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据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用 13 个等距离的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处.
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角
(1)
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(4)
(5)
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(7)
(8)
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(13)
(1)
(2)
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(12)
(13)
你想知道这是什么道理吗
问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8；
(3) a = 6，b = 8，c = 10.
试一试
可以发现，按 (1)、(3) 所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按 (2) 所画的三角形不是直角三角形.
直角三角形的判定
这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？
在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.
对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？
例1 已知：如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，a + b = c ，求证：∠C = 90°.
A
B
C
B′
C′
A′
证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
则 A′B′ = a + b = c ，即 A′B′ = c.
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∵ BC = a = B′C′，AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′ ( S. S. S. ).
∴∠C = ∠C′ = 90°.
典例精析
例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，
∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13 ，b = 14，c = 15.
(2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225，
∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
例3 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD 中，
所以△BCD 是直角三角形，
∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
例4 已知△ABC，AB = n - 1，BC = 2n，AC = n + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵ AB + BC = (n - 1) + (2n)
= n4 - 2n + 1 + 4n
= n4 + 2n + 1
= (n + 1)
= AC ，
∴△ABC 直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
先确定
AB、BC、AC、
的大小
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 例如， 3，4，5 ；6，8，10； n - 1，2n，n + 1(n 为大于 1 的正整数)等都是勾股数.
勾股数
下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
练一练
1.如果线段 a，b，c 能组成直角三角形，则它们的比可以是( )
A. 3 : 4 : 7 B. 5 : 12 : 13 C. 1 : 2 : 4 D. 1 : 3 : 5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )
A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
B
A
4.如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗 为什么
解：是直角三角形，因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理.
3.以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是 25，144，169，则这个三角形是_____三角形.
直角
5. 如图，在正方形ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.
解：由题意可知△ABE，△DEF，△FCB 均为直角三角形.
由勾股定理，知 BE2 = 22 + 42 = 20，EF2 = 22 + 12 = 5，BF2 = 32 + 42 = 25，
∴ BE2 + EF2 = BF2.
∴△BEF 是直角三角形.
4
1
2
2
4
3
一定是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数

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