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1.什么叫多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
2.下列式子从左到右哪个是因式分解 哪个是整式乘法？它们有什么关系？
1. a(x + y) = ax + ay
2. ax + ay = a(x + y)
整式乘法
因式分解
它们是互为方向相反的变形
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a + b + c )
pa+ pb +pc
p
=
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
还记得前面学过的乘法公式吗？
平方差公式：
两数和（差）的平方公式：
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a ± b)2 = a2 ±2ab + b2
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
是 a，b 两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
运用平方差公式因式分解
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式.
（1）x2 + y2
（2）x2 - y2
（3） - x2 - y2
- ( x2 + y2 )
y2 - x2
（4） - x2 + y2
（5）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（6）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
( x + y )( x - y )
( y + x)( y - x )
= (2x+3)(2x-3).
例1 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解：(1)原式 =
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
a
b
典例精析
3
(2x)2 - 3
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例2 分解因式：
………… 一提（公因式）
…… 二套（公式）
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）
解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2
= ( x2 + y2 )( x2 - y2 )
= ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ).
两数和(或差)平方公式：
两数和(或差)平方公式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2 倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
=（a ± b）2
运用两数和(或差)平方公式因式分解
凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
3、a + 4ab + 4b = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( )
2、m - 6m + 9 = ( ) - 2·( )·( ) + ( ) = ( )
1、x + 4x + 4 = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照公式 a ± 2ab + b = (a ± b) 进行因式分解，你会吗？
m
m - 3
3
x
2
m
3
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
(a ± b)
下列各式是不是两数和(或差)平方公式？
（1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b 与 - 1 的符号不统一.
不是
分析：
不是
是
（4）中间项缺 2 倍.
例3 分解因式：
（1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中，16x2 = (4x)2，
9 = 3 ，24x = 2·4x·3，
所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32.
2
a
b
b2
a2
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy
+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
解： (1) 16x2 + 24x + 9
= ( 4x + 3 )2.
= ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2
(2) -x2 + 4xy - 4y2
= -( x2 - 4xy + 4y2 )
= -( x - 2y )2.
例4 把下列各式分解因式：
（1）3ax2 + 6axy + 3ay2；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.
分析：（1）中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；
（2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36.
解：(1)原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
(2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62
= (a + b - 6)2.
例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算.
= 1.
= 2500.
1. 把下列各式分解因式：
(1) 16a2 - 9b2 =__________________；
(2) ( a + b )2 - ( a - b )2=________；
(3) 9xy3 - 36x3y =____________________；
(4) - a4 + 16 =_______________________.
( 4a + 3b )( 4a - 3b )
4ab
9xy( y + 2x )( y - 2x )
( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a )
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x + 36；
（2）4a2－4a + 1；
（3）y2 + 2y + 1 - x2 .
解：（1）原式 = x2－2·x·6 + 62
= (x－6)2.
（2）原式 = (2a)2－2·2a·1 + 12
= (2a－1)2.
(3) 原式 = (y + 1) - x
= (y + 1 + x)(y + 1 - x).
3.多项式 4a + ma + 9 是两数和(或差)平方公式，那么 m 的值是 .
±12
4. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______.
4
5. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5．求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值．
原式 = -40×5 = -200.
解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n)
= (4m + n)(3n - 2m)
= -(4m + n)(2m - 3n).
当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
公式法因式分解
公式
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
两数和(或差)平方公式：
a2±2ab＋b2 = (a±b)2

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