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2. 2 有理数的乘法与除法
第二章 有理数的运算
2.2.1 有理数的乘法
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
有理数的乘法法则
倒数
有理数乘法的运算律
有理数乘法法则的推广
知识点
有理数的乘法法则
知1－讲
1
1. 有理数的乘法法则
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
(2)任何数与0 相乘，都得0 .
知1－讲
2. 有理数乘法的符号法则
a 与b 乘积的符号 a 与b 的符号
正 同号，即a>0，b>0 或a<0，b<0
负 异号，即a>0，b>0 或a<0，b<0
0 至少一个为0，即a=0 或b=0
知1－讲
特别解读
1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆.
2.有理数乘法的运算步骤：
(1) 确定积的符号；
(2) 确定积的绝对值.
3. 任何数同1 相乘仍得原数，任何数同-1 相乘得原数的相反数.
知1－练
例 1
[母题 教材P39例1 ]计算：
(1)(－2)×3； (2)1×(－)；
(3)(－)×(－1)； (4) (－2025)×0.
解题秘方：两个数相乘，根据乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘即可.
知1－练
解：(1)(－2)×3 =－(2×3)=－6；
(2)1×(－)=－(×)=－；
(3)－×(－1)=＋(×1)= ；
(4) (－2025)×0 =0 .
积的绝对值
积的绝对值
带分数化成假分数
任何数与-1 相乘都等于它的相反数
知1－练
1-1.[期中·威海环翠区]在2，－4，－3，5 中， 任选两个数相乘，积最小的是(　　)
A.(－4)×(－3)
B.(－3)×5
C.(－4)×5
D.2×(－4)
C
知1－练
1-2.计算：
(1)(－12.5)×(－0.8)；
(2)×( －1).
解： (1)原式＝12.5×0.8＝10；
(2)原式＝－×＝－2.
知1－练
根据下列条件，判断a，b 的正负性：
(1)a＋b ＜ 0，ab ＞ 0；
(2)a－b ＜ 0，ab ＜ 0.
例 2
解题秘方：先根据两个数积的符号判断出两个数是同号还是异号，再根据两个数和(差)的符号判断两个数的正负性.
知1－练
解：(1)因为ab>0，所以a，b 同号.
又因为a＋b<0，所以a，b 同为负.
(2)因为ab<0，所以a，b 异号.
又因为a－b<0，所以a所以a 为负，b 为正.
知1－练
2-1.[期中·新乡卫辉市] 已知有理数x，y满足x+y<0，xy<0，x<
>
x
知2－讲
知识点
倒数
2
1. 定义 乘积是1 的两个数互为倒数.
特别解读
1.“ 乘积是1 ”是判断两个数互为倒数的关键.
2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数.
3.取倒数不改变原数的正负性.
4. 0无倒数，倒数等于它本身的数是±1.
知2－讲
2. 倒数与相反数之间的关系
不同点 相同点
定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 a(a ≠ 0)的倒数是 若a ， b 互为倒数， 则a·b=1 若a·b=1， 则a，b 互为倒数 都成对
出现
相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 a 的相反数是－a 若a，b 互为相反数， 则a＋b=0 若a＋b=0， 则a，b 互为相反数
知2－练
[母题 教材P40练习T3]写出下列各数的倒数：
(1)－4；(2)－；(3)0.125；(4)1；(5)－1.
例 3
解题秘方：利用倒数的定义确定各数的倒数.
知2－练
解：(1)－4 的倒数是－ ；
(2)－ 的倒数是－ ；
(3)0.125 的倒数是8；
(4)1的倒数是；
(5)－1 的倒数是－1 .
先化成分数
先化成假分数
知2－练
方法点拨：求一个数的倒数的方法
类型 倒数
非零整数a 1 作分子，a 作分母：
分数(m ≠ 0，n ≠ 0) 分子、分母交换位置：
小数 转化为分数，按求分数倒数的方法进行
带分数 转化为假分数，按求分数倒数的方法进行
知2－练
3-1.下列各组数中，互为倒数的是( )
A. 2 与－｜－2｜
B. －(＋2)与｜－｜
C. －(－2)与－｜＋ ｜
D. － ｜－｜与＋(－2)
D
知3－讲
知识点
有理数乘法的运算律
3
运算律 文字表示 用字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 ab=ba
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc)
分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b＋c)=ab＋ac可逆向使用，即
ab+ac=a(b+c)
知3－讲
特别提醒
1. 交换乘数位置时，要连同乘数性质符号一起交换.
2.乘法交换律和结合律可以推广到多个数相乘.
3.分配律也可以推广到：a(b＋c＋…＋m)=ab ＋ ac ＋ … ＋ am ，应用时不要漏乘括号内的任何加数和弄错符号，并且可以逆用以简化运算.
知3－练
计算：(－3)× (－ )×(－ )×( －).
例 4
解题秘方：运用乘法交换律和结合律，分别将互为倒数和可约分的乘数相结合，以简化运算.
解：原式= [(－3 )×(－ )×[(－ )×(－ )=1×4 =4 .
知3－练
4-1. 计算：( －)×(－)×(－2)×(－).
知3－练
计算：25×0.125×(－4)×(－)×(－8)×1.
解题秘方：运用乘法交换律和结合律，将乘积为整数的乘数相结合，以简化运算.
解：原式= [ 25 ×(－ 4)] × [ 0.125 ×(－ 8)] × [(－)×]= －100 ×(－ 1)×(－ 1)= －100 .
例 5
知3－练
5-1. 计算：(－0. 25)×(－)×4×(－7).
知3－练
计算：(－36)×(－ ＋－ ).
例 6
解题秘方：形如k(a＋b＋c)的算式，若a，b，c 是分数，k 可以和a，b，c 的分母约分得到整数时，用分配律计算可以简化运算.
知3－练
解：(－36) ×(－ ＋－ )
=(－36)× (－＋(－36)×＋(－ 36)×(－)
= 16－ 30 ＋ 21= 7 .
知3－练
6-1.[ 期中·烟台牟平区]用简便方法计算：
(1)－6×＋4×－5×；
(2)(－99)×18.
知4－讲
知识点
有理数乘法法则的推广
4
1. 几个不为0 的数相乘的法则
几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数. 确定积的符号后，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值.




知4－讲
2. 有乘数为0 的几个数相乘的法则
几个数相乘，如果其中有乘数为0 ，那么积为0 . 同样，若积为0，则至少有一个乘数为0 .


知4－讲
特别解读
知4－练
计算：
(1)(－)×(－1)×(－1)×5；
(2)(－2)×(－1)×0.732×0.
解题秘方：利用多个有理数相乘的法则，先确定积的符号，再计算绝对值的乘积.
例 7
知4－练
解：(1)(－)×( －1)×( －1)×5
=－( ×××5)
=－ 6；
当遇到带分数时，要化为假分数，以便于约分.分数与小数相乘时，一般统一成分数计算
知4－练
(2) (－2)×(－1)×0 .732×0 =0 .
有因数0
积是0
知4－练
7-1.计算：
(1)(－2)×(－15)×(－18)；
(2)×(－)×(－)；
解：原式＝－2×15×18＝－540；
知4－练
(3)×(－1.2)×2×(－)；
(4)－0.01××(－15)×0×(－2 026).
原式＝0.
有理数的乘法
两个有理数相乘
法则
乘法运算律
多个有理数相乘
符号
绝对值
互为倒数
积为1
推广

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