资源简介 《圆与相似》自主学习单参考答案模块一:圆中的 A 字型相似(一)典例精讲例题 1.如图,AB是 O 的直径,射线 BC交 O 于点 D,E是劣弧 AD上一点,且 AE D E ,过点 E作 EF BC于点 F ,延长 FE和 BA的延长线交于点G.(1)证明:GF 是 O的切线;(2)若 AG 3,GE 3 3,求 O 的半径和 EF 的长.【解答】(1)证明:如图,连接OE, AE D E , 1 2, 2 3, 1 3, OE / /BF , BF GF , 半径OE GF , GF 是 O的切线;(2)解:设OA OE r,在Rt GOE中, AG 3,GE 3 3,由OG2 GE 2 OE 2 ,可得 (3 r)2 (3 3)2 r 2 ,解得:r 3,即 O 的半径为 3, OG AG OA 6, BF / /OE,GE GO 3 3 6 3 3 ,即 , EF .EF OB EF 3 2例题 2.如图,在△ ABC中, AB AC,以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D,点 P在 BC的延长线上,且 BAC 2 P.(1)求证:直线 AP是⊙O的切线;3(2)若 BC 6, tan P ,求⊙O的半径长及 tan PAC的值.4【解答】( 1)证明:连接 AD ,如图, AB 为直径, AD BC , AB AC , CAD BAD 1 BAC .2 BAC 2 P, CAD BAD P. P PAD 90 , BAD PAD 90 , PAB 90 , OA PA. OA是 O的半径, 直线 AP是 O的切线;(2)解:由(1)知: CAD BAD P, tan BAD tan P 3 tan BAD BD , ,4 ADBD 3 .AD 4 AB AC AD BC BD 1 3 3 , , BC 3, , AD 4. AB BD2 AD2 5,2 AD 4 O 5的半径长为 ;过点C作CE PA E tan P 3 EC 于点 ,如图, , 设 EC 3k,2 4 PE则 PE 4k, PC PE2 EC2 5k . CE PA AB EC PC 3k 5k , PA, EC / /AB, , ,AB PB 5 5k 6k 7 7 7 24 EC 7解得: . EC . AE AC 2 EC 2 52 ( )2 , tan PAC .15 5 5 5 AE 24(二)跟进练习1.如图,AB是 O的直径,点C为 O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为 E,AE交 O于点D,直线 EC交 AB的延长线于点 P,连接 AC, BC.(1)求证: AC平分 BAD;(2)若 AB 6, AC 3 3 ,求 EC和 PB的长.【解答】解:(1)证明:连接OC,如图, PE是 O的切线, OC PE, AE PE, OC / /AE, DAC OCA, OA OC, OCA OAC, DAC OAC, AC平分 BAD;(2) AB是 O 的直径, ACB 90 在Rt ABC中,BC AB2 AC2 36 27 3,在Rt ABC和Rt ACE中, DAC OAC, AEC ACB 90 , Rt ABC∽Rt ACE, AC : AB EC : BC , 即 3 3 : 6 3 3 EC : 3 , EC ; 在 Rt ACE 中 ,2AE AC 2 27 9 EC 2 27 ,4 2又 OC / /AE , Rt ABC∽Rt ACE, OC : AE PO : PA,即 3: 9 (PB 3) : (PB 6),2 PB 3.2.如图,以 ABC的 AC边为直径作 O,交 AB于点 D, E是 AC上一点,连接DE并延长交 O于点 F ,连接 AF ,且 AFD B.(1)求证: BC是 O的切线.(2)当 AE AD时,①若 FAC 25 时,求 B的大小;②若OA 5, AD 6,则DE的长为 .【解答】(1)证明:如图 1,连接CD. AC是 O的直径, ADC 90 , CAD ACD 90 . 又 AFD ACD , AFD B , CAD B 90 , AC BC, BC 是 O的切线.(2)解:① FAC 25 , FDC 25 , ADE ADC FDC 90 25 65 . AE AD, ADE AED 65 , CAD 180 2 65 50 .又 CAD B 90 , B 40 .12 5② .如图 2,过点 E作 EH CD交CD于点H , EH / /AD. OA 5, AD 6,5 AC 10, AE 6,OE 1, EC 4, CD AC2 AD2 102 62 8. EH / /AD EH EC CH EH 4 CH 4 12 16 24, , , , EH ,CH , DH .AD AC CD 6 10 8 10 5 5 5 EH 12 24又 CD, DE EH 2 DH 2 ( )2 ( )2 12 5 .5 5 5模块二:圆中的母子型相似(一)典例精讲例题 1.如图,D为⊙O上一点,点 C在直径 BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E,若 BC=6,tan∠CDA= ,求 BE的长.【解答】(1)证明:连 OD,OE,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,又∵∠CDA=∠CBD,而∠CBD=∠1,∴∠1=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,∴CD是⊙O的切线;(2)解:∵EB为⊙O的切线,∴ED=EB,OE⊥DB,∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,∴∠ABD=∠OEB,∴∠CDA=∠OEB.而 tan∠CDA= ,∴tan∠OEB= = ,∵Rt△CDO∽Rt△CBE,∴ = = = ,∴CD= ×6=4,在 Rt△CBE中,设 BE=x,∴(x+4)2=x2+62,解得 x= .例题 2.如图,D为⊙O上一点,点 C在直径 BA的延长线上,且 CD2=CA CB.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E,若 BC=10, ,求 BE的长.【解答】(1)证明:如图,连接 OD,∵CD2=CA CB,∴ ,∵∠C=∠C,∴△DCA∽△BCD,∴∠ADC=∠DBC,∵OB=OD,∴∠BDO=∠DBO,∵AB为⊙O的直径,∴∠BDA=90°,∴∠BDO+∠ODA=∠CDA+∠ODA=90°,∴OD⊥CD,∴CD为 O0的切线;(2)∵BE、CE是⊙O的切线,∴ED=EB,∵△DCA∽△BCD,∴∠DBA=∠CDA,∴=tan∠DBA=tan∠CDA= ,∴CD= BC=6,设BE=x,则DE=x,CE=x+6.在Rt△CBE中,(x+6)2=x2+102,解得:x= ,∴BE= .(二)跟进练习1. 如图, AB为 O的直径,C、D为圆上两点,连接 AC、CD,且 AC CD,延长DC与 BA的延长线相交于 E点.(1)求证: EAC∽ ECO;(2 tan EOC 3 EC)若 ,求 的值.4 EO【解答】(1)证明: AC CD, AOC COD, AO CO DO,OAC 1 (180 AOC) 1, OCD (180 COD), OAC OCD,2 2 180 OAC 180 OCD, EAC ECO,又 CEA OEC, EAC∽ OEC;(2)如图,过点C CF 3 CF作 AB于 F , tan EOC , 设CF 3a, FO 4a,4 FO CO CF 2 FO2 5a , AO CO 5a , AF a , AC AF 2 CF 2 10a , EAC∽ OEC,EC AC 10 .EO CO 52. 如图,在Rt△ABC中,点O在斜边 AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与 BC、AB相交于点D、 E,连接 AD,已知 CAD B .(1)求证: AD是 O的切线:(2)若 B 30 , AC 3 .求劣弧 BD与弦 BD所围阴影图形的面积;(3)若 AC 4, BD 6,求 AE的长.【解答】(1)证明:连接 OD,如图 1所示:∵OB=OD,∴∠3=∠B,∵∠B=∠1,∴∠1=∠3,在 Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,∴OD⊥AD,则 AD为⊙O的切线;(2)解:连接 OD,作 OF⊥BD于 F,如图 2所示:∵OB=OD,∠B=30°,∴∠ODB=∠B=30°,∴∠DOB=120°,∵∠C=90°,∠CAD=∠B=30°,∴CD= AC=1,BC= AC=3,∴BD=BC﹣CD=2,∵OF⊥BD,∴DF=BF= BD=1,OF= BF= ,∴OB=2OF= ,∴ 劣 弧 BD 与 弦 BD 所 围 图 形 的 面 积 = 扇 形 ODB 的 面 积 ﹣ △ ODB 的 面 积 =﹣ ×2× = ﹣ ;(3)解:∵∠CAD=∠B,∠C=∠C,∴△ACD∽△BCA,∴ = = ,∴AC2=CD×BC=CD(CD+BD),即 42=CD(CD+6),解得:CD=2,或 CD=﹣8(舍去),∴CD=2,∴AD= =2 ,∵ = ,∴ = ,∴AB=4 ,∵AD是⊙O的切线,∴AD2=AE×AB,∴AE= = = .3. 如图,Rt ABC内接于 O,AC BC , BAC的平分线 AD与 O交于点 D,与 BC交于点 E,延长 BD,与 AC的延长线交于点 F ,连接CD,G是CD的中点,连接OG.(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;(2)求证: AE BF ;(3)若OG DE 4,求 AE的长.【解答】(1)解:OG CD,理由如下:如图,连接OC,OD, OC OD,G是CD的中点,由等腰三角形的性质得OG CD;(2)证明: AB是直径, ACB 90 , CAE CBF ,在Rt ACE与Rt BCF中, ACE BCF 90 ,AC BC , CAE CBF , ACE BCF (ASA), AE BF ;(3)解:如图,过点O作 BD的垂线,垂足为H ,则H 为 BD的中点, AD 2OH ,又 CAD BAD, CD BD, OH OG, DBE DAC BAD, BDE∽ ADB,BD DE ,即 BD2 AD DE, BD2 AD DE 2OG DE 8, BD 2 2 ,又 BD FD,AD DB BF 2BD 4 2,由(2)知 AE BF , AE 4 2 .模块三:圆中的射影定理(一)典例精讲例 1. 已知:AB为 O 的直径,C 是 O 上一点,如图,AB 12,BC 4 3.BH 与 O相切于点 B,过点C 作 BH 的平行线交 AB于点 E.(1)求CE 的长;( ABC中的射影定理)(2)延长CE 到 F ,使 EF 2 ,连接 BF 并延长 BF 交 O 于点G ,求 BG的长;(3)在(2)的条件下,连接GC并延长GC交 BH 于点 D,求证: BD BG.1 ABC BC AB【分析】( )只要证明 ,可得 ,由此即可解决问题.CE AC(2)连接 AG.只要证明 ABG FBE BG BE∽ ,可得 ,由 BE (4 3)2 (4 2)2 4 ,AB BF再求出 BF ,即可解决问题.(3)通过计算首先证明CF FG,推出 FCG FGC,由CF / /BD,推出 GCF BDG,推出 BDG BGD即可证明.【解答】解:(1) BH 与 O 相切于点 B, AB BH , BH / /CE, CE AB, AB是直径, CEB ACB 90 , CBE BC AB ABC , ABC∽ CBE, ,CE AC AC AB2 BC2 4 6, CE 4 2.(2)连接 AG. FEB AGB 90 , EBF ABG, ABG BG BE∽ FBE, ,AB BF BE (4 3)2 (4 2)2 4, BF BE2 EF 2 3 2 ,BG 4 , BG 8 2.12 3 2(3)易知CF 4 2 2 5 2, GF BG BF 5 2, CF GF , FCG FGC , CF / /BD, GCF BDG, BDG BGD, BG BD.例 2. 如图所示,已知四边形 ABCD内接于 O , A 是弧 BAC 的中点, AE AC 于 A ,与 O 及CB的延长线分别交于点 F 、 E ,且 BF AD, EM 切 O 于M .(1)求证: ADC∽ EBA;1(2)求证: AC 2 BC CE(先处理系数,在 AEC 中用射影定理);2(3)如果 AB 4 , EM 6 ,求 tan∠CAD的值.【分析】(1)由四边形 ABCD内接于 O ,可得 CDA ABE .又由 AD BF ,可得 DCA BAE ,即可证得: ADC∽ EBA;(2)由题意易证得 ACH∽ ECA,又由垂径定理,可证得: AC 21 BC CE ;2(3)由 EM 2是 O 的切线, EM 6,可得 EB EC EM 36.又由 AC 21 BC CE ,即2可得 BC CE 32.继而求得答案.【解答】(1)证明: 四边形 ABCD内接于 O , CDA ABE . AD BF , DCA BAE , ADC∽ EBA.(2)证明:如图所示,过 A作 AH EC于H . A是 B DC 的中点. HC HB 1 BC .2 CAE 90 , CAE CHA 90 , ACE HCA, ACH∽ ECA,AC CH ,CE AC AC 2 CH CE 1 BC CE .2(3)解: A是弧 BAC 的中点, AB 4 , AC AB 4 . EM 是 O 的切线, EM 6, EB EC EM 2 36.① AC 2 1 BC CE ,2 BC CE 32 .②① ②得, EC(EB BC) 17 , EC 2 68. EC 2 AC 2 AE 2 , AE 68 16 2 13 . ADC∽ EBA, CAD AEC. 在Rt AEC 4 2 13中,tan∠CAD=tan∠AEC= = = . 2 13 13(二)跟进练习1. 如图,PA为 O 的切线,A为切点,直线 PO 交 O 与点 E ,F 过点 A作 PO 的垂线 AB垂足为D,交 O 与点 B ,延长 BO 与 O 交与点C ,连接 AC , BF .(1)求证: PB与 O 相切;(2)试探究线段 EF ,OD,OP 之间的数量关系,并加以证明;(3)若 AC 12 , tan1 F ,求 cos ACB 的值.2【分析】(1)连接OA,由OP 垂直于 AB ,利用垂径定理得到D为 AB 的中点,即OP 垂直平分 AB ,可得出 AP BP,再由OA OB,OP OP,利用 SSS 得出三角形 AOP与三角形 BOP全等,由 PA为圆的切线,得到OA垂直于 AP ,利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB 垂直于 BP,即 PB为圆O的切线;(2)由一对直角相等,一对公共角,得出三角形 AOD与三角形OAP 相似,由相似得比例,列出关系式,由OA为 EF 的一半,等量代换即可得证.(3)连接 BE ,构建直角 BEF .在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设 BE x , BF 2x ,进而可得 EF 5x;然后由面积法求得 BD2 5 x,所以根5据垂径定理求得 AB 的长度,在Rt ABC中,根据勾股定理易求 BC 的长;最后由余弦三角函数的定义求解.【解答】(1)证明:连接OA, PA与圆O相切, PA OA,即 OAP 90 , OP AB, D为 AB 中点,即OP 垂直平分 AB , PA PB, AP BP 在 OAP和 OBP 中, OP OP, OAP OBP(SSS ), OA OB OAP OBP 90 , BP OB ,则直线 PB为圆O的切线;(2 2)答: EF 4DO PO.证明: OAP ADO 90 , AOD POA, OAD∽ OPA,OA OD ,即OA2 OD OP,OP OA EF 为圆的直径,即 EF 2OA,1 EF 2 OD OP,即 EF 2 4OD OP;4(3)解:连接 BE ,则 FBE 90 . tan 1 BE 1 F , , 可设 BE x , BF 2x ,2 BF 2则由勾股定理,得 EF BF 2 BE2 5x, 1 2 5BE BF 1 EF BD , BD x.2 2 54 5又 AB EF , AB 2BD x ,5 Rt ABC 中, BC 5x,AC 2 AB2 BC 2 , 122 ( 4 5 x)2 ( 5x)2 ,5解得: x 4 5 , BC 4 5 5 20,cos ACB AC 12 3 .BC 20 52.如图,在Rt ABC中, ACB 90 ,以斜边 AB 为直径作 O ,以直角边 AC 为底边向右侧作等腰 ACD,使 AB AD CD,连接OD交 AC 于点 E .(1)求证:OD / /BC ;(2)若 tan ABC 2 ,求证: DA 与 O 相切;(3)在(2)条件下,连接 BD 交于 O 于点 F ,连接 EF ,若 BC 2,求 EF 的长.【分析】(1)连接OC ,证 AOD COD ,推出点 E 为 AC 的中点,且DE AC ,推出OE是 ABC 的中位线,即可推出结论;(2)设 BC a,由 ABC 的正切值为 2,可推出 AC 的长,利用勾股定理求出 AB 的长,得到 AD,CD 的长,在 AOD中利用勾股定理的逆定理证出 AOD为直角三角形,可得出结论;(3 2 2)分别证 AFD∽ BAD , AED∽ OAD,推出DF BD AD ,OD DE AD ,进一步证明 EDF∽ BDO,由 BC 的长可逐步求出 AB , AD,OD, ED , BD ,OB 的长,最后利用相似三角形对应边的比求出 EF 的长.【解答】解:(1)如图 1,连接OC , AB为 O 的直径, AO CO,又 AD CD,OD OD, AOD COD(SSS ) , ADE CDE ,即 DE 为 ADC的平分线又 ACD是等腰三角形 点 E 为 AC 的中点,且DE AC ,又 点O为 AB 的中点, OE 是 ABC 的中位线, OE / /BC,即OD / /BC ;(2)在Rt ABC中, tan AC ABC 2 , 设 BC a,则 AC 2a,BC AD AB AC2 BC2 5a, OE 是 ABC 的中位线,1 1 1 5 OE BC a, AE CE1 AC a, AO BO AB a,2 2 2 2 2在Rt AED中,DE AD2 AE2 2a,在 AOD中, AO2 AD2 (5 a)2 ( 5a)2 25 a2 ,2 4OD2 (OE 1 25 DE)2 ( a 2a)2 a2 , AO2 AD2 OD2 ,2 4 AOD为直角三角形, OAD 90 , DA与 O 相切;(3)如图 2,连接 AF , AB为 O 的直径, AFB 90 , AFD 90 , AFD BAD, DF AD又 ADF BDA, AFD∽ BAD, ,即DF BD AD2 ,AD BD又 BAD C , ADE ODA, AED∽ OAD AD DE, ,即OD DE AD 2 ,OD AD DF BD OD DE DF DE,即 ,OD BD EF DE又 EDF BDO, EDF∽ BDO, , EFDE OB ,OB BD BD BC 2, AB AD 2 5 ,OD 5, ED 4, BD 2 10 ,OB 5 ,EF 4 5 2.2 10《圆与相似》自主学习单班级: 姓名:知识与技能梳理:“圆”是《义务教育数学课程标准》中的核心章节,属于“图形与几何”领域的重要内容. 与相似三角形这一高频考点的紧密关联,可以解决许多与圆相关的长度、角度、比例和证明的问题. 在中考中,这类题目常以计算、证明或综合题的形式出现,题型多为中档题或压轴题中的局部环节,掌握后能显著提升得分率.深圳中考数学对圆中的 A 字型相似、母子型相似及射影定理的考查非常系统,通常结合圆的几何性质综合命题. 其中,“圆中的 A 字相似”的考查频率较高,通常结合切线、割线、相交弦等几何图形,综合考查相似三角形的判定、比例关系及代数计算能力;“圆中的母子型相似”通过公共角+公共边构造相似,常出现在直径所对的圆周角问题中;“圆中的射影定理”隐含在圆中直角三角形中,需通过作高构造双垂直模型,再应用射影定理快速计算.深圳中考对圆中相似模型的考查逻辑清晰、层次分明,掌握模型特征、熟记结论,并注重与代数计算的结合,是突破此类题型的关键!模块一:圆中的 A 字型相似内容讲解(A 字模型)①②③(一)典例精讲例题 1.如图,AB是 O 的直径,射线 BC交 O 于点 D,E是劣弧 AD上一点,且 AE D E ,过点 E作 EF BC于点 F ,延长 FE和 BA的延长线交于点G.(1)证明:GF 是 O的切线;(2)若 AG 3,GE 3 3,求 O 的半径和 EF 的长.例题 2.如图,在△ ABC中, AB AC,以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D,点 P在 BC的延长线上,且 BAC 2 P.(1)求证:直线 AP是⊙O的切线;(2)若 BC 6, tan P 3 ,求⊙O的半径长及 tan PAC的值.4(二)跟进练习1.如图,AB是 O的直径,点C为 O上一点,AE和过点C的切线互相垂直,垂足为 E,AE交 O于点D,直线 EC交 AB的延长线于点 P,连接 AC, BC.(1)求证: AC平分 BAD;(2)若 AB 6, AC 3 3 ,求 EC和 PB的长.2. 如图,以 ABC的 AC边为直径作 O,交 AB于点D, E是 AC上一点,连接DE并延长交 O于点 F ,连接 AF ,且 AFD B.(1)求证: BC是 O的切线.(2)当 AE AD时,①若 FAC 25 时,求 B的大小;②若OA 5, AD 6,则DE的长为 .模块二:圆中的母子型相似内容讲解(母子模型)①②③(一)典例精讲例题 1.如图,D为⊙O上一点,点 C在直径 BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E,若 BC=6,tan∠CDA 2= ,求 BE的长.3例题 2.如图,D为⊙O上一点,点 C在直径 BA的延长线上,且 CD2=CA CB.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2 3)过点 B作⊙O的切线交 CD的延长线于点 E,若 BC=10,tan∠CDA= ,求 BE的长.5(二)跟进练习1. 如图, AB为 O的直径,C、D为圆上两点,连接 AC、CD,且 AC CD,延长DC与 BA的延长线相交于 E点.(1)求证: EAC∽ ECO;(2)若 tan EOC 3 EC ,求 的值.4 EO2. 如图,在Rt△ABC中,点O在斜边 AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC、AB相交于点D、 E,连接 AD,已知 CAD B .(1)求证: AD是 O的切线:(2)若 B 30 , AC 3 .求劣弧 BD与弦 BD所围阴影图形的面积;(3)若 AC 4, BD 6,求 AE的长.3. 如图,Rt ABC内接于 O,AC BC , BAC的平分线 AD与 O交于点D,与 BC交于点 E,延长 BD,与 AC的延长线交于点 F ,连接CD,G是CD的中点,连接OG.(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;(2)求证: AE BF ;(3)若OG DE 4,求 AE的长.模块三:圆中的射影定理内容讲解(射影定理)①②③(一)典例精讲例题 1. 已知:AB为 O的直径,C是 O上一点,如图,AB 12 ,BC 4 3 .BH 与 O相切于点 B,过点C作 BH 的平行线交 AB于点 E.*(1)求CE的长;(2)延长CE到 F ,使 EF 2 ,连接 BF并延长 BF交 O于点G,求 BG的长;(3)在(2)的条件下,连接GC并延长GC交 BH 于点 D,求证: BD BG.例题 2. 如图所示,已知四边形 ABCD内接于 O, A是弧 BAC的中点, AE AC于 A,与 O及CB的延长线分别交于点 F 、 E ,且 BF AD, EM 切 O于M .(1)求证: ADC∽ EBA;*(2 1)求证: AC 2 BC CE ;2(3)如果 AB 4 , EM 6,求 tan∠CAD的值.(二)跟进练习1. 如图,PA为 O的切线,A为切点,直线 PO交 O与点 E ,F 过点 A作 PO的垂线 AB垂足为D,交 O与点 B ,延长 BO与 O交与点C,连接 AC, BF .(1)求证: PB与 O相切;*(2)试探究线段 EF ,OD,OP之间的数量关系,并加以证明;1(3)若 AC 12, tan F ,求 cos ACB的值.22.如图,在Rt ABC中, ACB 90 ,以斜边 AB为直径作 O,以直角边 AC为底边向右侧作等腰 ACD,使 AB AD CD,连接OD交 AC于点 E .(1)求证:OD / /BC;(2)若 tan ABC 2,求证: DA与 O相切;*(3)在(2)条件下,连接 BD交于 O于点 F ,连接 EF ,若 BC 2,求 EF 的长. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 圆与相似(自主学习单).pdf 圆与相似(详细答案).pdf