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我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形.如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形，你还能做出符合条件的图形吗？
预习课本 85 页，回答什么是尺规作图，有哪几种基本作图.
基本作图 我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图. 最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图.
5 种基本作图：
（1）作一条线段等于已知线段；
（2）作一个角等于已知角；
（3）作已知角的平分线；
（4）经过一已知点作已知直线的垂线；
（5）作已知线段的垂直平分线.
一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.
已知：线段 MN. 求作线段 AC，使 AC＝MN.
作法：
1. 画射线 AB；
2. 用圆规量出线段 MN 的长，在射线 AB 上截取 AC＝MN. 线段 AC 就是所要画的线段.
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
已知：∠AOB.
求作：∠A'O'B'，使 ∠A'O'B' = ∠AOB.
O
A
B
作法：
1.作射线 O'A'；
2.以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于C，交 OB于 D；
3.以点 O' 为圆心，以 OC 长为半径作弧，交 O'A' 于 C'；
4.以点 C' 为圆心，以 CD 长为半径作弧，交前弧于 D'；
5.经过点 D' 作射线 O'B'，∠A'O'B' 就是所求的角.
O
A
B
C
D
O'
A'
C'
D'
B'
证明：连结 CD、C'D'，
由作法可知
∵ OC = O'C'，OD = O'D'，CD = C'D'，△COD≌△C'O'D' (S. S. S. ).
∴∠C'O'D' = ∠COD
(全等三角形的对应角相等).
即∠A'O'B' = ∠AOB.
O
A
B
C
D
B'
O'
A'
C'
D'
问题：如何用尺规作∠AOB 的平分线呢？
A
B
O
作已知角的平分线
步骤：1. 在射线 OA 和 OB 上，
分别截取 OD，OE，使 OD = OE；
2. 分别以 D，E 为圆心，
适当长(大于线段 DE 长的一半)
为半径作圆弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C；
3. 作射线 OC.
射线 OC 就是所要求作的∠AOB 的平分线.
A
O
B
C
D
E
想一想：为什么 OC 是角平分线呢？你能给出证明吗？
A
O
B
C
D
E
证明：连结 EC，DC.
∵OD = OE，DC = EC，OC = OC，
∴△OCD≌△OCE (S. S. S. ).
∴∠AOC =∠BOC.
注意：为简化推理格式，今后只注明主要依据，省略“已知”、“等量代换”等依据.
A
O
B
如何将∠AOB 四等分
想一想
步骤：1. 在射线 OA 和 OB 上，
分别截取 OD，OE，使 OD = OE；
2. 分别以 D，E 为圆心，
适当长(大于线段 DE 长的一半)
为半径作圆弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C；
3. 作射线 OC. 射线 OC 就是所要求作的∠AOB 的平分线.
4.在射线 OC 截取 OF，使 OF = OE，同理可得射线 OP、OQ，则 OP、OQ 分别是∠BOC、∠AOC 的平分线，于是∠AOB 四等分了.
A
O
B
C
D
E
F
P
Q
例1 已知线段 AB 和 CD，如图，求作一线段，使它的长度等于 AB + 2CD.
所以 EF 就是所求作的线段.
典例精析
例2 已知∠AOB，
利用尺规作：∠A'OB' 使∠A'OB' = 2∠AOB.
B
O
A
作法一：
C
A'
B'
∠A'OB' 即为所求.
B
O
A
C
D
法二：
E
B'
O
A'
∠A'OB' 即为所求.
口述作法、保留作图痕迹.
C'
1. 如图所示，已知线段 a，b，用尺规作图法作一条线段 AB 等于 2a－b. (写出作法)
解：如图所示．
作法：(1) 作一条直线 l；
(2) 在直线 l 上作线段 AC＝a，CD＝a；
(3) 在线段 AD 上作线段DB＝b，线段 AB 就是所求作的线段．
2. 已知： ∠1， ∠2.
求作：(1) ∠3，使得∠3 = ∠2 -∠1；
(2) ∠4，使得∠4 =∠1 +∠2.
1
2
解：1. 作法：
(1) 作射线 OA；
(2) 以 OA 为边做∠AOB =∠2；
(3) 以 O 为顶点，以射线 OA 为边，
在∠AOB 内部作∠AOD =∠1．
则∠BOD 即为所求的∠3.
O
A
B
D
解：2. 作法：
(1) 作射线 OA；
(2) 以 OA 为边做∠AOB =∠2；
(3) 以 O 为顶点，以射线 OB 为边，
在∠AOB 外部作∠BOD =∠1．
则∠AOD 即为所求的∠4.
O
A
B
D
3. (1)如图，已知∠BAC，试作∠1 = ∠BAC.（不写画法，保留作图痕迹）
A
1
B
C
(2)已知线段 AB，CD，如图所示，画一个等腰三角形，使其腰长等于 AB，底边长等于 CD．
C
A
B
D
C
D
A
(B)
(B)
4. 已知：线段 a，c，∠α.
求作：△ABC，使 BC = a，AB = c，∠ABC=∠α.
作法：(1) 作一条线段 BC = a；
(2) 以 B 为顶点、BC 为一边，作∠DBC =∠α；
(3) 在射线 BD 上截取线段 BA = c；
(4) 连接 AC，△ABC 就
是所求作的三角形.
a
c
α
B
C
D
A
c
a
5. 请在图中作出线段 AD，使其平分∠BAC 且长度
等于 m.
C
B
A
m
C
N
M
P
A
B
D
解：
三个基本作图
注意：①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程.
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作已知角的平分线的理论依据是：判定三角形全等的“边边边”

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