈R,l2⊥l3恒成立
B.对任意的θ∈R,l1∥l4恒成立
C.存在θ∈R,使得l1⊥l3成立
D.存在θ∈R,使得l2∥l4成立
4.(2025四川广安期中)已知直线l1:mx+y+2=0与直线l2:x-my-2=0交于点M,点M关于直线x-y=0对称的点为N(a,b),则的取值范围是(　　)
A.[-7,1]　　　　B.(-∞,-7]∪[1,+∞)
C.[-1,7]　　　　D.(-∞,-1]∪[7,+∞)
5.(2025江西南昌进贤第一中学联考)设m∈R,过定点A的动直线x+2+m(y-7)=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是　　　　.
6.(2025广东河源和平部分学校期中)现定义:在平面直角坐标系xOy中,在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”,横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”,已知A(5+2a,0),B均为“正直点”.
(1)求a的取值范围;
(2)求△AOB的面积取得最小值时对应的周长;
(3)若A,B为“整数点”,求直线AB的一般式方程.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　直线方程及位置关系的应用
1.ACD　对于A,∵l1⊥l2,=,∴=-,设l2的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),则tanθ=-,得θ=π,A中说法错误;
对于B,直线方程可化为y=-sinα·x-2,∴直线的斜率k=-sinα∈[-1,1],即tanθ∈[-1,1],
又θ∈[0,π),∴θ∈∪,B中说法正确;
对于C,直线平行于坐标轴,即x1=x2或y1=y2时,直线方程不能写为=,C中说法错误;
对于D,l的方程可化为k(x+1)+(y-2)=0,∴l恒过定点C(-1,2),
则kAC==,kBC==-,
结合图象(图略)可知-k∈[kBC,kAC],∴k∈,D中说法错误.
2.B　由题意知,直线l的斜率存在且不为零,设其方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k.令x=0,得y=1-2k;令y=0,得x=,所以直线l交x轴于点,交y轴于点(0,1-2k).由题意可得··|1-2k|=4,即=8.
①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,此时Δ1=0,有1条直线符合条件;
②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,此时Δ2=144-16=128>0,有2条直线符合条件.
综上所述,符合条件的直线l有3条.
3.ACD　对于A,∵cosθsinθ+(-sinθcosθ)=0,θ∈R,∴l2⊥l3恒成立,正确;
对于B,∵cosθ(-cosθ)-sinθsinθ=-1≠0,θ∈R,
∴l1∥l4不成立,错误;
对于C,若l1⊥l3,则cosθsinθ+sinθcosθ=0,解得θ=,k∈Z,正确;
对于D,若l2∥l4,则cosθ(-cosθ)-(-sinθ)sinθ=sin2θ-cos2θ=0,且cosθ×(-1)-sinθ×(-1)=sinθ-cosθ≠0,解得θ=-+kπ,k∈Z,正确.
4.D　由解得
可得M,
所以N,即a=,b=,
当m=-1时,a=0,b=2,则无意义;
当m>-1时,==-=-+3≤-2+3=-1,当且仅当m+1=,即m=1时等号成立;
当m<-1时,==-=+3≥2+3=7,当且仅当-(m+1)=,即m=-3时等号成立.
综上,≥7,或≤-1.
5.答案　[5,5]
解析　由题意知,动直线x+2+m(y-7)=0过定点A(-2,7),
动直线mx-y-m+3=0,即m(x-1)-y+3=0过定点B(1,3),
当m≠0时,两动直线的斜率之积为-1,则两直线垂直,
当m=0时,两直线也垂直,∴两直线始终垂直,
则PA⊥PB,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(1+2)2+(3-7)2=25.
设∠ABP=θ,则|PA|=5sinθ,|PB|=5cosθ,
由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈,
∴|PA|+|PB|=5(sinθ+cosθ)=5sin,
∵θ∈,∴θ+∈,
∴sin∈,
∴5sin∈[5,5],
故|PA|+|PB|的取值范围是[5,5].
6.解析　(1)由题意可得解得a>-1.
故a的取值范围为(-1,+∞).
(2)由(1)知a+1>0,则S△AOB=·(5+2a)·
=·=
≥=12,
当且仅当4(a+1)=,即a=时等号成立,
此时A(6,0),B(0,4),△AOB的周长为4+6+=10+2.
(3)由题意可知5+2a,=2+均为整数,
所以2a,均为整数,
又a>-1,所以2a>-2,令k=2a,k∈Z,则==∈Z,
所以k+2=1,2,3,6,即k=-1,0,1,4,
所以a=-,0,,2,
当a=-时,A(4,0),B(0,8),直线AB的一般式方程为2x+y-8=0;
当a=0时,A(5,0),B(0,5),直线AB的一般式方程为x+y-5=0;
当a=时,A(6,0),B(0,4),直线AB的一般式方程为2x+3y-12=0;
当a=2时,A(9,0),B(0,3),直线AB的一般式方程为x+3y-9=0,
所以直线AB的一般式方程为2x+y-8=0或x+y-5=0或2x+3y-12=0或x+3y-9=0.
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