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问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖
1. 两点确定一条直线；
2. 两点之间，线段最短；
3. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.
例如下列的真命题作为基本事实：
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行；
3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
基本事实与定理
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
比如：“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据.
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
思 考
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
2 + 1 = 3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211，
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？
试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？
结果都是质数.
（2）如果 a = b，那么 a2 = b2. 由此我们猜想：当 a＞b 时，a2＞b2. 这个命题是真命题吗？
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
不正确，因为 3＞-5，但是 32＜(-5)2
实际上，这是一个正确的结论.
上面的几个例子说明了什么问题？
探讨归纳
通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.
定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.
例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°.
求证：∠A +∠B = 90°.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°，
(三角形的内角和等于 180°)，
又∵∠C = 90° (已知)，
∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质).
典例精析
A
B
C
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.
方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据.
在七年级的时候我们学行线的有关性质及其判别方法，哪位同学能说出它的性质和判别方法
现在我们就用演绎推理的方法来证明下面的判别方法：
例2　内错角相等，两直线平行.
A
B
l1
l2
l3
(
1
)
2
)3
已知：如图，直线 l3 分别与 l1，l2 交于点 A，点 B，且∠1 =∠2.
求证：l1∥l2.
你能根据图写出此定理的已知和求证吗？
证明：∵∠1 =∠2 (已知)，　
∠1 =∠3 (对顶角相等)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).　
∴ l1∥l2 (同位角相等，两直线平行).　
注意：
如果要证明一个文字语言叙述的证明题，而没有给出图形、已知、求证，我们要证明这个命题，就必须：
1. 首先根据命题的要求准确的画出图形，标出字母.
2. 再根据要求按照图中所标的字母用数学语言写出已知和求证.
3. 如果命题已给出已知和求证，那么就按照所学有关的基本事实、定理、性质等直接进行证明.
1. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，
∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
证明：
已知
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°，
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )，
∠BOD＋∠AOD＝180° ( ).
2. 用演绎推理证明下面的定理：
(1) 同旁内角互补两直线平行；
(2) 三角形的外角和等于 360°.
证明：(1) 如图，∵∠1 +∠2＝180°，∠1 +∠3＝180°.
∴∠2＝∠3．∴ l1∥l2 (同旁内角互补两直线平行).
(2) 如图，∵∠1 +∠ACB＝180°，
∠2 +∠BAC＝180°，∠3 +∠ABC＝180°，
∠ACB +∠BAC +∠ABC＝180°，
∴∠1 +∠2 + ∠3＝180°.
A
B
l1
l2
l3
(
1
)
2
)3
A
B
C
)
1
2
)
)
3
定理与证明
基本事实
定理的概念
证明
步骤：(1) 根据题意作出图形；
(2) 写出已知和求证；
(3) 写出证明的过程
概念

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