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期末真题检测卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 朝阳区期末）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
2．（2024秋 临高县期末）若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
3．（2022秋 东莞市期末）关于函数y，下列说法中正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线
D．y的值随x的值增大而减小
4．（2022秋 孝昌县期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．40
C．40 D．
5．（2024春 长春期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C'，点A，B的对应点分别是A'，B'，边A'B'经过点A，若∠B'CA＝37°，则∠BAC的大小为（　　）
A．77° B．78° C．79° D．80°
6．（2024秋 贵州期末）下列运算正确的是（　　）
A．2 B． C． D．
7．（2024春 凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的值为（　　）
A．4 B． C． D．6
8．（2023秋 莒南县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 遵义期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
10．（2024春 大埔县期末）化简分式的结果是 　 　 ．
11．（2024秋 许昌期末）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s．
12．（2024秋 邵阳期末）分式方程的解为 　 　 ．
13．（2024秋 青羊区期末）如图，反比例函数的图象经过 OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点B（3，1），S OABC＝3，则k的值为 　 　 ．
14．（2023春 清丰县校级期末）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝6，AD＝8，点E是对角线AC、BD的交点，点P是边AD上一个动点，作点D关于直线PE的对称点D'，当ED'与矩形一条边垂直时，PD的长是 　 　 ．
15．（2024秋 河西区期末）如图，E为正方形ABCD内一点，EA⊥EB，垂足为E，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，若AB＝4，则FG的最小值是 　 　 ．
16．（2024春 惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　 　 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2024秋 西安期末）计算：．
18．（2021春 永嘉县校级期末）解方程：．
19．（2024秋 澧县期末）先化简，后求值：，其中a，b＝2．
20．（2022春 永城市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
21．（2024秋 遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形内部框架AECF为菱形．
（2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长．
22．（2024秋 银川期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如表所示：
每次打捞鱼数 50 100 200 300 500
每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 n
打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.095 0.103 0.100
根据表中数据，回答下列问题：
（1）表中m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ；
（2）随机从鱼糖中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为 　 　 （精确到0.1）；
（3）若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
23．（2024秋 大祥区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
24．（2024秋 长沙期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间2024年12月4日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用800元购进这款窗花，很快售完，又花1200元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该店两次购进这款窗花各多少个？
（2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于3400元，则每个窗花的售价至少为多少元？
25．（2022春 洪泽区期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
（1）直接写出y与x之间的函数表达式 　 　 ；
（2）若图象的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间y（min）与速度x（m/min）之间的关系，则：
①老李家距离单位 　 　 m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少m/min才能不迟到？
26．（2024秋 化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
期末真题检测卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B D A C B D
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 朝阳区期末）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则B不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，则C不符合题意；
D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
2．（2024秋 临高县期末）若分式是最简分式，则△表示的是（　　）
A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2
【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），且分式是最简分式，
所以△中肯定不含有（x+y）或（x﹣y）．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
3．（2022秋 东莞市期末）关于函数y，下列说法中正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线
D．y的值随x的值增大而减小
【解答】解：在y中，k＝﹣2＜0，
∴图象位于第二、四象限，图象是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，
故A，C，D选项不符合题意，
∵x≠0，y≠0，
∴函数图象与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：B．
4．（2022秋 孝昌县期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．40
C．40 D．
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，
依题意得：．
故选：D．
5．（2024春 长春期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C'，点A，B的对应点分别是A'，B'，边A'B'经过点A，若∠B'CA＝37°，则∠BAC的大小为（　　）
A．77° B．78° C．79° D．80°
【解答】解：∵将△BAC绕点C逆时针旋转得到△B′A′C，
∴∠B＝∠B'＝40°，∠BAC＝∠B'A'C，CA＝CA'，
∴∠B'A'C＝∠CAA'，
∵∠CAA'＝∠B'+∠ACB'＝77°，
∴∠BAC＝∠B'A'C＝∠CAA'＝77°，
故选：A．
6．（2024秋 贵州期末）下列运算正确的是（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：A、与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
7．（2024春 凉州区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的值为（　　）
A．4 B． C． D．6
【解答】解：如图，连接AE，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB＝2ME，OD＝2MF，
∵∠MEF＝∠MFE，
∴ME＝MF，
∴AB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OA＝OB，
∴AB＝AO＝BO＝3，
∴△ABO是等边三角形，BD＝6，
∴AD，
故选：B．
8．（2023秋 莒南县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm，
∴BQ＝AP＝4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s，
∴v的值为：4÷2＝2cm/s；
②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB＝10cm，AE＝6cm，
∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm，
∵5÷2＝2.5s，
∴2.5v＝6，
∴v．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2024秋 遵义期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣1　 ．
【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，
则x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
10．（2024春 大埔县期末）化简分式的结果是 　　 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
11．（2024秋 许昌期末）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ 　3.6　 m/s．
【解答】解：∵智能机器人的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s，
设反比例函数解析式为，代入得：
k＝60×6＝360，
∴反比例函数解析式为，
当m＝100时，，
故答案为：3.6．
12．（2024秋 邵阳期末）分式方程的解为 　x＝3　 ．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：2x＝3（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：∵当x＝3时，x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3，
故答案为：x＝3．
13．（2024秋 青羊区期末）如图，反比例函数的图象经过 OABC的顶点C，A在y轴的负半轴上，若点B（3，1），S OABC＝3，则k的值为 　6　 ．
【解答】解：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，
∵点B（3，1），S OABC＝3，
∴3 BC＝3，
∴BC＝1，
∴C（3，2），
∵反比例函数y的图象经过点C，
∴k＝6．
故答案为：6．
14．（2023春 清丰县校级期末）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝6，AD＝8，点E是对角线AC、BD的交点，点P是边AD上一个动点，作点D关于直线PE的对称点D'，当ED'与矩形一条边垂直时，PD的长是 　或5　 ．
【解答】解：如图，
∵点D关于直线PE的对称点为D'，
∴△DPE≌△D′PE，
∴ED＝ED′，PD＝PD′，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠ADC＝90°，AE＝EC，BE＝DE，AC＝BD，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
当ED′⊥AD，
∴ME∥CD，
∵AE＝EC，
∴MECD＝3，MDAD＝4，
在Rt△DME中，DE＝ED′5，
∴MD′＝5﹣3＝2，
设DP＝D′P＝x，
则MP＝4﹣x，
在Rt△MPD′中，根据勾股定理得，
MD′2+PM2＝PD′2，
即4+（4﹣x）2＝x2，
解得x，
∴PD．
当ED′⊥AB时，
∴AD∥ED′，
∴∠DPE＝∠D′EP，
∵点D关于直线PE的对称点为D'，
∴EP是∠D′ED的平分线，PD＝PD′，
∴∠D′EP＝∠DEP，
∴∠DPE＝∠DEP，
∴PD＝PE，
∵DE＝5，
∴PD＝DE＝5．
综上所述，PD的长是或5．
故答案为：或5．
15．（2024秋 河西区期末）如图，E为正方形ABCD内一点，EA⊥EB，垂足为E，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，若AB＝4，则FG的最小值是 　1　 ．
【解答】解：连接CE，
∵F，G分别是DE，CD的中点，
∴FGCE，
∴当CE取得最小值时，FG的值最小，
∵EA⊥EB，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为O，连接OC，
当点E在OC上时，CE的值最小，
∵AB＝BC＝4，
∴OBAB＝2，
∴OC2，
∴CE＝OC﹣OE＝22，
∴FG的最小值1，
故答案为：1．
16．（2024春 惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　（6，）　 ．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4）
∴OM＝3，DM＝4，
∴OD5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k，b，
∴直线BC的关系式为yx，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
解得：，（舍去），
∴F（6，），
解法二：过点F作FH⊥x轴于点H，设BH＝3a．
∵FB∥OD，
∴∠FBH＝∠DOM，
∴tan∠FBH＝tan∠DOM，
∴FH＝4a，
∴F（5+3a，4a），
∵A（4，2），
∴（5+3a）×4a＝8，
解得a或﹣2（舍去），
∴F（6，）．
故答案为：（6，）．
三．解答题（共10小题）
17．（2024秋 西安期末）计算：．
【解答】解：原式2
＝32
＝4．
18．（2021春 永嘉县校级期末）解方程：．
【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，
整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣5，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．
19．（2024秋 澧县期末）先化简，后求值：，其中a，b＝2．
【解答】解：原式
．
当a，b＝2时，原式．
20．（2022春 永城市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
21．（2024秋 遵义期末）小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形内部框架AECF为菱形．
（2）若AE⊥AD，F为DE的中点，，求四边形AECF的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC．
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵AE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，
∵F为DE的中点，
∴AF＝EF＝DF．
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝AF，
∴AE＝EF＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
又∵AE⊥AD．
∴∠EAD＝90°．
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2AE．
∵四边形ABCD为菱形．
∴．
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴
∴AE＝6（负值舍去）．
∵四边形AECF为菱形，
∴菱形AECF的周长为4×6＝24．
22．（2024秋 银川期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如表所示：
每次打捞鱼数 50 100 200 300 500
每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 n
打捞到带标记的鱼的频率 0.080 m 0.095 0.103 0.100
根据表中数据，回答下列问题：
（1）表中m＝ 　0.11　 ，n＝ 　50　 ；
（2）随机从鱼糖中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为 　0.1　 （精确到0.1）；
（3）若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
【解答】解：（1）m＝11÷100＝0.11，n＝500×0.100＝50；
故答案为：0.11，50；
（2）根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1；
故答案为：0.1；
（3）这个鱼塘中鱼约有200÷0.1＝2000（条），
2000×40＝80000（元），
答：这片鱼塘的价值大约是80000元．
23．（2024秋 大祥区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
【解答】解：（1）；
（2）
．
24．（2024秋 长沙期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间2024年12月4日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用800元购进这款窗花，很快售完，又花1200元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该店两次购进这款窗花各多少个？
（2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于3400元，则每个窗花的售价至少为多少元？
【解答】解：（1）设该店第一次购进这款窗花x个，则第二次购进这款窗花2x个，
由题意得：1，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝400，
答：该店第一次购进这款窗花200个，第二次购进这款窗花400个；
（2）设每个窗花的售价为m元，
由题意得：200m+400m﹣800﹣1200≥3400，
解得：m≥9，
答：每个窗花的售价至少为9元．
25．（2022春 洪泽区期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
（1）直接写出y与x之间的函数表达式 　y　 ；
（2）若图象的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间y（min）与速度x（m/min）之间的关系，则：
①老李家距离单位 　3000　 m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少m/min才能不迟到？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y．
∵点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500，
∴|k|＝1500，
∴k＝±3000，
∵k＞0，
∴k＝3000，
∴y与x之间的函数表达式为y．
故答案为：y；
（2）①由题意可知，y，
∴老李家距离单位3000m．
故答案为：3000；
②∵y，
∴当y＝60﹣15﹣5＝40时，40，
解得x＝75．
∵在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴老李步行速度至少为75m/min才能不迟到．
26．（2024秋 化州市期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
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