资源简介 《一线三等角相似》自主学习单参考答案模块一:模型直接应用——已知共线三等角,易得相似求解题(一)典例精讲例 1.如图,在等边△ABC 中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点,且∠ADE=60°.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)若 BD=3,CE=2,求△ABC的边长.【答案】(1)证明见解析;(2)9.【详解】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAD+∠ADB=120°,∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°,∴∠DAB=∠EDC,又∵∠B=∠C=60°,∴△ABD∽△DCE;(2)∵AB=BC;∴CD=BC﹣BD=AB﹣3;∵△ABD∽△DCE,AB BD∴ ,CD CEAB 3∴ ,AB 3 2解得 AB=9.例 2.(2024·齐齐哈尔中考)综合与实践综合与实践:如图 1,这个图案是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,受这幅图的启发,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图 2,在 ABC中, A 90 ,将线段BC绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BD,作DE AB交 AB的延长线于点 E.1(1)【观察感知】如图 2,通过观察,线段 AB与DE的数量关系是______;(2)【问题解决】如图 3,连接CD并延长交 AB的延长线于点 F,若 AB 2 , AC 6,求 BDF的面积;BN(3)【类比迁移】在(2)的条件下,连接CE交 BD于点 N,则 ______;BC【答案】(1) AB DE(2)109(3)13【详解】(1)解:∵将线段BC绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BD,作DE AB交 AB的延长线于点 E. CBD 90 , ABC DBE 90 , A 90 , ABC ACB 90, DBE ACB,又 A DEB 90 且CB BD ABC≌ EDB AAS , DE AB;(2)解: CBD 90 , ABC DBE 90 , A 90 ,2 ABC ACB 90, DBE ACB,又 A DEB 90 且CB BD, ABC≌ EDB AAS , DE AB ,BE AC AB 2, AC 6 DE 2,BE 6 AE AB BE 2 6 8, DEB A 180 DE∥ AC, DEF∽ CAF, DE EF AC FA 2 EF 6 EF 8 EF 4 , BF BE EF 6 4 10 , S 1 BDF 10 2 10;2(3)解:如图所示,过点 N作 NM AF于点M ,∵ A BMN 90 , ACB 90 ABC NBM∴ ABC∽ MNBBN BM MN∴ ,BC AC ABBN BM MN即 ,即MN1 BM ,BC 6 2 3又∵MN∥AC∴ EMN∽ ECA3ME MN∴ ,AE AC设 BM x,则ME BE BM 6 x,16 x x 38 654解得: x 1354∴ BN BM 13 9 ;BC AC 6 13(二)跟进练习1.在△ABC 中, ACB 90 , AC BC,直线MN经过点C,且 AD MN 于D, BE MN于 E.(1)当直线MN绕点C旋转到图 1 位置时,求证:DE AD BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 位置时,试问:DE、 AD、 BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明;(3)当直线MN绕点C旋转到图 3 位置时,DE、 AD、 BE之间的等量关系是___(直接写出答案,不需证明).【答案】(1)见解析(2) AD BE DE,证明见解析(3)BE AD DE【详解】(1)证明:由题意知, BCA 90 , ADC BEC 90 ,∴ ACD BCE 90 , BCE CBE 90 ,∴ ACD CBE,在△ADC和 CEB中, ADC CEB 90 ∵ ACD CBE , AC BC4∴△ADC≌△CEB AAS ,∴ AD CE, BE CD,∴DE DC CE BE AD,∴DE AD BE.(2)解: AD BE DE.证明:∵ AD MN , BE MN,∴ ADC BEC 90 ,∴ ACD BCE 90 , BCE CBE 90 ,∴ ACD CBE,在△ABD和△ACE中, ADC CEB ∵ ACD CBE , AC BC∴ ACD≌ CBE AAS ,∴ AD CE, BE CD,又∵CE = CD + DE = BE + DE ,∴ AD BE DE.(3)解:BE AD DE.证明:∵ AD MN 于D, BE MN于 E,∴ ADC BEC 90 ,∴ BCE EBC 90 , ACD BCE 90 ,∴∠ACD=∠EBC,在 ACD和△CBE中, ADC CEB ∵ ACD CBE, AC BC∴ ACD≌ CBE AAS ,∴ AD CE, BE CD,又∵CD CE DE AD DE,5∴BE AD DE.模块二:模型半构造——已知两角等值,补全第三角定模型(一)典例精讲例 3.如图,在 Rt△ABC 中,,∠C=90°∠AEB=135°,BE=3 2 ,DE⊥BE 交 AB 于点 D ,若 DE= 2 ,则AE 的长为___.【答案】3【详解】过点 D作 DH⊥AC,∵∠AEB=135°,∠DEB=90°,∴∠DEH=45°,∵DE= 2∴在 Rt△DHE 中,由勾股定理得 DH=EH=1同理可得 CE=CB=3∵∠A 为公共角,∠AHD=∠ACB=90°,∴△AHD∽△ACB∴ AH DH AC BC即 AH 1 AH 4 3解得 AH=2∴AE=AH+HE=2+1=3例 4.如图,在矩形 ABCD中,BC=4,AB=2,Rt△BEF的顶点 E在边 CD上,且∠BEF=90° EF1, = 2 BE,3DF= 5 ,则 BE= .4673【答案】2【详解】解:如图所示,过 F作 FG⊥CD,交 CD的延长线于 G,则∠G=90°,∵四边形 ABCD是矩形,∴∠C=90°,AB=CD=2,又∵∠BEF=90°,∴∠FEG+∠BEC=90°=∠EBC+∠BEC,∴∠FEG=∠EBC,又∵∠C=∠G=90°,∴△BCE∽△EGF,FG GE EF FG GE 1∴ ,即 ,EC CB BE EC 4 2∴FG 1= 2 EC,GE=2=CD,∴DG=EC,设 EC 1=x,则 DG=x,FG= 2 x,∵Rt△FDG中,FG2+DG2=DF2,1 3∴( 2 x)2+x2=( 5 )2,49解得 x2= ,4即 CE29= ,4∴Rt△BCE中,BE 9 73= CE 2 BC 2 16 .4 273故答案为: .27(二)跟进练习1.综合与实践问题情境:在学习了三角形的相似后,同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究.猜想推理:(1)如图 1,在等边△ABC 中,D为 BC边上一点,E为 AC边上一点, ADE 60 , AB 6,BD 2,则CE ______.问题解决:(2)如图 2,△ABC是等边三角形,D是 BC的中点,射线DE,DF分别交 AB,AC于点 E,F,且 EDF 120 ,求证:DE DF.(3)如图 3, BAC 90 , AB 6, AC 8,D是 BC的中点,射线DE,DF分别交 AB, AC于点 E,DEF,且 EDF 90 ,求 的值.DF4 4【答案】(1) ;(2)见解析;(3)3 3【详解】解:(1)∵在等边△ABC 中, AB BC 6, BD 2, B C 60 ,∴CD BC BD 4,∵ ADE 60 , ADC ADE CDE B BAD,∴ CDE BAD,∴△ABD∽△DCE,AB BD 6 2∴ ,即 ,CD CE 4 CE∴CE4 ;3(2)如图,连接 AD,过 D作DM AB于 M,作DN AC于 N,8∵△ABC 是等边三角形,D为 BC的中点,∴ AD是 BAC的平分线, BAC B C 60 ,∴ DM DN , MDN 120 ,又∵ EDF 120 ,∴ MDN EDF,∴ MDE NDF ,∴在 MDE与 NDF中, MDE= NDF DM DN , DME= DNF∴ MDE NDF,∴DE DF;(3)过点D分别作DM AB于M ,DN AC于N,在△ABC 中, BC AB2 AC2 10, D是 BC的中点, BD 1 CD BC 5,2 DM AB , AC AB,DN AC, DM∥ AC,DN∥AB,9 D是 BC的中点, OM 是V ABC的中位线,DN是V ABC的中位线, DM 4,DN 3, 四边形 AMDN为矩形, ADN 90 , MDE EDN 90 , EDN NDF 90 , MDE NDF, DME DNF 90 , △MDE∽△NDF , DE DM 4 DF DN 3 .模块三 :模型全构造——已知单角等值,自主补全双角建体系(一)典例精讲例 5.在四边形 ABCD中,已知∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 5 ,求 BD的长.如图,连接 AC,∵∠ABC=90°,∴ AC AB2 BC2 32 42 5 ,∵AD=5 5 ,CD=10,∴△ACD满足 AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,如图,过点 D作 DE⊥BC延长线于点 E,10易得△ABC∽△CED,CE DE CD∴ 2 ,AB BC AC∴CE=6,DE=8,在 Rt△BDE中,BD= BE2 DE2 (4 6)2 82 2 41.例 6.如图,在正方形 ABCD中,点 E是边CD的中点,点 F在对角线 AC上,且BF EF,连接 BE交 AC于点 G.若 AB 4,则线段 FG的长为 .5【答案】 23【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理求出 AC 4 2 ,然后利用相似三角形的性质得到CG CE 2 1 ,过点 F作FP DC于点 P,PF交 AB于点 Q,然后证明出AG AB 4 2 QBF PFE,进而得到FP CE PE CP 3,利用勾股定理求出CF 3 2 ,进而求解即可.【详解】解:在正方形 ABCD中, AB BC AD AD 4 BAD ABC BCD D 90 BAC ACD 45 AB∥CD在Rt△ABC中,由勾股定理得,AC AB2 BC2 42 42 4 2∵点 E是边CD的中点11∴CE DE1 CD 22∵ AB∥CD∴ CEG∽ ABGCG CE 2 1∴ AG AB 4 2CG 1 1 4∴ AC 4 2 21 2 3 3过点 F作 FP DC于点 P,PF交 AB于点 Q,则 CPQ DPQ 90 ,四边形 ADPQ和 BCPQ都是矩形∴ BQ CP, AQ DP,PQ BC 4, PFE PEF 90 ∵ ACD 45 ∴ CFP 45 ∴ PF PC BQ∵ QBF QFB 90 , PFE QFB 90 ∴ QBF PFE又∵ BQF FPE 90 ∴ QBF PFE∴QF PE∴DP AQ QF PE1 DE 12∴ FP CE PE CP 3∴CF CP2 FP2 32 32 3 2∴ FG FC GC 3 24 5 2 2 .3 35故答案为: 2 .312(二)跟进练习1.【模型探究】如图,正方形 ABCD中,E是对角线 BD上一点,连接 AE,过点 E作 EF⊥AE,交直线 CB于点 F.(1)如图 1,若点 F在线段 BC上,写出 EA与 EF的数量关系并加以证明;(2)如图 2,若点 F在线段 CB的延长线上,请直接写出线段 BC,BE和 BF的数量关系.【模型应用】(3)如图 3,正方形 ABCD中,AB=4,E为 CD上一动点,连接 AE交 BD于 F,过 F作 FH⊥AE于 F,过 H作 HG⊥BD于 G.则下列结论:①AF=FH;②∠HAE=45°;③BD=2FG;④△CEH的周长为 8.正确的结论有 个.(4)如图 4,点 E是正方形 ABCD对角线 BD上一点,连接 AE,过点 E作 EF⊥AE,交线段 BC于点 F,交线段 AC于点 M,连接 AF交线段 BD于点 H.给出下列四个结论,①AE=EF;② 2 DE=CF;③S△AEM=S△MCF;④BE=DE+ 2 BF;正确的结论有 个.【模型变式】(5)如图 5,在平面直角坐标系中,四边形 OBCD是正方形,且 D(0,2),点 E是线段 OB延长线上一点,M是线段 OB上一动点(不包括点 O、B),作 MN⊥DM,垂足为 M,交∠CBE的平分线与点 N,求证:MD=MN(6)如图 6,在上一问的条件下,连接 DN交 BC于点 F,连接 FM,则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系?请给出证明.【拓展延伸】(7)已知∠MON=90°,点 A是射线 ON上的一个定点,点 B是射线 OM上的一个动点,且满足 OB>OA.点C在线段 OA的延长线上,且 AC=OB.如图 7,在线段 BO上截取 BE,使 BE=OA,连接 CE.若∠OBA+∠OCE=β,当点 B在射线 OM上运动时,β的大小是否会发生变化?如果不变,请求出这个定值;如果变化,请说明理由.(8)如图 8,正方形 ABCD中,AD=6,点 E是对角线 AC上一点,连接 DE,过点 E作 EF⊥ED,交 AB于点 F,连接 DF,交 AC于点 G,将△EFG沿 EF翻折,得到△EFM,连接 DM,交 EF于点 N,若点 F是AB边的中点,则△EDM的面积是 .132【答案】(1) AE EF,证明见解析;(2) BE (BC BF);(3)4;(4)3;(5)见解析;(6)215 NMF NMB,证明见解析;(7) 的大小不变, 45 ,理由见解析;(8)2【详解】(1)若点 F在线段 BC上, AE EF ,理由如下,过点 E作YZ AD,交 AD于Y,交 BC于 Z , 四边形 ABCD是正方形, AD AB BC, DAB ABC C ADC 90 又 YZ AD 四边形 ABZY是矩形, AY BZ AD AB, BAD 90 ADB ABD DBC 45 △ZBE是等腰直角三角形 BZ EZ BZ AY ZE AYQ AE EF AEY FEZ 90 14 AYE 90 EAY AEY 90 FEZ EAY AD//BC,YZ AD YZ BC AYE EZF 90 在△AEY与△EFZ 中, FEZ EAY ZE AY EZF AYE △AEY ≌△EFZ AE EF(2)若点 F在线段 CB 2的延长线上, BE (BC BF),理由如下,2过 E分别向 AB,BC作垂线,垂足分别为T ,U , 四边形 ABCD是正方形, AB AD, BAD 90 四边形TBUE是矩形, ADB ABD DBC 45 ET AB,EU BC TB TE, EU BU , 四边形TBUE是正方形 TE EU ,TE//FU TEF EFUQ AE EF15 TEF AET 90 ET AB EAT AET 90 TEF EAT EFU EAT在△TEA与△UEF 中 ATE FUE 90 EAT EFU TE UE △TEA≌△UEF AE EF过A 作 AV BD于V ,过F 作 FW BD的延长线于点W,如图, 四边形 ABCD是正方形, AB AD, BAD 90 ADB ABD 45 设正方形的边长为 a, AV BD AV BV VD在 RtV ABD中, BD AD2 AB2 2AD 2a,AV 1 BD 2 a2 2Q AE EF, AV EV AEV EFW 90 , AEV EAV 90 16 EFW EAV FW WD, AV BD FWE AVE 90 在△AEV 和△EFW 中 EFW EAV FWE AVE AE EF △AEV ≌△EFW EV FW FBW DBC 45 , FW WB FBW 90 BFW 45 WFB WBF FW WB BF FW 2 BW 2 2BW2即 BW BF2 BW EV BE 2 BW BE EV BV AV a22 BF BE 2 a2 2 BC a2 BF BE= 2 BC2 22即 BE (BC BF)2(3)如图17由(1)可得 AF FH ,故①正确, AF FH , AF FH AFH 是等腰直角三角形, HAE 45 故②正确,过A 作 AR BD于 R , AD AB, BAD 90 AR BR 1 DR BD2 AR BD,HG BD ARF FGH 90 AFR FAR 90 , AFR GFH 90 FAR HFG又 AF FH △ARF≌△FGH AR FG1 FG BD2故③正确,如图,过点A 作 AQ HE于点Q,延长CB至Q,使 BP DE,18 ADE ABP 90 , AB AD,DE BP △ABP≌△ADE DAE BAP EAH 45 , DAB 90 DAE HAB 45 BAP HAB 45 即 HAP EAH AP AE, AH AH △APH≌△AEH HE HP PH PB BH DE BH EH △CEH的周长为CE EH HC CE DE BH HC CD BC 2BC 正方形的边长为 4 △CEH的周长为 2BC 8.故④正确,综上所述,故正确的结论有①②③④,共计 4 个故答案为:4(4)如图 4,19由(1)可得 AE EF ,故①正确;如图,过 E作 PQ//DC ,交 AD,BC 分别为点 P,Q 四边形 ABCD是正方形 ADC DCB 90 PQ//DC DPQ PQC 90 四边形 PDCQ是矩形同理,四边形 ABQP是矩形, DP CQ, AP BQ PDE EBQ 45 △DPE,△EQB是等腰直角三角形 PE DP, EQ QB 四边形 ABQP是矩形 BQ AP EQ AP在 Rt EFQ与Rt△AEP中, AE EF AP EQ20 Rt EFQ≌ Rt△AEP PE QFDP QF 1 CF2 PDE 45 , DPE 90 DE 2 2DP CF2 CF 2DE故②正确如图,过 F 作KF //PQ交 BD于点K ,KN PQ于 N则四边形KNQF是矩形, NK QF KBF 45 , KFB 90 KB 2BF由②可知 PD QF NK DP, DPE KNE 90 , KEN DEP, △DPE≌△KNE, DE EK, BE BK EK DE 2 BF,故④正确;由于M 点的位置不确定,无法判断 S△AEM 和 S△MCF的关系,故③不正确,综上所述正确的结论由①②④,共计 3 个;故答案为:3,(5)如图 5,在OD上取OH OM ,连接HM ,21 OD OB,OH OM HD MB, OHM OMH DHM 180 45 135 BN平分 CBE NBE 45 MBN 135 DHM MBN DM MN, AOB 90 DMO NMB 90 DMO HDM 90 HDM NMB△HDM 与 BMN中 HDM BMN DH BM DHM MBN △HDM ≌ BMN DM MN(6)如图 6,在上一问的条件下,连接 DN交 BC于点 F,连接 FM, NMF NMB ,理由如下,22延长 BO至点A ,使得 AO CF ,连接 AD,过点M 作 MP DN 于点 F , DC DO, DOA DCF 90 ,CF AO △AOD≌△FCD CDF ODA, AD DF DM MN ,DM MN MDN 45 Q CDO 90 CDF MDO 90 FDM 45 ODA ODM 45 ADM ADM FDM在△ADM 与 FDM中, AD AF ADM FDM DM DM △ADM ≌ FDM DFM DAM MP DF23 PMF PFM 90 DAO ADO 90 PMF ODA MDO ODA 45 PMF MDO 45 DM MN ,MP DN PM PN PMN 45 NMF FMP NMP 45 NMF MDO NMB MDO NMF NMB(7) 的大小不变, 45 ,理由如下,过点C作CF //OB,且CF OA,连接 AF 交CE于点G,连接 BF,如图, CF //OB, BOA ACF 180 BOA 90 ACF 90 BOA ACF又OB AC,OA CF △BOA≌△ACF BA AF , 1 224 4 5 1 3 90 2 3 90 BAF 180 ( 2 3) 90 5 45 1 7 2 7 6 BE//CF ,BE OA CF 四边形 BECF是平行四边形 BF //CE 5 6 45 7 1 45 即 =45 (8)如图,过 E作 PQ DC ,交DC于 P,交 AB于Q,连接 BE, DC AB PQ AB 四边形 ABCD是正方形, ACD 45 , PEC是等腰直角三角形, PE PC设 PC x,则PE x, PD 6 x, EQ 6 x PD EQ DPE EQF 90 , PED EFQ △DPE≌△EQF AAS DE EF DE EF25 DEF 是等腰直角三角形 DC BC, DCE BCE 45 ,CE CE △DEC≌△BEC SAS DE BE EF BE EQ FB FQ BQ 1 BF2 AB AD 6 , F 是 AB的中点 BF 3 FQ BQ 3 PE 2CE 3 2 ,PD 9 2 2在 Rt DEP DE DP 2 PE 2 81 9 3 10中, 4 4 2 EF DE 3 10 2过点 F 作 FH AC于点 H ,如图, AD CD 6 AC 6 2Q DC //AB △DGC∽△FGA CG CD 6 2AG AF 3 CG 2AG AG 2 2 GE AC AG CE 6 2 2 2 3 2 5 2 ,2 226 FAC 45 ,HF AC FAC AFH 45 AF 3 AH HF 3 2 2 HG 2 2在 Rt HGF中, FG 2 18 HG2 HF 2 54 4S 1 △EFG GE FH1 3 2 5 2 15 2 2 2 2 4 将△EFG沿 EF翻折,得到△EFM,S 15 △EFM ,4 FM FG 5, DFE EFM 45 DFM 90 DF DA2 AF 2 36 9 3 5S 1 △DFM 3 5 515 2 2 S△EDM S 四边形 DFME S△DFM S△DEF S△EFM S△DFM1 3 10 3 10 15 15 15 2 2 2 4 2 2 S 15△EDM 215故答案为:227《一线三等角相似》自主学习单班级: 姓名知识与技能梳理:在几何问题中,一线三等角模型的本质是通过共线等角条件建立三角形全等或相似关系,中考重点考查模型识别与应用能力。学生需掌握:①模型特征识别(共线等角、双垂线或斜边构成相似三角形),能在坐标系、动态几何等场景中提取一线三垂直模型;②全等(等角+等边)与相似(等角+成比例边)的判定条件,尤其关注通过补全辅助线构造模型的思维方法;③综合运用时需防范角度对应错位等典型错误。近年各省市模拟题、中考题中多有考察一线三等角模型综合题目,学生熟练掌握一线三等角能够更为快速的解决几何问题。教学中可以渗透数形结合思想,突出解题规范比如比例式对应书写等。模块一:模型直接应用——已知共线三等角,易得相似求解题(一)典例精讲例 1.如图,在等边△ABC 中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点,且∠ADE=60°.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)若 BD=3,CE=2,求△ABC的边长.1例 2.(2024·齐齐哈尔中考)综合与实践综合与实践:如图 1,这个图案是 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,受这幅图的启发,数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图 2,在 ABC中, A 90 ,将线段BC绕点 B顺时针旋转90 得到线段 BD,作DE AB交 AB的延长线于点 E.(1)【观察感知】如图 2,通过观察,线段 AB与DE的数量关系是______;(2)【问题解决】如图 3,连接CD并延长交 AB的延长线于点 F,若 AB 2 , AC 6,求 BDF的面积;BN(3)【类比迁移】在(2)的条件下,连接CE交 BD于点 N,则 ______;BC(二)跟进练习1.在△ABC 中, ACB 90 , AC BC,直线MN经过点C,且 AD MN 于D, BE MN于 E.(1)当直线MN绕点C旋转到图 1 位置时,求证:DE AD BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 位置时,试问:DE、 AD、 BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明;(3)当直线MN绕点C旋转到图 3 位置时,DE、 AD、 BE之间的等量关系是___(直接写出答案,不需证明).模块二:模型半构造——已知两角等值,补全第三角定模型(一)典例精讲例 3.如图,在 Rt△ABC 中,,∠C=90°∠AEB=135°,BE=3 2 ,DE⊥BE 交 AB 于点 D ,若 DE= 2 ,则AE 的长为___.2例 4.如图,在矩形 ABCD中,BC=4,AB=2,Rt△BEF的顶点 E在边 CD上,且∠BEF=90°,EF1= 2 BE,3DF= 5 ,则 BE= .4(二)跟进练习1.综合与实践问题情境:在学习了三角形的相似后,同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究.猜想推理:(1)如图 1,在等边△ABC 中,D为 BC边上一点,E为 AC边上一点, ADE 60 , AB 6,BD 2,则CE ______.问题解决:(2)如图 2,△ABC 是等边三角形,D是 BC的中点,射线DE,DF分别交 AB,AC于点 E,F,且 EDF 120 ,求证:DE DF.(3)如图 3, BAC 90 , AB 6, AC 8,D是 BC的中点,射线DE,DF分别交 AB, AC于点 E,DEF,且 EDF 90 ,求 的值.DF模块三 :模型全构造——已知单角等值,自主补全双角建体系(一)典例精讲例 5.,在四边形 ABCD中,已知∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 5 ,求 BD的长.3例 6.如图,在正方形 ABCD中,点 E是边CD的中点,点 F在对角线 AC上,且BF EF,连接 BE交 AC于点 G.若 AB 4,则线段 FG的长为 .(二)跟进练习1.【模型探究】如图,正方形 ABCD中,E是对角线 BD上一点,连接 AE,过点 E作 EF⊥AE,交直线 CB于点 F.(1)如图 1,若点 F在线段 BC上,写出 EA与 EF的数量关系并加以证明;(2)如图 2,若点 F在线段 CB的延长线上,请直接写出线段 BC,BE和 BF的数量关系.【模型应用】(3)如图 3,正方形 ABCD中,AB=4,E为 CD上一动点,连接 AE交 BD于 F,过 F作 FH⊥AE于 F,过 H作 HG⊥BD于 G.则下列结论:①AF=FH;②∠HAE=45°;③BD=2FG;④△CEH的周长为 8.正确的结论有 个.(4)如图 4,点 E是正方形 ABCD对角线 BD上一点,连接 AE,过点 E作 EF⊥AE,交线段 BC于点 F,交线段 AC于点 M,连接 AF交线段 BD于点 H.给出下列四个结论,①AE=EF;② 2 DE=CF;③S△AEM=S△MCF;④BE=DE+ 2 BF;正确的结论有 个.【模型变式】(5)如图 5,在平面直角坐标系中,四边形 OBCD是正方形,且 D(0,2),点 E是线段 OB延长线上一点,M是线段 OB上一动点(不包括点 O、B),作 MN⊥DM,垂足为 M,交∠CBE的平分线与点 N,求证:MD=MN(6)如图 6,在上一问的条件下,连接 DN交 BC于点 F,连接 FM,则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系?请给出证明.【拓展延伸】(7)已知∠MON=90°,点 A是射线 ON上的一个定点,点 B是射线 OM上的一个动点,且满足 OB>OA.点C在线段 OA的延长线上,且 AC=OB.如图 7,在线段 BO上截取 BE,使 BE=OA,连接 CE.若∠OBA+∠OCE=β,当点 B在射线 OM上运动时,β的大小是否会发生变化?如果不变,请求出这个定值;如果变化,请说明理由.(8)如图 8,正方形 ABCD中,AD=6,点 E是对角线 AC上一点,连接 DE,过点 E作 EF⊥ED,交 AB于点 F,连接 DF,交 AC于点 G,将△EFG沿 EF翻折,得到△EFM,连接 DM,交 EF于点 N,若点 F是AB边的中点,则△EDM的面积是 .45 展开更多...... 收起↑ 资源列表 侯彦静《一线三等角相似》自主学习单.pdf 侯彦静《一线三等角相似》自主学习单答案.pdf