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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练9　(a+b)n(c+d)m与(a+b+c)n的展开式问题
　　　　　　　　　　　　　
1.(2025云南德宏阶段测试)(2x+1)的展开式中含x2的项的系数为(　　)
A.10　　　　B.20
C.-10　　　　D.-20
2.(2024广西桂林等三地联合检测)在-+-1的展开式中,的系数为(　　)
A.-60　　　　B.60
C.-120　　　　D.120
3.(2025山东济南第一中学学情检测)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为(　　)
A.20　　　　B.25
C.30　　　　D.35
4.(2024福建莆田一中月考)(x+2y)5(x-2y)7的展开式中,x9y3的系数为(　　)
A.-160　　　　B.-80
C.160　　　　D.80
5.(多选题)(2024福建福州期中)在(a-x)(1+x)6的展开式中,x的奇数次幂项的系数之和为64,则下列结论正确的是(　　)
A.a=3
B.展开式中常数项为3
C.展开式中x4的系数为30
D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
6.(2025贵州遵义适应性考试)在(a+3x)(1-x)5的展开式中,x5的系数为32,则a=　　　　.
7.(x+1)·的展开式中,x3的系数为　　　　(用数字作答).
8.(2024山东菏泽一中月考)若(x+1+m)2023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2023(x+1)2023,且(a0+a2+…+a2022)2-(a1+a3+…+a2023)2=32023,则实数m的值为　　　　.
9.(2024四川绵阳期末)求的展开式中的常数项.
10.(2023江苏盐城一中期中)在(n∈N+)的展开式中,　　　　,　　　　.
从条件①第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4,②各项系数之和为512,③第7项为常数项中选择两个分别补充在上面的横线上,并回答下列问题.
(1)求实数a和n的值;
(2)求(x-1)的展开式中的常数项.
答案与分层梯度式解析
专题强化练9　(a+b)n(c+d)m与(a+b+c)n的展开式问题
1.B　(2x+1)=2x+,
的二项式通项为Tr+1=x5-r=(-1)rx5-2r,r=0,1,2,3,4,5,
令5-2r=1,得r=2,则T3=(-1)2x=10x;
令5-2r=2,得r= N,不合题意.
所以含x2的项的系数为2×10=20.
2.C　因为-+-1=,
所以=,
的二项式通项为Tk+1=(-1)kxk-10,
令k-10=-3,得k=7,则的系数为(-1)7×=-=-120.
3.B　∵展开式中所有项的系数之和为64,
∴(3-1)(1+1)n=64,∴n=5,
(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5,
(x+1)5的二项式通项为Tr+1=x5-r,
当r=2时,T3=x3=10x3,3x·10x3=30x4,
当r=1时,T2=x4=5x4,(-1)·5x4=-5x4,
30x4-5x4=25x4,故展开式中含x4的项的系数为25.
4.D　(x+2y)5(x-2y)7=[(x+2y)(x-2y)]5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,
(x2-4y2)5的二项式通项为Tr+1=(x2)5-r(-4y2)r=(-4)rx10-2ry2r,
令无解;令得r=1;令无解.故展开式中含x9y3的项的系数为-4··(-4)1=80.
5.ABD　设(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1),①
令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0,②
①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1),
因为展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64,
即a1+a3+a5+a7=64,
所以2×64=64(a-1),解得a=3,
即(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
令x=0,可得a0=3,即展开式中常数项为3.
①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=64×2,
所以a0+a2+a4+a6=64,
即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64.
(3-x)(1+x)6的展开式中x4的系数为3×-1×=25.
6.答案　-17
解析　(a+3x)(1-x)5=a(1-x)5+3x(1-x)5,
a(1-x)5中x5的系数为-a,3x(1-x)5中x5的系数为3=15,所以-a+15=32,解得a=-17.
7.答案　98
解析　因为(x+1)=x·++18+,
所以只需找的展开式中x2,x3的系数即可.
的展开式中含x2,x3的项出现在(1+)8的展开式中,(1+)8的二项式通项为Tr+1=()r=,令=2,得r=4,令=3,得r=6,
故所求系数为+=98.
8.答案　2或-2
解析　在(x+1+m)2023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2023(x+1)2023中,
令x=0,得(1+m)2023=a0+a1+a2+…+a2023,
令x=-2,得(-1+m)2023=a0-a1+a2-a3+…-a2023,
所以(a0+a2+…+a2022)2-(a1+a3+…+a2023)2
=(a0-a1+a2-a3+…-a2023)(a0+a1+a2+a3+…+a2023)
=(-1+m)2023(1+m)2023=(m2-1)2023=32023,
所以m2-1=3,解得m=±2.
9.解析　求展开式中的常数项,需x2的指数是的指数的,据此分类讨论,再考虑y4与的指数.
①当x2的指数为1时,的指数为2,此时只需y4+5的展开式中出现y2项,即·(y4)2·,
因此常数项为·x2····(y4)2·=1680;
②当x2的指数为2时,的指数为4,此时只需的展开式中出现y4项,显然不可能.
故所求常数项为1680.
10.解析　(1)由条件①得=,所以n=9.
对于条件②,令x=1,得(1+a)n=512.
由条件③得xn-6=a6xn-6-3为常数项,所以n=9.
所以选择①或③均得到n=9,所以只能选择条件①与②或条件②与③,则(1+a)9=512,解得a=1.
(2)由(1)得(x-1)=(x-1)=x-,的二项式通项为Tr+1=x9-r=,r=0,1,…,9,令9-r+=0,得r=7,令9-r=0,得r=6,所以常数项为-=-48.
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