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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练6　圆锥曲线中的最值与范围问题
　　　　　　　　　　　　　
1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若动点P在C的右支上,F1,F2分别为C的左、右焦点,·的最小值是2a(其中O为坐标原点),则的最小值为(　　)
A.4　　B.8　　C.16　　D.24
2.(2025河南部分学校期中)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
3.(2025浙江绍兴期中)已知M,N是椭圆C:+=1上关于原点对称的两点,F是椭圆C的右焦点,则|FM|2+8|FN|的取值范围为(　　)
A.[51,76]　　　　B.[52,76]　　
C.[64,80]　　　　D.[68,80]
4.(2025重庆巴蜀中学期中)如图,曲线C由三部分构成:半圆F1:(x+1)2+y2=1(y≥0),半圆F2:(x-1)2+y2=1(y≥0),半椭圆Γ:+=1(y<0),直线AB:y=(x-1)交C于A,B两点,动点P在曲线C上,则△PAB面积的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.4
5.(2025江西上饶第二中学月考)如图,双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与双曲线的两支分别交于点A,B(A在线段F1B上),圆O1与圆O2分别为△AF1F2与△ABF2的内切圆,其半径分别为r1,r2,则的取值范围是(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.(0,+∞)
6.(2025江西八校协作体联考)已知点P(-2,1)是抛物线C:x2=2py上的一点,F是C的焦点,动点M,N在C上,且PM⊥PN,则|FM|+|FN|的最小值为　　　　.
7.(2025山东泰安期中)“若P为椭圆上的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则椭圆在点P处的切线平分∠F1PF2的外角”,这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C:+=1,P是椭圆上的点,在点P处的切线为直线l,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则|MF1|的最小值为　　　　.
8.(2025河南商丘中州联盟期末)若椭圆的长轴长、短轴长分别等于双曲线的实轴长、虚轴长,且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上,则称椭圆是双曲线的共轭椭圆,双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆C1:+=1的共轭双曲线为C2.
(1)求C2的标准方程;
(2)已知点A(-2,0),直线l(不过点A)与C2相交于M,N两点,且AM⊥AN,求点A到直线l的距离的最大值.
9.(2025广东佛山H7教育共同体联考)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为C上一点.
(1)已知|F1F2|=4,且点M(0,1)在C上.
(i)求椭圆C的方程;
(ii)求|PM|的最大值;
(2)若O为坐标原点,|OP|=|OF2|,且△F1PF2的面积等于9,求b的值和a的取值范围.
10.(2025山东A7联盟开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过抛物线的焦点F作直线l1分别在第一、四象限交C于点K,P,过原点O作直线l2与抛物线的准线交于点E,设两直线的交点为S.当点P的纵坐标为-2时,|OP|=.
(1)求C的方程;
(2)若EP平行于x轴,证明:S在抛物线C上;
(3)在(2)的条件下,记△SEP的重心为R,延长ER交SP于点Q,直线EQ交C于N,T两点(T在右侧),设NT的中点为G,求△PEG与△ESQ的面积的比值n的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　圆锥曲线中的最值与范围问题
1.B　设P(x0,y0),则·=cx0,
当x0=a时,cx0取得最小值ac,则ac=2a,所以c=2.
依题意知 解得
设|PF2|=t(t≥1),则|PF1|=t+2,
所以==t++4≥2+4=8.
2.D　如图,作抛物线的准线l:y=-,分别过点A,B作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足为A1,B1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1++y2+=y1+y2+p,
因为点F为△ABC的重心,所以=,即y1+y2=-y3,
所以|FA|+|FB|=-y3+p=-y3,
因为点C在抛物线E上,所以y3≥0,故|FA|+|FB|≤,
则=10,解得p=4.
3.C　由题意得a=5,b=4,则c==3.
设椭圆C的左焦点为A,连接AM,AN,
因为M,N关于原点对称,所以四边形AMFN为平行四边形或M,N为左、右顶点,
则|AN|=|FM|,|AM|=|FN|,
则|FM|+|FN|=|FM|+|AM|=2a=10,
故|FN|=10-|FM|,
故|FM|2+8|FN|=|FM|2-8|FM|+80=(|FM|-4)2+64,
又2≤|FM|≤8,所以|FM|2+8|FN|∈[64,80].
4.B　由题意得F1(-1,0),F2(1,0).
联立解得即A,
则|AB|=|AF2|+|F2B|=+1=.
显然当点P在半圆F1上且PF1⊥AB时,△PAB的面积最大,过F1作AB的垂线,交半圆F1于点P,
因为点F1(-1,0)到直线AB的距离d==,
所以点P到直线AB的距离h≤d+|PF1|=+1=,
故S△PAB≤××=.
5.C　由题意得a=1,b=2,则c==3.
设|AF1|=m,|BA|=p,则|AF2|=2+m,|BF2|=m+p-2,
∴=r1(8+2m)=(4+m)r1,
=r2(2m+2p)=(m+p)r2,
∴==.
在△AF1F2与△ABF2中,cos∠F1AF2=-cos∠BAF2,
即=-,得p=,
∴===,
当l逐渐趋向于与双曲线的渐近线y=2x平行时,m逐渐增大,p→+∞,∴4-m→0,得m→4,
当l逐渐趋向于与x轴重合时,m逐渐减小,m→2,
故m∈(2,4),∴∈.
6.答案　11
解析　因为点P(-2,1)在抛物线C:x2=2py上,
所以(-2)2=2p,解得p=2,所以抛物线C:x2=4y,F(0,1).
显然直线PM的斜率存在且不为0,设其方程为y-1=k(x+2),
联立方程组得x2-4kx-8k-4=0,
所以-2xM=-8k-4,解得xM=4k+2,
所以|FM|=yM+1=k(4k+2+2)+1+1=4k2+4k+2,
同理可得|FN|=-+2,
所以|FM|+|FN|=4k2+4k+2+-+2=4k-+2+11,
所以|FM|+|FN|的最小值是11,此时k-+=0,解得k=.
7.答案　4-2
解析　由椭圆C的方程知a=4,b=2,c==2,
如图,延长F1M,F2P交于点N,由题意可知∠F1PM=∠NPM,
又PM⊥F1N,故M为F1N的中点,且|PF1|=|PN|,
所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8,
因为O为F1F2的中点,所以|OM|=|F2N|=×8=4,
故点M的轨迹是以O为圆心,r=4为半径的圆,其方程为x2+y2=16,
易知点F1到圆心O的距离|OF1|=c=2,
所以|MF1|min=r-|OF1|=4-2.
8.解析　(1)由题意可设C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),则a=2,b=,
所以C2的标准方程为-=1.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立得(3-4k2)x2-8kmx-4m2-12=0,
所以3-4k2≠0且Δ=(-8km)2+4(3-4k2)(4m2+12)>0,
即k2≠且m2+3-4k2>0,则x1+x2=,x1x2=-,则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
因为AM⊥AN,且=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),
所以·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=-++4+
=-=-=0,
所以m=2k或m=14k.
当m=2k时,直线l:y=k(x+2)恒过点(-2,0),不符合题意;
当m=14k时,直线l:y=k(x+14)恒过点(-14,0)(记为D),符合题意.
当l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=n,
则M,N(或M,
N,两种情况对应结果相同),
因为AM⊥AN,且=,=,
所以·=(n+2)2-=0,解得n=-14或n=-2(舍去).
综上可得,直线l恒过点D(-14,0),则当AD⊥l时,点A到直线l的距离取得最大值,为|AD|=12.
9.解析　(1)(i)由题意得c=2,b=1,所以a2=b2+c2=5,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(ii)设P(x,y)(-1≤y≤1),则x2=5-5y2,则|PM|==,所以当y=-时,|PM|取得最大值,为.
(2)取PF2的中点N,连接ON,则ON⊥PF2,
因为O为F1F2的中点,所以ON∥PF1,所以PF1⊥PF2,
则=|PF1||PF2|=9,所以|PF1||PF2|=18,
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
得(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,即4a2-36=4c2,所以a2-c2=9,即b2=9,所以b=3.
因为P为C上一点,且PF1⊥PF2,所以∠F1PF2的最大值大于或等于90°,
当∠F1PF2取得最大值时,点P位于椭圆的上、下顶点,设椭圆的上顶点为B,
则∠F1BF2≥90°,所以∠OBF2≥45°,
则tan∠OBF2=≥1,所以c≥b=3,所以a2=c2+9≥18,
所以a∈[3,+∞).
10.解析　(1)由题意设P(a,-2)(a>0),则|OP|==,得a=1,即P(1,-2),
代入抛物线方程得4=2p,解得p=2,
所以C的方程为y2=4x.
(2)证明:由(1)知F(1,0),C的准线方程为x=-1,
不妨设P(x1,y1),K(x2,y2)(y1<0,y2>0),l1:x=my+1,
若EP∥x轴,则E(-1,y1),所以l2:y=x,即y=-y1x,
联立得所以S,
又P在C和l1上,所以则S,此时===,即=4xS,
所以S在抛物线C上.
(3)在(2)的条件下可知S,K两点重合,由重心的性质知Q为SP的中点,
同(2),设P(x1,y1),S(x2,y2)(y1<0,y2>0),l1:x=my+1,
则E(-1,y1),Q,
由得y2-4my-4=0,
则y1+y2=4m,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
且y1==2m-2,
则Q(2m2+1,2m),
易知lEQ:y=(x+1)+y1,整理得x=(y-y1)-1.
设N(xN,yN),T(xT,yT),则G,
由得y2-y+y1+4=0,
则yN+yT==2yG,即yG==2,
因为Q是线段SP的中点,所以S,P到直线EQ的距离相等,
则n======2-,
设f(m)=2-,
若m>0,则f(m)=2-,显然>1,所以2>2->1;
若m=0,则f(m)=2;
若m<0,则f(m)=2+,所以3>2+>2.
综上,n的取值范围为(1,3).
解题技法
破解解析几何中的最值与范围问题的常用方法
1.用定义与性质:利用抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等,椭圆或双曲线上的点到两焦点的距离之间的固定规律,以及圆锥曲线的性质,将所求问题进行合理转化;
2.建立目标关系式:利用已知条件与圆锥曲线的定义、几何性质,建立目标关系式;
3.建立目标函数:求最值(范围)问题时,根据平面几何中的最值的结论(如两点间线段最短等)或基本不等式,建立目标函数,利用函数的知识求解.
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