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2026北师大版高中数学选择性必修第一册
专题强化练11　二项分布与超几何分布
　　　　　　　　　　　　　
1.(多选题)(2025江西上饶实验中学检测)已知n>2,且n∈N+,下列关于二项分布与超几何分布的说法中,错误的有(　　)
A.若X~B,则E(2X+1)=n+1
B.若X~B,则D(2X+1)=n
C.若X~B,则P(X=1)=P(X=n-1)
D.当样本总数远大于抽取数目时,可以用二项分布近似估计超几何分布
2.(多选题)(2024江苏南通海安高级中学学情调研)一袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为其中白球的个数,随机变量Y为其中黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论中正确的是(　　)
A.P(|Z-6|≤1)=
B.EX>EY
C.DX=DY
D.EZ=
3.(2024北京四中期中)一个不透明的袋子有10个除颜色不同外,大小、质地完全相同的球,其中有6个黑球,4个白球.试验一:从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,每次抽取后都放回,记取到白球的个数为X1;试验二:从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,每次抽取后都不放回,记取到白球的个数为X2.则下列判断正确的是(　　)
A.EX1EX2
C.DX1>DX2　　　　D.DX14.(2024河南漯河高级中学月考)为进一步深化劳动教育改革,现从某单位全体员工中随机抽取3人进行问卷调查.已知某单位有N名员工,其中是男性,是女性.
(1)当N=10时,求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望;
(2)我们知道,当总量N足够大而抽出的个体足够小时,超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑,从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人,在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1,在二项分布中即男性员工的人数X~B男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时,我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布 (参考数据:≈24.04)
5.(2025吉林长春开学考试)在巴黎奥运会中,国球再创辉煌,包揽全部5枚金牌,其中最惊险激烈的就是男单1/4决赛,中国选手樊振东对战日本选手张本智和.比赛采取7局4胜制,每局为11分制,每赢一球得一分.
(1)樊振东首局失利,第二局比赛双方打到8∶8平,此时张本智和连续发球2次,接着樊振东连续发球2次.根据以往比赛结果统计,樊振东发球时他自己得分的概率为0.6,张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5,各球的结果相互独立,遗憾的是该局比赛樊振东最终以9∶11落败,求其以该比分落败的概率;
(2)在本场比赛中,张本智和先以2∶0领先,根据以往比赛结果统计,在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为,张本智和获胜的概率为,且每局比赛的结果相互独立.
(i)假设两人又进行了X局后比赛结束,求X的分布列与数学期望;
(ii)最后樊振东以4∶3拿下了本场比赛,成功晋级半决赛,有媒体报道樊振东从0∶2到4∶3实现了“惊天逆转”,你认同这个说法吗 请结合本题中的数据简要说明你的理由.
6.(2024广东东莞模拟)某单位进行招聘面试,已知参加面试的N名学生全都来自A,B,C三所学校,其中来自A校的学生人数为n(n>1).该单位随机给每个面试人员安排了一个面试号码k(k=1,2,3,…,N),按面试号码k由小到大的顺序依次进行面试,每人面试5分钟,面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率;
(2)若N=40,n=10,且B,C两所学校参加面试的学生人数之比为1∶2,求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后,B,C两校都还有学生未完成面试)的概率;
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从A校第1名学生开始面试到最后1名学生完成面试所用的时间),EX是X的数学期望,证明:EX=.
答案与分层梯度式解析
专题强化练11　二项分布与超几何分布
1.BC　对于A,EX=n,则E(2X+1)=n+1,A中说法正确;
对于B,DX=n×n,则D(2X+1)=4DX=n,B中说法错误;
对于C,P(X=1)=××××,故P(X=1)≠P(X=n-1),C中说法错误;
显然D中说法正确.
2.ACD　由题意知X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,
故P(X=k)=(k=0,1,2,3,4),
可知Z的所有可能取值为4,5,6,7,8,则P(|Z-6|≤1)=1-P(Z=4)-P(Z=8)=1-P(X=0)-P(X=4)=,故A正确;
EX=4×,DX=D(4-Y)=DY,故B错误,C正确;
EZ=2×EX+EY=,故D正确.
3.C　试验一:由已知得每次抽到白球的概率为,则X1~B,故EX1=3×,DX1=3××.
试验二:由已知得X2的可能取值是0,1,2,3,则P(X2=0)=,
故X2的分布列为
X2 0 1 2 3
P
则EX2=0×+1×+2×+3×,
DX2=××××.
因此EX1=EX2,DX1>DX2.
4.解析　(1)当N=10时,男性员工有4人,女性员工有6人,X服从超几何分布,X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则EX=0×+1×+2×+3×.
(2)由题意知男性员工有N人,女性员工有N人,
则P1=·,
P2=××=0.288,
若P1-P2≤0.001,则·-0.288≤0.001,
即≤,
易知(N-1)(N-2)>0,则720N≤289(N-1)(N-2),
化简得N2-147N+578≥0,又N>0,所以N+≥147.
由函数y=x+在(,+∞)上单调递增,且≈24.04,
可知y=N+在N≥25时单调递增,
又142+≈146.07<147,143+≈147.04>147,
所以当N≥143时,符合题意,
考虑到N和N都是整数,则N一定是5的整数倍,
则N至少为145时,我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
5.解析　(1)依题意,樊振东以9∶11落败的情况分三种:
①后四球樊振东依次为胜败败败,概率为P1=0.5×0.5×0.4×0.4=0.04,
②后四球樊振东依次为败胜败败,概率为P2=0.5×0.5×0.4×0.4=0.04,
③后四球樊振东依次为败败胜败,概率为P3=0.5×0.5×0.6×0.4=0.06,
所以所求事件的概率为P1+P2+P3=0.14.
(2)(i)X的可能取值为2,3,4,5,
P(X=2)=×,
P(X=3)=×××,
P(X=4)=×××,
P(X=5)=××××××,
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
则EX=2×+3×+4×+5×.
(ii)认同.由(i)知张本智和获胜的概率为××××××,
樊振东获胜的概率为×××,
则张本智和获胜的概率大于樊振东获胜的概率,而最后樊振东以4∶3拿下了本场比赛,
所以可以说樊振东从0∶2到4∶3实现了“惊天逆转”.
6.解析　(1)记“面试号码为2的学生来自A校”为事件M,
解法一:将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间,则样本点总数为,
事件M表示A校有1名学生的面试号码为2,
其他(n-1)名学生的面试号码在剩余(N-1)个面试号码中随机安排,
则事件M包含的样本点数为,
故P(M)=.
解法二:面试号码为2的样本点总数为,事件M中的样本点数为,因此P(M)=.
(2)设B校参加面试的学生有x名,
由题意得,解得x=10,
所以B校参加面试的学生有10名,C校参加面试的学生有20名.
记“最后面试的学生来自B校”为事件E,“最后面试的学生来自C校”为事件F,
显然事件E,F互斥.
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D,则D=ED+FD.
当事件E发生时,只需考虑A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那名来自C校,
则P(E)=,(最后面试的学生有种选法,最后面试的学生来自B校有种选法)
P(D|E)=,(A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的学生有种选法,他来自C校有种选法)
因此P(ED)=P(E)P(D|E)=×.
同理,当事件F发生时,只需考虑A,B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那名来自B校,
则P(FD)=P(F)P(D|F)=×.
所以P(D)=P(ED)+P(FD)=.
(3)证明:由题知随机变量X的可能取值为5n,5(n+1),…,5N,
则P(X=5k)=,k=n,n+1,…,N,
(样本点总数为,“X=5k”表示A校最后一名学生第k个面试,其中包含的样本点数为)
所以随机变量X的期望EX=5k·
=
=
=+…+)
=+…+
(利用化简)
=·,
所以EX=.
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