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2025年九年级中考数学冲刺练习
反比例函数与一次函数、几何图形综合题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图像于点Q，若，直接写出P点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式 的解集；
(3)尺圆作图：过点作轴，交于点（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形的面积．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
(1)求直线的函数解析式；
(2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______；
(3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点．
(1)求的值；
(2)连接，求的面积；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根（）．
(1)求点A，C的坐标；
(2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，反比例函数的图象的一个分支经过点E，求k的值；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N有多少个，并写出其中一个的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积
(3)直接写出时，的取值范围；
(4)在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
8．综合与探究
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接．

(1)求一次函数的表达式．
(2)若的面积为，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值．
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由．
10．综合运用：
如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；
(2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．
12．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．
13．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
14．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求直线和反比例函数的表达式．
(2)结合图象，请直接写出不等式的解集．
(3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标．
15．如图1，一次函数（）的图象与y轴交于点B，与反比例函数（）的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，与x轴交于点H，连接、．
(1)一次函数表达式为 ；反比例函数表达式为 ；
(2)在线段上是否存在点E，使点E到的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到．
①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点、的坐标；
②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．
《2025年九年级中考数学冲刺练习反比例函数与一次函数、几何图形综合题》参考答案
1．(1)，
(2)或
【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上，
，
解得，，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的表达式为：；
（2）由（1）得，一次函数的解析式为，
令，则；
令，则，，
，
，，
，
，
，解得，
∴当时，，当时，，
或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
2．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
(2)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
（1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点，
，
解得：，
，
解得：，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）解：设，
轴，
，，
∵，即，
∴，
∴，
，整理得：，
解得：或，
出P点的坐标为或即或．
3．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
(2)；
(3)作图见解析，梯形的面积为．
【分析】（）把代入可求出反比例函数的表达式，进而求出点坐标，再利用待定系数法可求出一次函数解析式；
（）根据函数图象解答即可求解；
（）作即可得到直线，再求出点坐标即可求出梯形的面积；
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的几何应用，根据题意正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，
∴关于的不等式 的解集为；
（3）解：如图所示，直线即为所求；
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴，
∵轴，
∴点的纵坐标相同，
∴点的纵坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．(1)
(2)
(3)5
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合是解题的关键，
（1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象即可解答；
（3）由题意知点坐标为，即可知，，，根据四边形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方，
又∵，
∴由图象可知．
故答案为：；
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，，
四边形的面积
．
5．(1)，；
(2)的面积为；
(3)点或或．
【分析】（）由直线图象过点，与轴交于点，可求出，，则有点，然后代入即可求解；
（）由（）得一次函数解析式为，则点，然后用三角形面积公式即可求解；
（）分当点在轴上时和当点在轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解；
【详解】（1）解：∵直线图象过点，与轴交于点，
∴，，
∴，，
∴点，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：如图，
由（）得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
∴的面积为；
（3）解：当点在轴上时，设点，点，
∵以为顶点的四边形为平行四边形，
∴和是对角线，且互相平分，
∴，
∴，
∴点，
∴，
∴，
∴点，
当点在轴上时，设点，点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
此时点在的延长线上，不合题意舍去，
当为对角线时，同理可求点，点，
综上所述：点或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键.
6．(1)，
(2)
(3)存在，符合条件的点N有4个，、，或
【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出、的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；
（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；
（3）假设存在，设点M的坐标为，分别以为边、为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标．
【详解】（1）解：，
∴，，
∵，
∴，，
∴，；
（2）解：将代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为．
∵点E为直线上一点，
∴．
将点代入中，
得：，解得：；
（3）解：假设存在，设点M的坐标为，
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分三种情况（如图所示）：
①以线段为边，且点N在直线右侧时，
∵，，E为线段的中点，
∴，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
解得：，，
∴或，
∵，，
∴或；
②以线段为边，且点N在直线左侧时，，
∴．
解得，．
∴．
∵，，
∴．
③以线段为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，即．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个，
坐标为、，或．（写到一个即可）
【点睛】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用因式分解法解一元二次方程；（2）求出点E的坐标；（3）分线段为边、为对角线两种情况来考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，分别以给定的线段为边和为对角线考虑，根据菱形的性质找出关于点M坐标的方程是关键．
7．(1)
(2)
(3)或
(4)在轴上存在点或或使为直角三角形．
【分析】（1）联立一次函数和，解出点坐标，代入反比例函数解析式即可求出；
（2）联立和解出点坐标，进而设与轴交于点，根据即可求解．
（3）结合图象即可得出答案；
（4）假设在轴上存在使为直角三角形，用含的代数式表示，然后根据勾股定理分①；②；③三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：依题得
解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）∵
解得：或，即
设与轴交于点，
当时，，即，则,
∴
；
（3）结合图象可得当时，的取值范围是或；
（4）如图，假设在轴上存在使为直角三角形，
①，即
解得或；
② 即
解得：；
③即
解得：；
综上所述，在轴上存在点或或使为直角三角形．
【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，反比例函数和一次函数综合，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
8．(1)一次函数解析式为；
(2)；
(3)（-7，-4）或．
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案；
（3）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当，为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入，得
，
∴反比例函数解析式为，
∴，
把，代入得
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，

设，
∵，，
∴，，
在中，令，得，
解得：，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）存在；
设直线的解析式为，把，坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
又，，
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
∴，
解得，
∴；
当，为平行四边形对角线时，与的中点重合，
∴，
解得，
∴；
综上所述，点E的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解．
9．(1)3，6；
(2)
(3)存在，坐标为或或
【分析】（1）将代入一次函数求出一次函数解析式，再将代入一次函数求出n，代入反比例函数即可得到答案；
（2）求出B点坐标，连接，根据列方程即可得到答案；
（3）根据平行四边形性质对角线互相平分，分、、三个对角线讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入一次函数得，
，解得：，
∴，
将代入得，
，
将代入反比例函数得，
，
故答案为：3，6；
（2）解： 当时，，
∴，
由题意可得，
，
解得：；
（3）解：由（2）得，，，，
当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，
，
∴；
当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，
，
∴；
当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，
，
∴；
综上所述Q的坐标为：或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，围成特殊图形及面积问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论．
10．(1)，
(2)
(3)存在，、、或
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
（1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论；
（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；
（3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解．
【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点的坐标为也在上，
，
的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上，
代入可得：
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
当时，可得，解得
，
，
的坐标为，的坐标为，
；
（3）解：①若时，如图所示，
的坐标为，
点的坐标为；
②当时，如图，
设点，
，，
是直角三角形，
，
即，
解得，
点的坐标为．
③当时，如图，
当点在轴上时，设点，
，，
是直角三角形，
，
，
解得，
点的坐标为．
④若时，如图所示，
的坐标为，
点的坐标为．
综上可得点的坐标为、、或．
11．(1)
(2)点的坐标为，或
【分析】（1）利用待定系数可得答案；
（2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将代入，得，
反比例函数的表达式为，
将代入，
得解得，
一次函数的表达式为，
联立方程组消得，
即，
解得：，，
由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3，
点的坐标为
（2）分两种情况讨论：
①当时，如图，过作于，

∵轴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，而，
同理可得：直线的解析式为，
∵，点在直线上，
∴点的横坐标为2，
当时，，
∴；
②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，

则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
同理可得：，
∴，
由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
∴，
当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，

同理可得：，，
设，则，
∵直线为，
∴，，
∴，
解得，
∴，
当点E在右侧时，同理可得，

设，则，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，而在直线上，
∴，
解得，且满足分式方程，
∵，
∴，
∴，
综上，点的坐标为，或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
12．(1)；
(2)①点F的坐标为（4，2）；②点M的横坐标为或；
【分析】（1）根据题意，先求出点C的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）①由矩形的性质，得到EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），然后求出x的值，即可求出点F的坐标；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点N落在直线AB上时；当点P落在直线AB上时；利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质，分别求出每一种情况的答案即可．
【详解】（1）解：根据题意，
∵直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，则；令，则；
∴点A为（，0）；点B为（0，2）；
∵点B是AC的中点.，
∴点C的坐标为（2，4）；
∵点C在反比例函数图像上，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形FEHG是矩形，
∴EF∥x轴，
设点E的坐标为（，），则点F为（，），
∵EF=4，
∴，
解得：或，
∵顶点F在点C右侧的反比例函数上，
∴，解得，
∴，
∴点F的坐标为（4，2）；
②根据题意，∵点F的坐标为（4，2）；
∴点G为（4，0）；
当点N落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作NE⊥DM，交DM延长线于点E；
∵四边形GMNP是正方形，则MG=MN，∠NMG=90°，
∵∠E=∠D=90°，
∴∠EMN+∠GMD=∠GMD+∠DGM=90°，
∴∠EMN=∠DGM，
∴△EMN≌△DGM（AAS），
∴EN=DM，EM=DG；
∵点M在的图像上，点N在直线上，且点M在点F的左侧，
设点M为（m，）（），点N为（n，），
∵点G为（4，0），
∴，，，，
∴，
解得：，
∴点M的横坐标为；
当点P落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作PE⊥FG，交FG延长线于点E；
与①同理，可证△DMG≌△EGP，
∴EG=DM，EP=DG；
设点M为（m，）（），点P为（p，），
∵点G为（4，0），
∴，，，，
∴，
解得：，
∵，
∴；
∴点M的横坐标为；
综合上述，点M的横坐标为：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形，以及解方程组，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助，运用数形结合的思想进行分析题意．
13．(1)；
(2)8
(3)A．，，
B．,,,
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可；
（2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，先求出点C的坐标，再利用即可求出的面积；
（3）A：先确定点A、B、P的坐标，设点D的坐标为，当是边时，利用平移可得，或，，求出s、t，当是对角线时，由中点公式得：，求即可；
B：由直线求点，由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，求出s、m，当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
得，
反比例函数的表达式为；
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点B的坐标为，
将点和的坐标分别代入，
得，
解得，
一次函数的表达式为．
（2）解：在中，当时，
点C的坐标为，
过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示：
的面积为8．
（3）解：能，理由：
A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，
设点D的坐标为,
当是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P），
则，或，，
解得或；
当是对角线时，
由中点公式得：，,
解得；
故点D的坐标为或或．
B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知，
设点Q的坐标为，点M的坐标为，
当为边时，
则或，
即或，
解得或8（舍去）或4，
即或4；
当是对角线时，
则且的中点即为的中点，
则，
解得，
综上，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，平行四边形性质，菱形性质，本题综合性强，难度较大，灵活掌握知识是解题关键．
14．(1)直线的表达式为；反比例函数的表达式为
(2)不等式的解集是
(3)或或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，综合应用反比例函数和一次函数的知识点是解题关键．
（1）将点A和点B的坐标代入直线表达式可得方程组，求解方程组得出参数即可得到直线表达式，将点C的横坐标代入直线表达式可得点C的纵坐标，再将点C坐标代入反比例函数表达式可得方程，求解方程得出参数可得到反比例函数的表达式；
（2）根据数形结合的思想通过直线图像和反比例函数图像的位置关系求解不等式的解集即可；
（3）先求出，再分情况求出点P坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点和，
∴可得方程组
解得
∴直线的表达式为．
∵直线与反比例函数的图像交于点，
∴，
解得：，
∴．
∴．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
（2）求不等式的解集相当于从图像上看x取何值时，反比例函数的图像不低于直线的图像．
所以从图像上看，当时，反比例函数的图像不低于直线的图像．
所以不等式的解集是．
（3）∵，
∴．
当时，
∵点P在x轴上，
∴或；
当时，
∵点P在x轴上，且，
∴，
∴综上所述或或．
15．(1)；
(2)存在，
(3)①，；②点的坐标为或或
【分析】（1）将点代入一次函数与反比例函数中求解，即可解题；
（2）根据点C的横坐标为3，求出点C，的坐标，结合勾股定理进而得到，，设，记点E到的距离，利用等面积法推出，再根据“点E到的距离等于它到x轴的距离”建立等式求解，即可解题；
（3）①记点O到对应点向右平移了个单位长度，得到，根据平移的特点进而得到，，再根据在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题；
②设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，记直线向右平移个单位长度得到直线，得到直线的解析式，进而得到，即，联立与，求出，进而推出，，结合勾股定理得到、、，再根据以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分以下三种情况①当、为菱形的边时，②当、为菱形的边时，③当、为菱形的边时，结合菱形性质建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点，
，，
解得，，
一次函数表达式为；反比例函数表达式为；
故答案为：；．
（2）解：存在，
点C的横坐标为3，
，即，
轴，且在反比例函数上，
，，即，
点E在线段上，
设（），
，，
记点E到的距离，
有，
即，
解得，
点E到的距离等于它到x轴的距离，
或，
解得或（不合题意，舍去），
；
（3）解：①记点O到对应点向右平移了个单位长度，
点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上，
，
由平移的性质可知，，，
在一次函数图象上，
，
解得或（不合题意，舍去），
，；
②，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
记直线向右平移个单位长度得到直线，
由平移的性质可知，直线的解析式为，
射线与x轴交于点F，
，即，
联立与，有，
整理得，
将代入中有：，
即，
，，
，，，
以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，
①当、为菱形的边时，
有，即，
解得或（不合题意，舍去），
即；
②当、为菱形的边时，
有，即，
整理得，
解得，
即；
③当、为菱形的边时，
有，即，
解得，
即；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解析式，等面积法，勾股定理，平移的性质，菱形的性质和判定，坐标与图形等，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．

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