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2.1 有理数的加法与减法
第二章 有理数的运算
2.1.2 有理数的减法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
有理数的减法
有理数的加减混合运算
数轴上两点之间的距离(拓展点)
知识点
有理数的减法
知1－讲
1
1. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数.
如：(－22)－(＋5)=(－22)＋(－5)=－27 .
减号变加号
被减数不变
减数变相反数
知1－讲
2. 两数相减差的符号
(1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 .
(2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a(3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 .
知1－讲
特别解读
1.减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变.
2.在有理数的减法中，当减数为正数时，差一定小于被减数；当减数为负数时，差一定大于被减数.
知1－练
例 1
[母题 教材P31例4 ]计算：
(1)(－1)－2； (2)2－(－1)； (3)－－；
(4)－5.2－(－6.3)； (5)0－5； (6)0－(－5)
解题秘方：将减法转化为加法，然后利用加法法则计算.
知1－练
解：(1)(－1)－2 =(－1)＋(－2)=－3；
(2)2 －(－1)=2 ＋1 =3；
(3)－ － =－ ＋(－ ) =－ ；
(4)－5 .2 －(－6.3)=－5 .2 ＋6.3 =1 .1；
(5)0 －5 =0 ＋(－5)=－5；
(6)0 －(－5)=0 ＋5 =5 .
交换被减数与减数的位置，差互为相反数
被减数小于减数，差为负数；被减数大于减数，差为正数
0减去一个数等于这个数的相反数
知1－练
1－1.计算：
(1)(－2)－(＋18)；
(2)0－10；
(3)2.3－(－3.7)；
(4)－9－(－10)；
(5)｜－3｜－｜－4｜；
(6)－6－7－8.
解：(1)原式＝(－2)＋(－18)＝－20；
(2)原式＝0＋(－10)＝－10；
(3)原式＝2.3＋3.7＝6；
(4)原式＝－9＋10＝1；
(5)原式＝3＋(－4)＝－1；
(6)原式＝(－6)＋(－7)＋(－8)＝－21.
知2－讲
知识点
有理数的加减混合运算
2
1. 有理数加减混合运算的方法
(1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式.
(2)运用加法运算律进行计算，使运算简便.
如：(＋7)－(＋10)＋(－3)－(－8)
=(＋7)＋(－10)＋(－3)＋8
=(7 ＋8)＋[(－10)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 .

有理数减法法则
加法交换律、结合律
知2－讲
2. 省略和式中的括号和加号
将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 .
这个式子有两种读法：
(1)按加法的结果来读：负20 、负3、正2、负5 的和；
(2)按运算来读：负20 减3 加2 减5.

知2－讲
特别解读
1.有理数加减混合运算关键有两步：
第一步统一为加法；
第二步运用加法运算律.
2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号.
▲▲▲▲▲
知2－讲
特别提醒
保证两个数之间有符号连接，第一个符号要读为性质符号.
知2－练
把下列各式写成省略括号和加号的形式，并说出它们的两种读法.
－ ＋(－ )－(－ )＋ (－ )－(－ ).
例 2
解题秘方：本题要采用转化法，首先运用减法法则把加减混合运算转化成加法运算，然后写成省略括号和加号的形式.
知2－练
解：－ ＋(－ )－(－)＋ (－ )－(－ ).
=－ － ＋ － ＋ .
读法一：负、负、正、负、正的和；
读法二：负减加减加.
第1 个数前面的符号是性质符号
知2－练
2－1. 写成省略括号和加号的形式后为－7＋4－5－6 的式子是(　　)
A.(－7)－(＋4)－(－5)＋(＋6)
B.－(＋7)－(－4)－(＋5)＋(－6)
C.－(＋7)＋(－4)－(－5)＋(－6)
D.(－7)＋(＋4)＋(－5)－(－6)
B
知2－练
2－2.下列式子可读作“负1、负3、正6、负8 的和”的是( )
A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8)
B.－1－3＋6－8
C. －1－(－3)－(－6)－(－8)
D.－1－(－3)－6－(－8)
B
知2－练
计算：
(1)(+9) －(+10)+(－ 2) －(－ 8)+3；
(2)2.7＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)；
(3)－－0.08＋ －2－0.92＋2.
解题秘方：可以先将式子写成省略括号和加号的形式，再结合题目的特征，巧用运算律进行计算.
例 3

知2－练
解：(1)(+9)－(+10)+(－2)－(－8)+3
=(+9)+(－10)+(－2)+8+3
=［(+9)+8+3］+［(－1 0)+(－2)］
=20 +(－12)
=8.
知2－练
另解
(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+3
=+9-10-2+8+3
=(+9+8+3)+(-10-2)
=20-12=8.
尽量先将式子写成省略括号和加号的形式.
知2－练
(2)2.7 ＋(－8.5)－(＋3.4)－(－1.2)
=2.7 －8.5 －3.4 ＋1.2
=(2.7 ＋1 .2)＋(－8.5 －3 .4)
=3.9－11 .9
=－8；
同号结合法
知2－练
(3)－－0.08 ＋－2－0.92 ＋2
=(－＋ )＋(－0.08 －0.92)＋(－2 ＋2 )
=－0 .2 －1 ＋0
=－1 .2 .
凑整法
相反数结合法
同形结合法
知2－练
3－1.计算：
(1)(－0.5)－(－3)＋3.75－(＋)；
(2)－5＋3＋19.5＋(－6.9)＋(－3.1)＋(－9.5).
原式＝－5＋3＋(19.5－9.5)＋(－6.9－3.1)＝－2＋10－10＝－2.
知3－讲
知识点
数轴上两点之间的距离(拓展点)
3
数轴上两点之间的距离
数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.
示图(如图2.1 －5)：
知3－讲
特别提醒
两点之间的距离是连接两点之间线段的长度，是个正数.所以：
(1)当a ＞ b 时，AB=a－b；
(2)当a ＜ b 时，AB=b－a.
(3)当a，b 的大小不确定时，AB=|a－b|，一般需要分类讨论.
知3－练
根据图2.1－8 中提供的信息，回答下列问题.
(1)A，B 两点间的距离是多少？
(2)B，C 两点间的距离是多少？
例 4
解题秘方：紧扣数轴上两点间的距离公式进行解答 .
知3－练
解：点A表示的数是2，点B表示的数是－，点C表示的数是－3 .
(1)因为|2－(－ )|=|2＋|=，
所以A，B 两点间的距离是.
知3－练
(2)因为|(－)－(－3)|=|－＋3|=||=，
所以B，C 两点间的距离是.
知3－练
4-1.[模拟·宁波] 数轴上点A，B 表示的数分别是-2 024，2025，它们之间的距离表示错误的是( )
A. 2 025+2 024
B. |-2 024-2 025|
C. |2 025-（-2 024）|
D. -2 024-2 025
D
有理数的减法
有理数
的减法
利用
结果
比较大小
计算
加减混合运算
利用法则
与加法综合
运用
求数轴上两点间的距离

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