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如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c) 有关系 a2 + b2 = c2 时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C = 90°，这个三角形一定是直角三角形.
c
a
b
A
C
B
若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
探究： (1) 假设它是一个直角三角形；
(2) 由勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾；
(3) 因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
c
a
b
A
C
B
问题探究
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
探究发现
像这样的证明方法叫“反证法”.
例1 写出下列各结论的反面：
(1) a∥b；
(2) a≥0；
(3) b 是正数；
(4) a⊥b.
a＜0
b 是 0 或负数
a 不垂直于 b
a 不平行于 b
典例精析
例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
B
C
证明：假设　　　　　，
则　　　　　(　　　　　 ).
这与　　　　　　　　　矛盾．
假设不成立．
∴　　　　　　　　．
∠B＝∠C
AB＝AC
等角对等边
已知 AB≠AC
∠B≠∠C
小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例3 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线 a，b.
求证：a 与 b 只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
a
b
A
●
证明：假设 a 与 b 不止一个交点，
不妨假设有两个交点 A 和 A'，
因为两点确定一条直线，即经过
点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立.
所以两条直线相交只有一个交点.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
a
b
A
●
A'
●
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　 　　　　　　　　　　　，
∴　 　　　　　　　　　　　　　　，
这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
∴　 　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
三角形的内角和为180°
△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°
点拨：至少的反面是没有！
∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180°
1.试说出下列语句的反面：
（1）a 是实数； 　　
（2）a 大于 2；
（3）a 小于2； 　　
（4）至少有两个；
（5）最多有一个； 　
（6）两条直线平行.
a 不是实数
a 小于或等于 2
a 大于或等于 2
最多有一个
至少有两个
两直线不平行
2.用反证法证明“若a2 ≠ b2，则 a ≠ b”的第一步是　 .
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　　　 　　 　 .　
假设 a = b
假设这个三角形是等腰三角形
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）
A. 有两个内角是直角
B. 有三个内角是直角
C. 至少有两个内角是直角
D. 没有一个内角是直角
C
5.否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ）
A. a，b，c 都是奇数
B. a，b，c 都是偶数
C. a，b，c 中至少有两个偶数
D. a，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数
D
6.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有 n 个
小于 至多有 n 个
对所有 x成立 对任何 x 不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有（n - 1)个
至少有（n + 1)个
存在某个 x 不成立
存在某个 x 成立
不等于
某个
反证法
概念
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论.
证明步骤

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