资源简介 第10讲 全等图形——旋转构造一、知识梳理全等图形的旋转向来都是数学中考的热点,它往往以压轴题的形式出现在考生面前,对考生的能力要求相当高,所以我们在中考复习的时候,一般都把它当作复习的重点和难点。旋转的本质是图形的点在同心圆上作同步运动,“集体行动,步调一致”。旋转过程中,对应边、对应角分别相等。解题策略:通过旋转构造我们构建全等图形、直角三角形或等边三角形等,从而把分散的条件集中到同一个三角形中,然后解决线段长短或角度大小等问题。二、学习过程模块一:全等手拉手模型与旋转典例精讲:如图,P是等边△ABC中的一个点,PC=2,,PA=4,则△ABC的边长是 .2.如图,线段AB绕着点A逆时针方向旋转120°得到线段AC,点B对应点C,在∠BAC的内部有一点P,PA=8,PB=4,PC=4,则线段AB的长为 .跟踪练习:1.如图,△ABC中,AB=15,BC=4,∠B=60°,在△ABC外侧作等边△ACD,过点D作DE⊥AB于E,则AE的长为 .2.如图,在四边形ABCD中,BC=BD,且∠CBD=90°,,AC=7,.则边CD的长是________________ .3.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,以C为顶点作等腰直角三角形CMN.连接BN,射线NM交线段BC于点D.(1)如图1,∠MCN=90°,CM=CN,点A,M,N在一条直线上,直接写出线段AM和线段BN的数量关系和位置关系;(2)如图2,点A,M,N在一条直线上时,∠CMN=90°,MC=MN.①求证:BN+CM=AM;②若AM=5,BN=2,直接写出AB的长为 ;③若,将△CMN绕点C逆时针旋转,在旋转过程中射线NM交直线AB于点H,当△DBH是等腰三角形时,直接写出CD2的长.模块二:全等半角模型与旋转典例精讲:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D和点E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=4,CE=5,则DE= .2.如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,连接DE,作等腰直角三角形DEF,∠DEF=90°,连接AC,AC交DE于点G,交DF于点H.若AG=4,CH=3,则DG的长为__________.跟踪练习:1.如图,△ABC是边长为5的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为_________;2.如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC,CD上,BE=2,DF=1,∠EAF=∠CEF=45°,则EF的长为 .3.问题背景:在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用方法,如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,点E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,连接EF,探究线段BE,EF,DF之间的数量关系.(1)探究发现:小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置,使得AB与AD重合,然后证明△AGF≌△AEF,从而得出结论: .(2)拓展延伸:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF∠BAD,连接EF.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;(3)尝试应用:如图③,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=45°,连接EF,已知BE=3,DF=2,求正方形ABCD的边长.模块三:对角互补模型与旋转例题精讲:如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为 .2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=2,∠DAB=∠DCA=60°,则CD+CB的最大值是 .跟踪练习:1.我们规定:一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”.(1)在①平行四边形,②菱形,③矩形,④正方形中,一定为“完美四边形”的是 _______________(填序号).(2)如图,在“完美四边形”ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,连接AC.求证:AC平分∠BCD.小明通过观察、实验,提出以下两种想法,证明AC平分∠BCD.想法一:通过∠B+∠D=180°,可延长CB到E,使BE=CD,通过证明△AEB≌△ACD,从而可证AC平分∠BCD;想法二:通过AB=AD,可将△ACD绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△AEB,可证C,B,E三点在一条直线上,从而可证AC平分∠BCD.请你参考上面的想法,帮助小明证明AC平分∠BCD.2.问题提出(1)如图①,在正方形ABCD中,对角线AC=8,则正方形ABCD的面积为 ;问题探究(2)如图②,在四边形ABCD中,AD=AB,∠DAB=∠DCB=90°,∠ADC+∠ABC=180°,若四边形ABCD的面积为8,求对角线AC的长;问题解决(3)如图③,四边形ABCD是张叔叔要准备开发的菜地示意图,其中边AD和AB是准备用砖来砌的砖墙,且满足AD=AB,∠DAB=90°,边DC和CB是准备用现有的长度分别为3米和7米的竹篱笆来围成的篱笆墙,即DC=3米,CB=7米.按照这样的想法,张叔叔围成的菜园里对角线AC的长是否存在最大值呢?若存在,求出这个最大值及此时AB的长;若不存在,说明理由.3.我们定义:有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫等补四边形.(1)如图1,△ABC是等边三角形,在BC上任取一点D(不与B,C重合),连接AD,我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°,则AB与AC重合,点D的对应点为点E,请根据给出的定义判断,四边形ADCE (选择“是”或“不是”)等补四边形.(2)如图2,等补四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°,若S四边形ABCD=8,则BD的长为 ;(3)如图3、四边形ABCD中,AB=BC,∠A+∠C=180°,BD=5,求四边形ABCD面积的最大值.第10讲 全等图形——旋转构造的参考答案模块一:全等手拉手模型与旋转典例精讲:解:将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,连接DP,∴∠DBP=60°,BD=BP,AD=PC=2,∴△BDP为等边三角形,∴∠BDP=60°,DP.∵PA=4,∴DP2+AD2=AP2,∴∠ADP=90°,∴∠BDE=180°﹣∠ADP﹣∠BDP=30°.在Rt△BDE中,∠BDE=30°,BD,∴BE,∴DE3,∴AE=AD+DE=2+3=5.在Rt△ABE中,由勾股定理得,AB,∴△ABC的边长是.解:如图,将△ABP绕点A逆时针旋转120°,得到△ACD,连接PD,过点A作AH⊥PD于H,则△ABP≌△ACD,∠PAD=120°,∴PA=DA=8,PB=DC=4,∠APH=∠ADH=30°,∴AHAP=4,∴PH=DH4,∴PD=2PH=8,在△PDC中,PD2+CD2=(8)2+42=208,PC2=(4)2=208,∴PD2+CD2=PC2,∴△PDC为直角三角形,且∠PDC=90°,∴∠AHD=∠PDC,∴AH∥DC,∴△DMC∽△HMA,∵DC=AH=4,∴AM=CMAC,HM=DMHD=2,∴在Rt△DMC中,CM2,∴AB=AC=2CM=4,故答案为:4.跟踪练习:解:将△ABC绕点C顺时针旋转60°,得到△DCH,∵∠B=60°,CH=BC=4,∴△BCH是等边三角形,∴CH=BC=BH,∠BCH=60°=∠B,∵△ACD是等边三角形,∴AC=CD,∠ACD=60°=∠BCH,∴∠BCA=∠HCD,∴△ABC≌△DHC(SAS),∴AB=DH=15,∠DHC=∠B=60°,∴∠AHD=60°,∵DE⊥AB,∴∠EDH=30°,∴EHDH,∴AE=AB﹣BH﹣EH,解:如图所示,将△ABC绕点B逆时针旋转90°,得到△EBD,AC,DE交于点F,则∠ABE=90°,∵BC=BD,∴点C旋转后与点D重合,则△ABC≌△EBD,∴,AC=DE=7,∠BAC=∠BED,∴△ABE是等腰直角三角形,则∠BEA=∠BAE=45°,,设∠BAC=∠BED=α,∴∠DEA=∠BEA﹣∠BED=45°﹣α,∠FAE=∠BAC+∠BAE=α+45°,在△EFA中,∠EFA=180﹣∠FAE﹣∠FEA=180°﹣(45°+α)﹣(45°﹣α)=90°,在Rt△AFE中,AF2=AE2﹣EF2,在Rt△AFD中,AF2=AD2﹣FD2,∴AE2﹣EF2=AD2﹣FD2,设FD=x,则EF=ED﹣x=7﹣x,∴,解得:x=3,∴DF=3,在Rt△AFD中,,∴FC=AC﹣AF=7﹣2=5,在Rt△CFD中,,故答案为:.(1)解:AM=BN,AM⊥BN;理由如下:∵∠ACB=∠MCN=90°,∴∠ACB﹣∠MCB=∠MCN﹣∠MCB,∴∠ACM=∠BCN,∵AC=BC,CM=CN,∴△ACM≌△BCN(SAS),∴AM=BN,∠AMC=∠BNC,在Rt△MCN中,CM=CN,∴∠CMN=∠CNM=45°,∴∠AMC=180°﹣∠CMN=135°,∴∠BNC=135°,∴∠ANC+∠ANB=135°,∴∠ANB=135°﹣∠ANC=90°,∴AM⊥BN,即AM=BN,AM⊥BN;(2)①证明:如图2,过点C作CF⊥CN,交AN于点F,∵△CMN是等腰直角三角形,∴∠CNM=45°,CM=MN,∵CF⊥CN,∠ACB=90°,∴∠FCN=∠ACB,∠CFN=∠CNF=45°,∴∠ACF=∠BCN,CF=CN,∵AC=BC,∴△ACF≌△BCN(SAS),∴AF=BN,∵CF=CN,CM⊥MN,∴MF=MN=CM,∴AM=AF+FM=BN+CM;②解:∵AM=5,BN=2,BN+CM=AM,∴CM=MN=AM﹣BN=3,∴AN=AM+MN=8,在Rt△ABN中,根据勾股定理得,AB2;故答案为:2;③解:在Rt△ABC中,AC=BC,∴∠B=45°,Ⅰ、当DH=DB时,如图3,此时点M与点D重合,∵△CMN是等腰直角三角形,CN,∴CM=1,∴CD=CM=1,∴CD2=1;Ⅱ、当BH=BD时,如图4,作∠MCN的角平分线CP,交MN于点P,∵BH=BD,∴∠BDH=∠BHD(180°﹣45°)=67.5°,∴∠CDM=67.5°,∴∠DCM=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,∵CP平分∠MCN,∴∠MCP∠MCN=22.5°,∴∠DCM=∠MCP,又∵CM⊥MN,∴CD=CP,过B作PQ⊥CN,∴PM=PQ,∴△CDP是等腰三角形,DM=PM,CD=CP,设PM=x,则PQ=x,∴S△CMN=S△CMP+S△CPN即CM MNCM xCN x,∴1 11 x x,解得:x1,即MP1,∴CD2=CP2=CM2+MP2=1+(1)2=4﹣2;Ⅲ、当HB=HD时,如图5,∵∠BHD=90°,∠B=45°,∴∠BDH=45°,∴∠CDN=45°=∠N,∴CD=CN,∴CD2=2;即CD的长为1或2或4﹣2;.模块二:全等半角模型与旋转典例精讲:解:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD',使AB与AC重合,连接ED',如图所示:则CD'=BD=4,∠CAD'=∠BAD,AD'=AD,∠ACD'=∠B=45°,∴∠DAD'=∠BAC=90°,∵∠DAE=45°,∴∠D'AE=90°﹣45°=45°,∴∠DAE=∠D'AE,在△AED和△AED'中,,∴△AED≌AED'(SAS),∴DE=D'E,∵∠ECD'=∠ACB+∠ACD'=45°+45°=90°,∴D'E,∴DE;解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠DAG=∠DCH=45°,∵DE=FE,∠DEF=90°,∴∠GDH=∠F=45°,将△DAG绕点D顺时针旋转90°,得到△DCL,连接HL,则DL=DG,∠GDL=90°,∴∠LDH=90°﹣∠GDH=45°=∠GDH,在△LDH和△GDH中,,∴△LDH≌△GDH(SAS),∵∠DCL=∠DAG=45°,∴∠HCL=∠DCL+∠DCH=90°,∵CL=AG=4,CH=3,∴LH=GH5,∴AC=AG+GH+CH=4+5+3=12,∵ACAD=12,∴AD=6,作GK⊥AD于点K,则∠AKG=∠DKG=90°,∴∠KGA=∠KAG=45°,∴AK=GK,∵AGAK=4,∴AK=GK=2,∴DK=AD﹣AK=6242GK,∴DGGK22,故答案为:2.跟踪练习:解:∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠BCD=∠DBC=30°,∵△ABC是边长为3的等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°,延长AB至F,使BF=CN,连接DF,在△BDF和△CND中,∵,∴△BDF≌△CND(SAS),∴∠BDF=∠CDN,DF=DN,∵∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°,在△DMN和△DMF中,∵,∴△DMN≌△DMF(SAS)∴MN=MF,∴△AMN的周长是:AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=5+5=10.解:如图所示,延长EF交AD延长线于M,交AB延长线于N,∵四边形ABCD为矩形ABCD,则∠ABE=∠NBE=∠ADF=∠MDF=90°,∵∠EAF=∠CEF=45°,∴∠BNE=∠BEN=∠DFM=∠DMF=45°,∴DM=DF=1,BE=BN=2,AN=AM,∴NE,NF,把△AMF绕点A顺时针旋转90°到△ANP,则NP=MF,AP=AF,∠PAE=∠FAE=45°,∵∠PAN=∠MAF,∠MAF+∠BAE=45°,∴∠PAN+∠BAE=∠PAE=45°=∠EAF,在△APE和△AFE中,,∴△APE≌△AFE(SAS),∴∠PNE=∠PNA+∠ANE=45°+45°=90°,PE=EF,在Rt△PEN中,由勾股定理可得PE,故EF;解:(1)探究发现:将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置,使得AB与AD重合,∴△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,∴∠BAE+∠DAF=60°,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=60°=∠EAF,∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG=DG+DF=BE+DF,故答案为:EF=BE+DF;(2)结论仍然成立,理由如下:如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数,得到△ABH,由旋转可得,AH=AF,BH=DF,∠DAF=∠BAH,∠D=∠ABH,∵∠EAF∠DAB,∴∠HAE=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE∠BAD,∴∠HAE=∠EAF,∵∠ABH+∠ABE=∠D+∠ABE=180°,∴点H、B、E三点共线,在△AEH和△AEF中,,∴△AEH≌△AEF(SAS),∴EF=HE,∵HE=BH+BE,∴EF=DF+BE;(3)尝试应用:如图2,将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置,使得AB与AD重合,∴△ABE≌△ADG,∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°=∠EAF,∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG=DG+DF=BE+DF;∴EF=BE+DF=5,设正方形ABCD的边长是x,在Rt△CEF中,EC=x﹣3,CF=x﹣2,EF2=EC2+CF2,∴52=(x﹣3)2+(x﹣2)2,解得x1=6,x2=﹣1(舍去),∴正方形ABCD的边长是6.模块三:对角互补模型与旋转例题精讲:解:∵AD=AB,且∠DAB=90°,∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°,AD与AB重合,得到△ABE.∴∠ABE=∠D,AC=AE.根据四边形内角和360°,可得∠D+∠ABC=180°∴∠ABE+∠ABC=180°.∴C、B、E三点共线.所以△ACE是等腰直角三角形.∵四边形ABCD面积=△ACE面积,∴AC2=12.5.解:如图1,连接BD,∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=60°,∵∠DCA=60°,∴∠DCA=∠ABD,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠ABC+∠ADC=180°,AC是直径时有最大值,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,则∠ADE=∠ABC,AC=AE,∠EAD=∠BAC,BC=ED,∴∠ADE+∠ADC=180°,∠EAC=∠DAB=60°,∴E,D,C三点共线,△EAC是等边三角形,∴BC+CD=DE+CD=EC=AC,即CD+CB的最大值是CE,如图2,∵AC是直径,∴∠ADC=90°,∵△CAE是等边三角形,且AD=2,∴EC=2CD=2,即CD+CB的最大值是.故答案为:.跟踪练习:解:(1)由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”.故答案为:④;(2)想法一:延长CB使BE=CD,连接AE,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ABE+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠ABE,∵AD=AB,∴△ADC≌△ABE(SAS),∴∠ACD=∠AEB,AC=AE,∴∠ACB=∠AEB.∴∠ACD=∠ACB.即AC平分∠BCD;想法二:将△ACD绕点A顺时针旋转,使AD边与AB边重合,得到△ABE,∴△ADC≌△ABE.∴∠ADC=∠ABE;∠ACD=∠AEB,AC=AE.∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ABE+∠ABC=180°.∴点C,B,E在一条直线上.∵AC=AE,∴∠ACB=∠AEB∴∠ACD=∠ACB,即AC平分∠BCD.解:(1)∵AC是正方形的对角线,∴∠B=90°,AB=BC,在Rt△ABC中,AC=8,根据勾股定理得,AB2+BC2=AC2,∴2AB2=AC2=64,∴AB2=32,∴S正方形ABCD=32,故答案为32;(2)如图②,延长CD至C'使DC'=BC,连接AC',∴∠ADC+∠ADC'=180°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC'=∠ABC,∵AD=AB,∴△ADC'≌△ABC(SAS),∴S△ADC′=S△ABC,AC'=AC,∴∠DAC'=∠BAC,∴∠DAC'+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°,∴∠CAC'=90°,∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ADC′+S△ADC=S△ACC′=8,∵S△ACC′AC AC'AC2=8,∴AC=4,即AC的长为4;(3)如图③,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADC',连接AC',CC',由旋转知,AC'=AC,C'D=BC,∠CAC'=90°,当点D在CC'上时,S△ACD+S△ADC′最大,其最大值为S△ACC′,而S△ACC′AC2,∴S△ACC′最大时,AC最大,S△ACC′最大时,CC'=CD+C'D=CD+BC=10,∴AC最大CC'=5,如图④,过点D作DE⊥AC于E,在Rt△CED中,∠DCE=45°,CD=3,∴DE=CE,在Rt△AED中,AE=AC﹣CE=5,根据勾股定理得,AB=AD.解:(1)由旋转得:AD=AE,∠ADB=∠AEC,∵∠ADC+∠ADB=180°,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴四边形ADCE是等补四边形,故答案为:是;(2)∠ABC=90°,AB=BC,如图2,将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG,∴∠BAD=∠BCG,BD=BG,∠DBG=90°,∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD+∠BCG=180°,∴D、C、G三点共线,∵S四边形ABCD=8,∴S△BDG=8,∴,∴BD=4(负值已舍去);故答案为:4;(3)AB=BC,如图3,将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小,得△BAE,∴BD=BE=5,∠BAE=∠C,S△ABE=S△BCD,∵∠BAD+∠C=180°,∴∠BAD+∠BAE=180°,∴A、D、E三点共线,∴S四边形ABCD=S△BDE,当BD⊥BE时,△BDE的面积最大,为.则四边形ABCD面积的最大值为. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第10讲全等图形——旋转构造的参考答案.docx 第10讲全等图形——旋转构造的学习清单.docx