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山西省大同市百校 2024-2025年九年级中考联考模拟 （三）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．2025年3月18日，从山西大学光电研究所获悉，山西大学与多家单位合作，将DNA折纸二维晶格与二维范德华材料结合，构建出独特的二维软-硬物质界面．研究团队通过优化DNA折纸结构的设计参数，成功构建了尺寸达到级别的高质量DNA折纸二维晶格．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
5．化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．一辆汽车加满油后，在匀速行驶的过程中，油箱中剩余油量（单位：）是行驶路程（单位：）的一次函数．该汽车连续匀速行驶过程中，部分数据如下表所示，当油箱中剩余油量为时，行驶的路程为（ ）
… 0 50 100 …
… 45 41 37 …
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点是上的一点，以为直径作，交于点，过点作的切线交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，制作椅子时，横截面为正五边形的水平木梁必须安装在支撑柱的槽口中，为使木梁能够准确咬合在槽口中，则支撑柱的一个角的度数为 ．
13．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：．若，则硬叶柳生长的海拔为 ．
14．阿尔法狗可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师用人类围棋对弈分别训练了三只阿尔法狗，简记为甲、乙、丙．测试阶段让某围棋手与甲、乙、丙中的两只阿尔法狗各比赛一局，则该围棋手会与甲比赛的概率为 ．
15．如图，在中，，，，点是的中点，点是上的一点，连接．若平分，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）解方程：．
17．如图，在中，．
(1)实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)计算：若，，求线段的长．
18．第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理．
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率
九年级一班 7 6
九年级二班 7.3 8
根据上述信息回答下列问题：
(1)填空： ， ， ．
(2)在所抽取同学的成绩中，每班成绩前的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号．请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由．
(3)请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可）
19．如图，点是某景区的游客服务中心，景区内有，，三处景点．已知景点位于点的正东方向，与点相距；景点位于点的正南方向，与点相距；从景点处观测，点位于点的北偏东方向上，点位于点的西南方向上．求景点，之间的距离．（点，，，在同一平面内，结果精确到，参考数据：，，，）
20．身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表：
分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦
1克碳水化合物 1 1.5 15
1克脂肪 3 3 45
请解答下列问题：
(1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克．
(2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟）
21．阅读与思考
“算两次”原理 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一：． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ……
任务：
(1)例1中得到的乘法公式是 （用含，的式子表示）．
(2)请将例2中的剩余过程补充完整．
(3)请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若，则点到的距离为 ．
22．综合与实践
问题情境
图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点．
建立模型
如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度．
教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象．
问题解决
(1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数．
②求关于的函数表达式．
(2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表：
0 2 4 6 8
4
①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式．
②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：）
23．综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点落在线段上时，连接交于点，连接，，，试判断和的数量关系，并说明理由．
特例探究
（1）请你回答老师提出的问题．
探索发现
（2）如图2，当点落在对角线上时，连接交于点，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸
（3）在矩形旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
《山西省大同市百校 2024-2025年九年级中考联考模拟 （三）数学试卷》参考答案
1．D
解：A、属于有理数，不符合题意；
B、0属于有理数，不符合题意；
C、，属于有理数，不符合题意；
D、属于无理数，符合题意；
故选：D．
2．B
解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B ．
3．C
解：数据用科学记数法表示为．
故选：C．
4．A
解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形，
∴该几何体是四棱锥，
故选：A．
5．D
解：
，
故选：D．
6．B
解：如图所示，
水杯的截面图为矩形，
，，
，
，
，
，，
．
故选：B．
7．B
解：，
解①得，，
解②得，，
解集表示在数轴上如图所示，
，
故选：B ．
8．C
解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．C
解：设函数解析式为，将、代入，得
解得
∴函数解析式为，
当时，
解得．
故选C．
10．A
解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
又，，
∴
∴
又∵在中，，
∴
∴是等边三角形，
∵
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴
过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，则，，
∴阴影部分面积
故选：A．
11．
解：
故答案为：．
12．/108度
解：，；
故答案为：．
13．
解：依题意，当时，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
14．
解：根据题意列表如下，
甲 乙 丙
甲 乙甲 丙甲
乙 甲乙 丙乙
丙 甲丙 乙丙
共有种等可能结果，其中含有甲的有种情况，
∴该围棋手会与甲比赛的概率为
故答案为：．
15．/
解：如图，过点作，延长交于点，过点作于点，
∵，点是的中点，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（1）；（2）
解：（1）原式
．
（2）．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
17．(1)见解析
(2)
（1）解：如答图，即为所求（答案不唯一）．
作法一：尺规作线段的垂直平分线交于点，
∴，
∴；
作法二：尺规作角等于已知角；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得．
18．(1)8，6，
(2)小张是九年级二班的同学，见解析
(3)见解析
（1）解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中分的最多，则，
九年级二班得分分别为：则中位数为，
；
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：
九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分
∵，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学；
（3）解：答案不唯一，例如：
①九年级一班成绩的优秀率为，高于九年级二班成绩的优秀率，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好；
②九年级一班成绩的合格率为，高于九年级二班成绩的合格率，所以从合格率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好；
③九年级二班成绩的平均数为7.3分，高于九年级一班成绩的平均数7分，所以从平均数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；
④九年级二班成绩的中位数为8分，高于九年级一班成绩的中位数6分，所以从中位数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；
⑤九年级二班成绩的众数为8分，高于九年级一班成绩的众数6分，所以从众数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；等等．
19．景点，之间的距离约为
解：如图，分别过点作于点，作于点．
由题可知四边形是矩形， ， ， ，
，
设则
在中， ，
，即，
在中， ，
即
解得：
在中，，
∴，
∴，
即景点，之间的距离约为．
20．(1)小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克
(2)小祺至少需要分配43分钟进行快走
（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，
根据题意，得，
解得，
答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克．
（2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，
根据题意，得，
解得，
∵结果精确到1分钟，
∴的最小值为43，
答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．
21．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：将其看成一个大正方形则面积为，
将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为，
；
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
，
，
解得，
正方形的边长为．
（3）解：作于点，作于点，如图所示，
四边形是平行四边形，，，
，，
将纸片沿折叠，点的对应点为点，
，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
在中，，
，
，
又在中，，
，
，
又，，
，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
设点到的距离为，
，
．
故答案为：．
22．(1)①反比例；②
(2)①；②球发出时在竖直方向上的速度应调节为
（1）解：①根据图3该函数的图像可知，是的反比例函数．
故答案为：反比例；
②设关于的函数表达式为
根据图象得，当时，，
∴
解得
∴关于的函数表达式为．
（2）解：①根据表中数据得，该抛物线的对称轴为，即，且当时，，
∴，
解得，，
∴抛物线的函数表达式为．
②由题可知，落点的坐标为，，，
∴，
将代入，
得，
解得，
∴，（舍去）
∴球发出时在竖直方向上的速度应调节为．
23．（1），见解析
（2）见解析
（3）的长为或
解：（1），
理由：如图1，过点H作于P，
∵矩形，
∴，，，
∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
由旋转可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）如图，设与相交于Q，
∵矩形，
∴，，，
∴，
由旋转可得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即垂直平分．
（3）当，，三点在同一条直线上，点E在下方时，如图，
由旋转可得：，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当，，三点在同一条直线上，点E在上方时，如图，
同理可得：，，
在中，由勾股定理，得，
∴，
在中，由勾股定理，，
综上，当，，三点在同一条直线上时，的长为或．

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