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(共17张PPT)
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3 米，消防队员取来 6.5 米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是 2.5 米，请问消防队员能否进入三楼灭火
观察正方形瓷砖铺成的地面.
(1) 正方形 P 的面积是 平方厘米；
(2) 正方形 Q 的面积是 平方厘米；
(3) 正方形 R 的面积是 平方厘米.
1
2
1
R
Q
P
A
C
B
SP + SQ = SR
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
[图中每一格代表一平方厘米]
AC2 + BC2 = AB2
等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
Sp = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
直角三角形三边的关系
这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
想一想
P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度)
图 2
图 3
P、Q、R 面积关系
直角三角形三边关系
Q
P
R
Q
P
R
A
B
C
A
B
C
9
16
25
9
4
13
SP + SQ = SR
BC2 + AC2 = AB2
(每一小方格表示 1 平方厘米)
BC2 + AC2 = AB2
试一试
图 2
图 3
Q
P
R
Q
P
R
把 R 看作是四个直角三角形的面积
+
小正方形面积.
Q
P
R
Q
P
R
把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
S正方形R
分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
13
5
12
A
B
C
做一做
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
归 纳
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
a
b
c
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 .
(a + b)2
即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab，
∴ a2 + b2 = c2.
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
做一做
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
已知直角三角形两边，求第三边.
练一练
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
15 cm
17 cm
64 cm
2. 判断题 ①△ABC 的两边 AB = 5，AC = 12，则 BC = 13 ( ) ②△ABC 的 a = 6，b = 8，则 c = 10 ( )
3. 填空题 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，CB = 8，
则△ABC 面积为_____，
斜边为上的高为______.


24
4.8
A
B
C
D
4.一高为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少？
A
B
C
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得
BC2 = AB2 - AC2
= 2.52 - 2.42
= 0.49 (米).
所以 BC = 0.7 (米).
5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方 4 km 处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km. 这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？
4
5
5
4
C
B
A
解：在 Rt△ABC 中，
答：飞机飞过的距 离是 3 km.
6. 如图，一根旗杆在离地面 9 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处. 旗杆原来有多高
12 m
9 m
解：设旗杆顶部到折断处的距离为 x m，根据勾股定理，得
x = 15，15 + 9 = 24 (m).
答：旗杆原来高 24 m.
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2
利用勾股定理进行计算

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