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1．勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 .
即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
平方
a2＋b2＝c2
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________.
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
2．勾股定理的验证
据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：
如图，以 a、b 为直角边 (b＞a)，以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .　
把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形 ABCD，它是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 .而四边形 EFGH 是一个边长为 的正方形，它的面积等于 .
b－a　
c2
(b－a)2
∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，∴4× ab＋(b－a)2＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
3．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：
(1) 确定最大边；
(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；
(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
平方和
直角
c2
到目前为止判定直角三角形的方法有：
(1) 说明三角形中有一个角是　 ；
(2) 说明三角形中有两边互相　 ；
(3) 用勾股定理的逆定理．
直角
垂直
[注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出 a2＋b2＝c2 之类的错误．
4．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数．
[注意] 勾股数都是正整数．
正整
正整
5．勾股定理的应用
应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：
(1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；
(2) 说明线段的平方关系问题；
(3) 在　 上作表示 等数的点的问题；
(4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．
直角
数轴
例1 在△ABC 中，已知 BD 是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，且 a＝3，b＝4，求 BD 的长．
【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解．
解：∵∠B＝90°，∴b 是斜边，则在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ b BD＝ ac，
考点一 勾股定理
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数 3，4，5 的干扰．
方法总结
针对训练
1．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（　　）
A.25 B.14 C.7 D.7 或 25
D
考点二 勾股定理的逆定理与勾股数
例2 已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形．
【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC 是直角三角形，并且 c 边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明 a2＋b2＝c2 即可．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2，
故可以判定△ABC 是直角三角形．
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出 a2＋b2 和 c2 的值( c 边最大)；③判断 a2＋b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
方法总结
2.下列各组数中，是勾股数的为 （ ）
A．1，2，3 B．4，5，6
C．3，4，5 D．7，8，9
3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形网格的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
针对训练
(2)(4)
C
例3 如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解析：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1 点，有三种方式：
①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1 面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三种方式分别展开成平面图形如下：
考点三 勾股定理的应用
解： 在 Rt△ABC1 中，
在 Rt△ACC1 中，
在 Rt△AB1C1 中，
∴沿路径 走路线最短，最短路线长为5.
用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平”— — 把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用“平面上的两点之间线段最短”求解．
要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况．
方法总结
针对训练
4.如图，已知长方体的长宽高分别为 5、3、1，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A 爬到点 B，最短路程为（　　）
A
A. B. C. D.5
A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．10 米
C
例4 已如图，一架云梯 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（　　）
【解析】由题意知 AB = DE = 25，BC = 7，AD = 4，
∴在 Rt△ABC 中，
已知 AD = 4，则 CD = 24 - 4 = 20(米).
∴在 Rt△CDE 中，
∴BE = 15 - 7 = 8(米)．故选 C．
在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4，
∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得 AB ≈ 1.43.
∴ AC＝AB + BC ≈ 1.43 + 2.6＝4.03＞4．
答：卡车可以通过，但要小心．
解：过半圆的圆心 O，作直径的垂线交地面于点 D，在地面取点 C，使 CD＝1.4 米，过 C 作 OD 的平行线交半圆直径于点 B ，交半圆于点 A，连接 OA.
5. 如图，某住宅小区在相邻两楼之间修建一个上方是半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
针对训练
考点四 本章数学思想和解题方法
方程思想
例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕是 DE，求 CD 的长．
【解析】 欲求的线段 CD 在 Rt△ACD 中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD 为直角三角形．
在 Rt△ACD 中，AC2＋CD2＝AD2①，
设 CD＝x cm，则 AD＝BD＝(8－x) cm，
代入①式，得 62＋x2＝(8－x)2，
化简，得 36＝64－16x，
所以 x＝ ＝1.75，
即 CD 的长为 1.75 cm.
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
针对训练
6.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 12，BC = 5，点 E 在 AB 上，将△DAE
沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD
上的点 A′ 处，则 AE 的长为 .
例6 如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形，
（1）求四边形 ABCD 的面积；
（2）求∠ABC 的度数．
【解析】（1）先求出正方形 EFGH 的面积，
再分别求出四个小三角形的面积，进而可得出四边形 ABCD 的面积；（2）先根据勾股定理求出 AB、BC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，进而可得出∠ABC 的度数．
数形结合思想
解：（1）∵每个小方格都是边长为 1 的正方形，
∴S□EFGH = 5×5 = 25.
∴S四边形ABCD= S□EFGH - S△ADE - S△AFB - S△BCG - S△CDH
= 25 - ×2×3 - ×2×4 - ×1×2 - ×3×3
= 25 - 3 - 4 - 1 - =12.5.
（2）在 Rt△ABF 中，AB2 = AF2 + BF2 = 22 + 42 = 20.
在 Rt△BGC 中，BC2 = BG2 + CG2 = 12 + 22 = 5.
∴AB2 + BC2 = 20 + 5 = 25.
又∵AC2 = 52，
∴AB2 + BC2 = AC2.
∴△ABC 是直角三角形.
∴∠B = 90°．
勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想.勾股定理是由图形的特征(三角形中有一个角是直角)得到数量之间的关系(三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2)；勾股定理的逆定理由数量之间的关系 (a2 + b2 = c2) 得到图形的特征 (以 a，b，c 为三边长的三角形是直角三角形).只有把数和形有机地结合起来，才能更好地理解和应用勾股定理及其逆定理解决问题.对于网格中图形的有关计算问题，往往需要通过数形结合，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差来计算.
方法总结
针对训练
7.如图，网格中每个小正方形的边长都是 1，且 A，B，C，D 都在格点上．（要求：写出必要的过程）
（1）求四边形 ABCD 的面积；
（2）求∠ABC 的度数．
解：（1）S四边形ABCD＝6×6 - ×2×6 -
×2×4 - ×1×2 ×2×5 - 1×2＝18；
（2）∵AB2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AC2＝32+42＝25，AB2 + BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°．
转化思想
例7 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 4，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1、S2，则 S1+S2 等于 ．
2π
【解析】∵S1 = = πAC2，
S2 = = πBC2
∴S1+S2 = π(AC2 + BC2) = πAB2 = 2π．
利用勾股定理求相关图形的面积或它们之间的关系时，通常将图形的面积关系转化为直角三角形三边的关系或将不规则图形转化为直角三角形面积的和或差来解决.
方法总结
针对训练
8.如图，已知在 Rt△ABC 中，
∠BCA = 90°，AB = 10，分别以 AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为 S1，S2，则 S1 + S2= ．
12.5π
勾股定理及逆定理
勾股定理的应用
勾股定理
利用勾股定理和逆定理
解决实际问题
勾股数
确定几何体上的最短距离
a2＋b2＝c2
勾股定理的验证

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