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(共23张PPT)
罗湖区中考数学“百师助学”专题
深圳市红桂中学 曾丽红
全等三角形专题复习
一、前置作业反馈
二、全等三角形的概念与性质及判定
全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
全等三角形性质 (1)对应边_______，对应角_______；
(2)对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等；
(3)周长_______，面积_______
全等三角形判定 _______，_______，_______，_______，_______
相等 相等
相等 相等
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
三、常考全等模型复习
常考模型 模型图示 常用方法
旋转模型
三垂直模型
半角模型
遇到共夹角，则应用角的和差转化成一组相等的角
有三个直角，利用同角的余角相等找等角
通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系
练习1．如图，点E在△ABC的外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE.求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
∠C＝180°－∠3－∠DFC，∠E＝180°－∠2－∠AFE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E.
∴△ABC≌△ADE(ASA).
练习2．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线PQ是过点A的任意一条直线，BD⊥PQ于点D，CE⊥PQ于点E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)猜想BD，DE，CE三条线段之间的数量关系；(不写证明)
(3)在图②中，将图①中的直线PQ绕点A逆时针旋转任意角度，经过三角形的内部(不与AB，AC重合)时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
解：(1)证明：∵BD⊥PQ，CE⊥PQ，∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，
∴∠2＝∠3.
∴△ABD≌△CAE(AAS)；
(2)DE＝BD＋CE；
(3)结论：DE＝BD－CE或DE＝CE－BD.
理由：设PQ与BC交于点M.
当点M离点B近时，结论为DE＝CE－BD.
当点M离点C近时，结论为DE＝BD－CE.
(注：当M为BC中点时，D，E两点重合，线段DE不存在)
练习3. 在正方形ABCD中，E，F分别在AD，CD边上，∠EBF＝45°．求证：AE＋CF＝EF.
∴∠1＋∠3＝∠3＋∠2=∠ABC-∠EBF
∴∠ABC＝90°，又∠EBF＝45°，
∴∠HBE＝∠EBF＝45°
证明：如图，将△BCF绕点B逆时针旋转90 得到△BAH，
∵四边形ABCD为正方形， 由旋转得∠1＝∠2，BH=BF, HA=FC，
∠HAB=∠C=∠BAE=90°，H，A，E三点共线，
∴△HBE≌△EBF (SAS)，
∴HE＝EF
又∵HE=HA+AE=CF+AE，
∴AE+CF=EF
四、课堂小结
逻辑严谨
明晰模型
书写工整
格式规范
条件明确
四、真题演练
★1．（2024·四川成都·中考真题）如图△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为_______；
100°
★2. （2024·黑龙江·中考真题节选）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE垂直AB交的延长线于点E．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是
.
AB＝DE
★3．（2023·深圳节选）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，若BE＝BC，过点C作CF垂直BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
证明：∵四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠ABC＝90°
∴∠1+∠2＝∠2+∠3=90°，
∴∠1＝∠3，
又∵CF⊥BC，∴∠CFB＝90°，
∴△ABE≌△FCB (AAS).
★★4．（2024·湖北武汉·中考真题） 如图，点A的坐标是，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ）
A. （4,6） B.（6,4） C.（-6，-4） D. （-4，-6）
★★5．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB=AC=6，D为边的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ） A．18 B． C．9 D．
B
C
★★6．（2022 深圳节选）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
证明：∵四边形ABCD是正方形，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，
∴BF=AB=BC，∠BFE＝∠A=∠C=90°，
∴∠BFG＝∠C，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG (HL).
★★★7．（2021 深圳）如图，已知反比例函数的图象过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为_______ ．
★★★8．如图，已知E、H分别为正方形ABCD的边AD和DC上的一点，连接AH，BE交于点F，且AE=DH，请直接写出线段AH与BE的关系 _______ ．
（4，-7）
相等且垂直
★★★9．（2024·四川乐山·中考真题节选）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，点D在点E的左侧，探究线段BD、DE、EC之间的数量关系．
解：BD2+EC2=DE2 ,探究如下：
△ABD饶点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED’．
由旋转的特征得∠1＝∠2，AD=AD', BD=CD'，∠5＝∠B=∠4=45°．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠1+∠3=45°
∴∠2+∠3=45°，∴∠DAE=∠EAD'．
∴△AED≌△AED' (SAS).
∴DE=ED'
∵∠ECD'=∠4+∠5=90°
∴Rt△ECD'中，由勾股定理得 CD'2+EC2= ED'2
∴ BD2+EC2=DE2.
六、自我提高
10. （2024·黑龙江·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
★★（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为_______ ；
【类比探究】
★★（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与的CD数量关系并证明；
【联系拓广】
★★★（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sin∠ECD的值．
谢谢~

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