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在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
在△ABD 与△ACD 中，
∠1 =∠2，
∴ △ABD≌△ACD(A. A. S. ).
∠B =∠C，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形.
则∠1 =∠2.
∴ AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
知识要点
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所以的边也相等（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
等角对等边
等边对等角
例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC.
A
B
C
证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∠A = 40°，∠B = 70°，
∴∠C = 180° -∠A -∠B，
= 180° - 40° - 70° = 70°.
∴∠C =∠B.
∴ AB = AC.
典例精析
例2 如图，AD∥BC，∠1 =∠2，求证：AB = AC.
A
B
C
E
（
（
1
2
D
证明：∵ AD∥BC （已知），
∴ ∠B =∠1 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1 =∠2，
∴ ∠B =∠2（等量代换）.
∴ AC = BC（等角对等边）.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
等边三角形的判定
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠A =∠B，
∴ AC = BC.
∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角 ∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢？
例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ AD = AE，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C.
∴ ∠A = ∠ADE = ∠AED = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边)．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'，
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧.
A
C
B
B'
A'
C'
B
(A)
(C)
∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)，
∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°.
即点 B、C'、B' 在同一条直线上.
在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)，
∴ ∠B =∠B' (等边对等角).
在△ABC 和△A'B'C' 中，
∵∠B =∠B' (已证)，
∠ACB =∠ A'C'B' (已知)，
AC = A'C' (已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(A. A. S. ).
B'
A'
A
C
B
C'
B
(A)
(C)
这样我们就证明了前面给出的 H. L. .判定定理
1. 在△ABC 中，已知∠A = 50°，∠B = 65°，判断△ABC 是什么三角形，为什么
△ABC是等腰三角形，因为∠B = 65°，∠A = 50°，所以∠C = 65°，∠B =∠C = 65°，所以△ABC 是等腰三角形.
2. 如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠DBC = _____°，∠BDC = _____°，
图中的等腰三角形
有_______________________.
36
72
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
3. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，则△ABC 的周长为______cm.
9
4.如图，等边三角形 ABC 的三条角平分线交于点 O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4 个 B. 5 个
C. 6 个 D. 7 个
D
A
C
B
D
E
O
5.如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：∵ △ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴ ∠BDE = (180° -∠DBA)÷2 =(180° - 30°)÷2 = 75°.
∴ ∠EDA = 90° -∠BDE = 90° - 75° = 15°.
B
C
D
A
E
解：∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，
∴AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A，O，D 三点共线，
∴ ∠DOB =∠COA = 120°.
∴ △COA≌△DOB (S. A. S. ).
∴ ∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F，
∵ ∠EFB =∠AFO，∴ ∠AEB =∠AOB = 60°.
6.如图，A，O，D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
C
B
O
D
A
E
F
等腰三角形
等腰三角形的判定：等角对等边.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.

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