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自主学习单
环节一 考点总结复习
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
全等三角形的性质：
(1)对应边 ，对应角 ；
(2)对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等；
(3)周长 ，面积 ；
全等三角形的判定方法： ， ， ， ， ．
常考全等模型复习
常考模型 模型图示 常用方法
旋转模型 遇到共夹角，则应用角的和差转化成一组相等的角
三垂直模型 有三个直角，利用同角的余角相等找等角
半角模型 通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系
环节二 例题研习
例1.如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：△ABC≌△ADE.
例2. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线PQ是过点A的任意一条直线，BD⊥PQ于点D，CE⊥PQ于点E.
★(1)求证：△ABD≌△CAE；
★★ (2)猜想BD，DE，CE三条线段之间的数量关系；(不写证明)
★★★ (3)在图②中，将图①中的直线PQ绕点A逆时针旋转任意角度，经过三角形的内部(不与AB，AC重合)时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
例3. 在正方形ABCD中，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．求证：AE＋CF＝EF.
环节三 真题演练
★1．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
第1题图 第2题图
★2. （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题节选）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ．
★3．（2023 深圳节选）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
★★4.（2024·湖北武汉·中考真题） 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
第4题图 第5题图 第7题图 第8题图
★★5．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
★★6．（2022 深圳节选）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
★★★7．（2021 深圳节选）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 ．
★★★8．如图，已知E、H分别为正方形ABCD的边AD和DC上的一点，连接AH，BE交于点F，且AE=DH，请直接写出线段AH与BE的关系 ．
★★★9．（2024·四川乐山·中考真题节选）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，点D在点E的左侧，探究线段BD、DE、EC之间的数量关系．自主学习单 答案
环节一 考点总结复习
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
全等三角形的性质：
(1)对应边 相等 ，对应角 相等 ；
(2)对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等；
(3)周长 相等 ，面积 相等 ；
全等三角形的判定方法： SSS ， SAS ， ASA ， AAS ， HL ．
常考全等模型复习
常考模型 模型图示 常用方法
旋转模型 遇到共夹角，则应用角的和差转化成一组相等的角
三垂直模型 有三个直角，利用同角的余角相等找等角
半角模型 通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系
环节二 例题研习
例1 ．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：△ABC≌△ADE.
【答案】
证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
∠C＝180°－∠3－∠DFC，∠E＝180°－∠2－∠AFE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E.
∴△ABC≌△ADE(ASA).
例2. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线PQ是过点A的任意一条直线，BD⊥PQ于点D，CE⊥PQ于点E.
★(1)求证：△ABD≌△CAE；
★★ (2)猜想BD，DE，CE三条线段之间的数量关系；(不写证明)
★★★ (3)在图②中，将图①中的直线PQ绕点A逆时针旋转任意角度，经过三角形的内部(不与AB，AC重合)时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
【答案】
解：(1)证明：∵BD⊥PQ，CE⊥PQ，∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3.
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
(2)DE＝BD＋CE；
(3)结论：DE＝BD－CE或DE＝CE－BD.
理由：设PQ与BC交于点M.
当点M离点C近时，结论为DE＝BD－CE；
当点M离点B近时，结论为DE＝CE－BD.
(注：当M为BC中点时，D，E两点重合，线段DE不存在)
①当点M离点C近时，如答图①，
同(1)可证明△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE.∵DE＝AE－AD，∴DE＝BD－CE；
②当点M离点B近时，如答图②，同理可得DE＝CE－BD.
例3 . 在正方形ABCD中，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．求证：AE＋CF＝EF.
【答案】
解：证明：如图，将△BCF绕点B逆时针旋转90 得到△BAH，
∵四边形ABCD为正方形， 由旋转得∠1＝∠2，BH=BF, HA=FC，
∠HAB=∠C=∠BAE=90°，H，A，E三点共线，
∴∠1＋∠3＝∠3＋∠2=∠ABC-∠EBF
∴∠ABC＝90°，又∠EBF＝45°，
∴∠HBE＝∠EBF＝45°
∴△HBE≌△EBF (SAS)，
∴HE＝EF
又∵HE=HA+AE=CF+AE，
∴AE+CF=EF
环节三 真题演练
★1．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】/100度
★2. （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题节选）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ．
【答案】 AB=DE
★3．（2023 深圳节选）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
【解答】
证明：∵四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠ABC＝90°
∴∠1+∠2＝∠2+∠3=90°，
∴∠1＝∠3，
又∵CF⊥BC，∴∠CFB＝90°，
∴△ABE≌△FCB (AAS).
★★4.（2024·湖北武汉·中考真题） 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
点坐标为，
，，
点的坐标为．
故选：B．
★★5．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
★★6．（2022 深圳节选）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
【解答】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，
∴BF=AB=BC，∠BFE＝∠A=∠C=90°，
∴∠BFG＝∠C，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG (HL).
★★★7．（2021 深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 ．
【答案】（4，﹣7）．
【解答】解：∵A点坐标（2，3），直线AB经过原点，
∴B（﹣2，﹣3）
过点B作x轴的平行线l过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点，则D（2，﹣3），
∵∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD，
在△ABD与△BCE 中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝6，CE＝BD＝4，
∴C（4，﹣7），
故答案为（4，﹣7）．
★★★8．如图，已知E、H分别为正方形ABCD的边AD和DC上的一点，连接AH，BE交于点F，且AE=DH，请直接写出线段AH与BE的关系 ．
【答案】AH与BE相等且互相垂直
★★★9．（2024·四川乐山·中考真题节选）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，点D在点E的左侧，探究线段BD、DE、EC之间的数量关系．．
【答案】BD2+EC2=DE2
解：BD2+EC2=DE2 ,探究如下：
△ABD饶点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED’．
由旋转的特征得∠1＝∠2，AD=AD', BD=CD'，∠5＝∠B=∠4=45°．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠1+∠3=45°
∴∠2+∠3=45°，∴∠DAE=∠EAD'．
∴△AED≌△AED' (SAS).
∴DE=ED'
∵∠ECD'=∠4+∠5=90°
∴Rt△ECD'中，由勾股定理得 CD'2+EC2= ED'2
∴ BD2+EC2=DE2

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