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2.1 有理数的加法与减法
第二章 有理数的运算
2.1.1 有理数的加法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
有理数的加法法则
有理数加法的运算律
知识点
有理数的加法法则
知1－讲
1
1. 有理数加法法则
(1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
知1－讲
(2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 .
同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加：
知1－讲
(3)一个数与0 相加，仍得这个数.
知1－讲
2. 有理数加法运算的各种情况如下表
和 用字母表示
符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|)
若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|)
知1－讲
异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|)
若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|)
互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0
一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a
知1－讲
3. 有理数加法运算的步骤
知1－讲
特别提醒
1.若a＋b=0，则a=－b.
2.若a＋b=0，且a ≥ 0，b ≥ 0，则a=b=0.
例：若|m－1|＋|n＋2|=0，则有m－1=0，n＋2=0.
3. 两个有理数相加，和是一个有理数.
4.任何数加上一个正数，和都比原数大.
知1－讲
特别解读
1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能：
(1)两个都是正数；
(2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；
(3)一个是正数，一个是0.
2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能：
(1)两个都是负数；
(2)一个是正数、一个是负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值；
(3)一个是负数，一个是0.
知1－练
例 1
[母题 教材P27例1 ]计算：
(1)(＋20)＋(＋12)； (2)(－2)＋(－1)； (3)(－30)＋6；
(4)(－)＋； (5)1.5＋(－1.5)； (6)0＋(－).
解题秘方：先确定两个数相加的类型，然后根据法则计算.
知1－练
解：(1)(＋20)＋(＋12)=20 ＋12 =32 ；
(2)(－2)＋(－1)=－(2＋1)=－3；
(3)(－30)＋6=－ (30－6)=－24 ；
(4)(－)＋= －=；
(5)1.5 ＋(－1.5)=0；
(6)0 ＋(－)=－.
注意：两个有理数的和不一定大于每一个加数
知1－练
1-1.下列四个算式是小明作业中的四个题目：
①(－5)＋(－4)=9；②(－5)＋6=－1；
③(－)＋(－)=－；④ 3.6＋(－5.6)=－2.
其中计算结果正确的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
知1－练
下列说法错误的是( )
A. 两个有理数的和一定大于任何一个加数
B. 若两个有理数的和为正数，则这两个有理数中至少有一个是正数
C. 若两个有理数的和为0，则这两个有理数一定互为相反数
D. 两个异号有理数相加，和可能是正数也可能是负数或0
例 2
知1－练
解题秘方：结合有理数的加法法则进行辨析.
解：A. 错误，例如，(－3)＋1=－2 ，(－3)＋(－1)=－4 ，(－3)＋0=－3.
答案：A
知1－练
特别提醒：有理数加法的结果：可正，可负，可为零，可能比两个加数都大，如3 ＋5 =8；可能比两个加数都小，如(－3)＋(－5)=－8；可能比一个加数大，比另一个加数小，如(－3)＋5 =2 .
知1－练
2-1.[期中·北京西城区]已知两个有理数的和比其中任何一个加数都小，则一定是(　　)
A．这两个有理数同为正数
B．这两个有理数同为负数
C．这两个有理数异号
D．这两个有理数中有一个为零
B
知2－讲
知识点
有理数加法的运算律
2
1. 有理数加法的运算律
运算律 文字叙述 用字母表示
加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a
加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c)
知2－讲
2. 加法运算律的运用技巧
(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”；
(3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”；
(4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”；
(5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”.
知2－讲
特别提醒
1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加.
2.利用有理数的加法交换律交换加数位置时，各加数要连同其性质符号一起交换.
3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的.
知2－练
计算：(－ )＋( － )＋ ＋(－ ).
例 3
解题秘方：先找相反数，然后利用加法交换律和结合律将相反数结合计算.
解：原式=[(－)＋＋(－)＋(－)=0＋(－1)=－1 .
知2－练
3-1.计算：( ＋)＋6＋(－)＋(－)＋(－6).
知2－练
计算：(＋13)＋(－12)＋(＋37)＋(－78)
例 4
解题秘方：先把正数、负数分别结合，再计算.
知2－练
解：(＋13)＋(－12)＋(＋37)＋(－78)
=(＋13)＋(＋37)＋(－12)＋(－78)
=[(＋13)＋(＋37)]＋[(－12)＋(－78)]
=(＋50)＋(－90)
=－40 .
加法交换律
加法结合律
加法结合律
同号两数相加
同号两数相加
异号两数相加
知2－练
4-1.计算：
(1)41＋(－22)＋(－33)＋19；
(2)(－2)＋3＋1＋(－7)＋2＋(－4).
解：41＋(－22)＋(－33)＋19＝(41＋19)＋[(－22)＋(－33)]＝60＋(－55)＝5；
(－2)＋3＋1＋(－7)＋2＋(－4)＝[(－2)＋(－7)＋(－4)]＋(3＋1＋2)＝(－13)＋6＝－7.
知2－练
计算：5+32+(-1)+8.4+18+(-9.4).
例 5
解题秘方：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在一起，以达到简便运算的效果.
知2－练
解：5+32+(-1)+8.4+18+(-9.4)
=[5+(-1)]+(32 +18)+［8.4+(-9.4)］
=4+50 +(-1)
=53 .
分数结合
整数结合
整数结合
知2－练
5-1.计算：
(－3)＋(＋15.5)＋18 ＋(－6)＋(－5.5)＋(－6).
知2－练
计算：3＋(－1.75)＋2＋(＋3.75)＋( － )．
例 6
解题秘方：将能凑成整数的加数进行交换结合，再计算.
解：原式＝(3＋2)＋[(－1.75)＋(＋3.75)]＋(－ )＝6＋2 ＋(－ )=．
知2－练
6-1.计算：
(1)(＋1.5)＋ (－)＋(－)＋(＋1)；
(2)(－18.35)＋(＋6.15)＋(－3.65)＋(－18.15).
原式＝[(－18.35)＋(－3.65)]＋[(＋6.15)＋(－18.15)]＝(－22)＋(－12)＝－34.
知2－练
计算：
(－2 025)＋(－2 026)＋4 052＋(－1).
例 7
解题秘方：先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.
知2－练
解：原式=[(－2025)＋ (－ )]＋(－2026)＋ (－ )＋
(4 052＋)＋[(－1)＋ (－ )]
=［(－2025)＋(－2026)＋4055＋(－1)］＋(－ )＋(－)＋ ＋ (－ )] =0 ＋( － )=－ .
知2－练
7-1.计算：
(1)3＋(－8)＋(＋2)＋(－1)；
知2－练
(2)( －2026)＋(－2025)＋(－1)＋4 052．
有理数的加法
有理数
的加法
转
化
两个数相加
多个数相加
加法法则
加法运算律

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