资源简介

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逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的判定
等边三角形的判定
知1－讲
知识点
等腰三角形的判定
1
1. 判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边” ) .
几何语言： 如图 13.3-18，在△ ABC 中，
∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC.
知1－讲
特别提醒
等腰三角形的定义也是一种判定方法，判定定理就是转化为定义再判断，也是证明在同一个三角形中两条线段相等的方法.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同
相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” .
不同点： 性质：两边相等→这两边所对的角相等 .
判定：两角相等→这两角所对的边相等 .
知1－讲
知1－练
如图 13.3-19，在△ ABC 中， P 是 BC 边上一点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA 的延长线于点 R，若 AQ=AR，则△ ABC 是等腰三角形吗？请说明理由 .
例1
知1－练
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可 .
知1－练
解： △ ABC 是等腰三角形 . 理由如下：
∵ AQ=AR，∴∠ R= ∠ AQR.
又∵∠ BQP= ∠ AQR，∴∠ R= ∠ BQP.
∵ RP ⊥ BC，∴∠ RPB= ∠ RPC=90° .
∴∠ B+ ∠ BQP=90°，∠ C+ ∠ R=90°，
∴∠ B= ∠ C. ∴ AB=AC.
∴△ ABC 是等腰三角形 .
知1－练
1-1.如图，点E在△ ABC的 AC 边的延长线上，点D 在 AB 边上， DE 交 BC于点F， DF=EF， BD=CE，过点D作DG∥ AC交BC于点G.
求证：△ ABC 是等腰三角形 .
知1－练
证明：∵DG∥AC，
∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF.
又∵∠DFG＝∠EFC，DF＝EF，
∴△GDF≌△CEF(A.A.S.)．∴DG＝EC.
∵BD＝CE，∴BD＝DG.∴∠DGB＝∠B.
∵∠DGB＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB.
∴AC＝AB，即△ABC是等腰三角形．
知2－讲
知识点
等边三角形的判定
2
1.判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 .
几何语言： 如图 13.3-20，在△ ABC 中，
∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形 .
知2－讲
2. 判定定理 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 .
几何语言： 如图 13.3-20，在△ ABC 中，
∵ AB=AC， ∠ A=60 °(或 ∠ B=60 °或∠ C=60°)，
∴△ ABC 是等边三角形 .
知2－讲
特别解读
1. 在等腰三角形中，只 要 有 一 个 角 是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理 2 都成立 .
2. 等边三角形的判定方法：
(1) 若已知三边关系，一般选用定义判定；
(2) 若已知三角关系，一般选用判定定理 1 判定；
(3) 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2 判定 .
知2－讲
3. 证明等边三角形的思维导图
知2－练
如图 13.3-21，在等边三角形 ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分线相交于点 O， OB、 OC 的垂直平分线分别交BC 于点 E、 F，连结 OE、 OF.
求证：△ OEF 是等边三角形 .
例2
知2－练
解题秘方：利用等边三角形的判定定理 1，通过求∠ OEF=∠ OFE= ∠ EOF=60° ，得△ OEF 是等边三角形.
知2－练
证明： ∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ ABC= ∠ ACB=60° .
∵ CO、 BO 分别平分∠ ACB、∠ ABC，
∴∠ OBE= ∠ OCF=30° .
由 OB、 OC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、 F，易证△ OGE ≌△ BGE，△ OHF ≌△ CHF，
∴ OE=BE， OF=CF.
知2－练
∴∠ BOE= ∠ OBE=30°，
∠ COF= ∠ OCF=30° .
∴ ∠ OEF= ∠ BOE+ ∠ OBE=60 °，
∠ OFE= ∠ COF+∠ OCF=60° .
∴∠ OEF= ∠ OFE=60° . ∴∠ EOF=60° .
∴△ OEF 是等边三角形 .
知2－练
教你一招：1. 从角的角度证明三角形是等边三角形，一是证明三角形的三个内角相等；二是求出三角形的三个内角度数都是 60° .
2. 在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形，原等边三角形的三个内角都是 60°，为求新三角形的内角度数提供了条件 .
知2－练
2-1. 如图， 已知在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC， CE = CD，DB=DE， ∠ E=30 ° ．
求证： △ ABC 是等边三角形．
知2－练
证明：∵DB＝DE，∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°.
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°.
∴∠BCD＝∠CDE＋∠E＝60°.
∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°.
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB. ∴△ABC是等边三角形．
知2－练
2-2.如图， △ ABC为等边三角形， ∠ 1=∠ 2= ∠ 3. 求证：△ DEF 是等边三角形 .
知2－练
知2－练
∴∠ADB＝∠CFA.∴∠FDE＝∠DFE.
同理可得∠DFE＝∠FED，
∴∠FDE＝∠FED＝∠DFE.
∴△DEF是等边三角形．
知2－练
如图 13.3-22，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM、△ CBN 都是等边三角形， AN、 MC 相交于点 E， BM、 CN 相交于点 F，连结 EF. 求证：
例3
知2－练
(1) AN=BM；
知2－练
(2) △CEF 是等边三角形 .
知2－练
解题秘方：(1)要证 AN=BM，只需证△ ACN ≌△ MCB；
(2)根据已知条件，易求∠ ECF=60° ，故证明△ ECF为等腰三角形即可 .
知2－练
3-1.如图， △ ABC 为等边三角形， D 为 BC边上的一点 . 在△ ABC的外角的平分线 CE上取点 E，使 CE=BD，连结 AD、 AE、 DE. 请判断△ ADE 的形状，并说明理由 .
知2－练
知2－练
又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∵∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形．
等腰三角形的判定
有一个角
等于 60°
等角
对等
边
等腰三角形的判定
三个角都相等
等边三角形的判定

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