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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练4　求离心率的值或范围
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025广东韶关综合测试)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与椭圆C没有公共点,则双曲线-=1的离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.(1,)　　　　D.
2.(2025江苏南京六校联合体调研)已知圆(x-2)2+y2=1与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于A,B两点,且|AB|=1,则该双曲线的离心率e为(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
3.(2025江西新余第四中学模拟)已知离心率为e的椭圆C:+=1(a>b>0),A,B分别为C的左、上顶点,F2为右焦点,F2D⊥x轴交C于D(D位于第一象限),直线BD交过A且垂直于x轴的直线于E,若=e2,则e=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2025河南南阳期中质量评估)已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且|F1F2|=4,直线l过F2且与Γ的一条渐近线平行,l与Γ的交点为P,若△PF1F2的内切圆O'的半径恰为,则Γ的离心率e为　(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.2
5.(2024辽宁省实验中学月考)已知F1,F2为椭圆E和双曲线C的公共焦点,P是它们的一个公共点,e1,e2分别为E和C的离心率.若∠F1PF2=60°,则+的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2025江西景德镇一中期中)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上的动点.若△PF1F2的外接圆和内切圆的半径之积的最大值为,则该椭圆的离心率为　　　　.
7.(2025江西多校月考)已知A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下顶点,M是椭圆C上一动点.
(1)若直线MA,MB的斜率之积为-,且C的短轴长为2,求C的方程;
(2)若P是圆x2+y2-2by=0上一动点,且|MP|≤3b,求C的离心率e的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　求离心率的值或范围
1.D　以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=a2-b2,由题知椭圆短轴的端点在此圆外,则b2>a2-b2,解得a2<2b2,则双曲线的离心率e=>=,
由a>b,得e=<=,
故双曲线的离心率的取值范围为.
2.D　圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径r=1,双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,因为|AB|=1,所以圆心(2,0)到双曲线的渐近线的距离d===,所以b=c,又c2=a2+b2,所以a=c,所以e==.
3.D　由题意得A(-a,0),B(0,b),F2(c,0),D,
易求得直线BD的方程为y=x+b,令x=-a,得y=,
∵===e2=,
∴=,∴ab=ac-bc+c2,∴(a+c)b=(a+c)c,
∴b=c,∴e====.
4.D　由题意知F1(-c,0),F2(c,0),不妨设l与渐近线y=x平行,则l的方程为y=(x-c),即bx-ay-bc=0,
设△PF1F2的内切圆O'与△PF1F2的三边的切点分别为A(x0,0),B,C,如图所示,
则|PC|=|PB|,|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,则|PF1|-|PF2|=|PC|+|CF1|-(|PB|+|BF2|)=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=(x0+c)-(c-x0)=2x0=2a,则x0=a,
又AO'⊥x轴,圆O'的半径为,所以O',
则点O'到l的距离为=,
整理得|4a-3c|=c,结合c>a,解得c=2a,
所以e==2.
5.D　不妨设椭圆E的方程是+=1(a1>b1>0),双曲线C的方程是-=1(a2>0,b2>0),F1,F2分别为椭圆E和双曲线C的左、右焦点,P在第一象限内,
由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,
|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,
在△F1PF2中,由余弦定理可得,(2c)2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60°,
即4c2=+3,∴4=+,
由柯西不等式得≥,
故≤×4=,即+≤,当且仅当=,即e1=,e2=时取等号.
知识延伸　柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.
6.答案　
解析　设∠F1PF2=θ,则由正弦定理得△PF1F2的外接圆的半径r1=×=,
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ,
∴|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),∴4c2=4a2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),
∴4b2=2|PF1||PF2|(1+cosθ),
整理得|PF1||PF2|=.
设△PF1F2的内切圆的半径为r2,则由等面积法得
r2(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=|PF1||PF2|sinθ,
即r2(2a+2c)=××sinθ,
解得r2=,
所以r1r2=·=,
由题意知为锐角,当P为椭圆的短轴端点时,最大,此时cos=,则≤cos<1,所以≤cos2<1,
所以≤=,当且仅当P为椭圆的短轴端点时取等号,
由题意得=,解得c=a,
则该椭圆的离心率e==.
7.解析　(1)易知A(0,b),B(0,-b),
设点M(x0,y0),则+=1,则-b2=-,
则kMA·kMB=·===-=-,
又C的短轴长为2,即2b=2,故b=,
所以b2=6,a2=8,
所以C的方程为+=1.
(2)方程x2+y2-2by=0可化为x2+(y-b)2=b2,则圆心为A(0,b),半径为b,
因为|MP|≤3b,所以|MA|≤2b.
设M(x0,y0),则+=1,则=a2,
所以|MA|2=+(y0-b)2=a2+(y0-b)2=-++a2+b2,-b≤y0≤b.
当-≤-b,即b2≥c2时,(|MA|2)max=4b2,即|MA|max=2b,符合题意,
由b2≥c2,可得a2≥2c2,所以0当->-b,即b2令+a2+b2≤(2b)2=4b2,化简得(c2-b2)2≤0,
所以c2=b2,这与b2综上,C的离心率的取值范围为.
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