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2024-2025学年江西省宜春市高安市石脑中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知是函数的导函数，且，则( )
A. B. C. D.
3.从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是( )
A. 第一象限点比第二象限点多 B. 第二象限点比第三象限点多
C. 第一象限点比第三象限点少 D. 第二象限点比第四象限点少
4.已知等差数列的公差，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则使得成立的的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知狄利克雷函数，符号函数，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用有以下两个结论：
函数是奇函数且该函数在区间上的有理数零点恰有个；
函数既是偶函数，又是增函数那么 ．
A. 正确错误 B. 错误正确 C. 正确正确 D. 错误错误
8.已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，首项且满足，则 ．
A. B. 数列为等比数列．
C. D. ．
10.多选题下列说法正确的是( )
A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 设，，则“”是“且”的充分不必要条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
11.已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是( )
A. 在上为减函数 B. 的最大值是
C. 的图象关于直线对称 D. 在上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则
13.设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ．
14.若三次函数有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求的最小值；
若对所有都有，求实数的取值范围；
17.本小题分
在各项均为正数的等比数列中，．
求数列的通项公式；
，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数其中，为曲线上不同的两点．
时，求曲线在点处的切线方程；
时，讨论的单调性；
若，关于点对称，求的取值范围．
19.本小题分
对于基本不等式，即当，时有当且仅当时不等式取“”，我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到世纪，由在年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立．
请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值；
写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明；
如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.
15.由题意知，解得，所以；
若，则，所以．
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集．
因为，
当时，，又是的真子集，
所以，又，所以；
当时，，此时是的真子集，符合题意；
当时，，又是的真子集，
所以，又，所以．
综上，的取值范围是．
16.的定义域是，，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故．
，当时，恒成立，
等价于在时恒成立，
等价于在时恒成立，
令，，则即可；
，当时，恒成立，
在上单调递增，，
，即实数的取值范围为．
17.设数列的公比为，依题意可得
解得或，又因为数列的各项均为正数，所以．
从而可求得，
所以，．
，
18.当时，，则，
求导得，则，
故曲线在点处的切线方程为，
整理得：
当时，，求导得，
记，则求导得，
所以在单调递增，又，
所以当时，，则在区间上单调递减，
当时，，则在单调递增．
由题意可得
根据定义域为，则不妨设，则
又，即
记，，
又，，所以，
所以在区间上单调递增，
由于，当时，，所以有，
从而可知的值域为，要使得，则，
所以
19.由题意得
所以时，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
由题意可知，当时，
调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，，
当且仅当时，等号成立．
证明：
所以，，当且仅当时，等号成立．
根据题意，可设，，，
用，，替换，，可得，
当且仅当时，等号成立．
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为，
可得盒子的容积为，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为．

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