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(共22张PPT)
建立平面直角坐标系 解决几何问题
深圳市罗湖区翠园实验学校 陈浩
罗湖区初中数学2025届中考备考“百师助学”课程
一、知识梳理
《义务教育数学课程标准（2022）年版》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题。其中“图形与坐标”强调数形结合，用代数方法研究图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问题。建立平面直角坐标系是研究函数问题的重要一步，反过来从函数的角度去研究几何问题也是很重要的。初中阶段的几何题里大多是以矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形等为背景，而这些几何图形都能通过建立平面直角坐标系来解决问题，从而做到几何问题代数化。这种“建立平面直角坐标系解决几何问题”简称“建系法”的方法既增加了代数推理，又增强了几何直观，从而达到数与形的完美统一。
1.两点间距离公式
2.中点坐标公式
1.知识储备
o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
C
y
x
由已知得
3.一次函数求“k”
o
B(x2,y2)
A(x1,y1)
y
x
4.关于一次函数“k”的重要结论
模块一：建系法的认识
二、学习过程
问题1：什么是建系法？
在初中数学中，建系法（即建立坐标系的方法）是一种通过构造平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决的策略。它属于数形结合的思想，常用于简化几何证明或计算。
问题2：什么题型适合建系？
（1）存在直角（题目中有正方形、矩形或直角三角形等）
（2）容易构造直角（题目中有等腰三角形、正三角形、菱形等）
（3）给了一些线段长度（最好是两条直角边的长度,方便表示出坐标)
问题3：坐标原点如何选取？
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
问题4: 用建系法的优缺点？
典型对比案例：
问题：证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”。
y
x
o
A
B
C
D
A
B
C
D
（m，0）
（0，n）
E
问题4: 用建系法的优缺点？
优点：
①程序化操作
步骤固定：建系 → 标坐标 → 求解析式 → 计算，适合不擅长几何思维的学生。
②化抽象为具体
将几何图形中的点、线、角等抽象元素用具体的坐标和方程表示，使问题更直观。
③通用性强
适用于大多数规则图形（如三角形、矩形、菱形等），尤其是对称性或垂直性明显的图形。
例如：求非特殊三角形面积时，直接利用顶点坐标和面积公式（如铅锤法）比几何分割更快捷。
④简化动态问题
对动点轨迹、最值问题可通过函数或方程分析，避免复杂几何构造。
例如：求线段最小值时，可转化为求二次函数顶点或两点间距离。
问题4: 用建系法的优缺点？
缺点：
①依赖坐标系的选择
坐标系选取不当（如斜放图形）会导致坐标复杂，计算量增大。
例如：若将三角形的边与坐标轴不平行，坐标表达式会变得繁琐。
②计算易出错
涉及多步代数运算（如距离公式、斜率、联立方程等），容易因粗心出错。
例如：验证两条直线垂直时，需计算斜率乘积是否为-1，符号错误可能导致结论错误。
③丧失几何直观
过度依赖代数可能掩盖几何本质，不利于培养空间想象能力。
例如：用坐标法证明“勾股定理”虽可行，但不如几何拼图法直观。
④不适用于所有问题
对非规则图形（如任意四边形）或求图形的角度关系可能效率低下。
模块一：建系法的认识
二、学习过程
问题1：什么是建系法？
问题2：什么题型适合建系？
问题3：坐标原点如何选取？
问题4: 用建系法的优缺点？
what？
how？
why
模块二：建系法在矩形下的运用
二、学习过程
典例精讲
x
y
（0,0）
（4,0）
（4,4）
（0,4）
（2,4）
（4,2）
建系
标坐标
求解析式
计算
典例精讲
x
y
建系
标坐标
求解析式
计算
（0,0）
（6,0）
（0,6）
（6,6）
（6,2）
（3,3）
典例精讲
x
y
M
P
N
建系
标坐标
求解析式
计算
解答：以B点为原点，AB为y轴，如图建立平面直角坐标系,
则B（0,0）,C（6,0）,D（6,6）,A(0,6),E(2,6),F(1,3)
（0,6）
（6,0）
（6,6）
（0,0）
（2,6）
（1,6）
（5,5）
模块二：建系法在矩形下的运用
二、学习过程
模块三：建系法在三角形下的运用
二、学习过程
典例精讲
x
y
建系
标坐标
计算
（0,0）
（2,0）
（0,1）
（2,2）
（3,2）
典例精讲
典例精讲
x
y
解答：
以D点为原点，DB为y轴建系，如图所示，
建系
标坐标
计算
则A（1,0），E（2,0），B（0,2）
过C点作CF⊥BD，构造三垂直全等，即△ABD≌△BCF，
CF=BD=2,BF=AD=1，
∴C点坐标为（-2，1）
∴由两点间的距离公式可
得CE=
（0,0）
（1,0）
（2,0）
（0,2）
（-2,1）
F
典例精讲
x
y
A
B
C
D
O
K
建系
标坐标
求解析式
计算
（-4,0）
（4,0）
（0,6）
建立平面直角坐标系解决几何问题
深圳市罗湖区翠园实验学校
陈浩
罗湖区初中数学2025届中考备考“百师助学”课程
我思故我在
在中考这场思维坐标系的构建中，愿同学们传承笛卡尔的三种力量：
一是像他病中演算的坚持力（态度）：
坐标系不是顿悟，是夜以继日描点的轨迹；
二是学他构建几何代数的整合力（方法）：
用横轴串联知识，用纵轴贯通方法；
三是效他打破常规的破界力（创新）：
当旧公式解不开新题时，记得你本就是坐标系的原点，
拥有重新定义方向的权利。

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