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专题04 三角形中的特殊模型之8字模型、A字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型1.“8”字模型 1
模型2.“A”字模型 6
模型3.三角板拼接模型 8
13
模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．

例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用：
(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；
(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；
(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；
(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．
模型2.“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ．
例3．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　．
模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：
例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．

例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）

例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，．
(1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可）
1．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，的度数为（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．360° C．180° D．无法确定
3．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图所示，则的度数是 ．
5．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图， °．
6．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．

7．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝
8．（2023春·江苏徐州·七年级期末）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．

9．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
10．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E，，则 °．
11．（2024·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于 度．

12．（2023·江苏·七年级统考期末）如图，，点E、F在上．若，则 ．

13．（2023·江苏七年级期中）如图，、的平分线交于，；、的平分线交于，；如此下去，、的平分线的交角为；…若，，则为 度．
14．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为 ．

15．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则；
(2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由；
(3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒
16．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．

(1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　．
(2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数．
17．（2024·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
18．（2024·湖北武汉·七年级校联考期中）（1）【问题情境】已知如图1：，求证：．
证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行）
（请按照上述思路继续完成证明过程）
图1 图2 图3
（2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）．
（3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数．
模型1.“8”字模型
“8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．

【答案】
【详解】连结，如图，设与交于点，

∵，，
又∵，∴，
∴
．
例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用：
(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；
(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；
(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．
【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)理由见解析
【详解】（1）解：，
∴， ∵，．
（2）解：图中有个“字”分别是：、、、、．
（3）解：平分平分，，
，．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【详解】（1）解：，理由如下：
，，，即；
（2）证明：平分，，
在和中，，，；
（3）证明：在上取一点，使，连接交于点，
是的角平分线，，
在和中，，，，同理可证，
，，，即，
，．
例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；
(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；
(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）在中，，在中，，
∵，∴故答案为：
（2）设，，
∵，分别平分，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：
（3）由（2）可知：，
∵，∴，∴，∴，
（4）如图4，延长、交于点，设，，
∴，，∴，∴，
∴，∴，
∴，，，
∴故答案为：
模型2.“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。
条件：如图，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，
∵，∴，故选：A．
例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ．
【答案】235°/235度
【详解】解：∵，∴，
∴，故答案为：．
例3．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　．
【答案】(1)D(2)240(3)(4)
【详解】（1）解：，，
，故选：D．
（2）解：，，
，故答案为：240．
（3）解：，，
，故答案为：．
（4）解：连接，，，
，
，，故答案为：．
模型3.三角板拼接模型
由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。
常见角度拼接（证明特别简单，故略过）：
例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．

【答案】
【分析】根据三角形外角性质得出，，再根据三角形的内角和定理和解答即可．
【详解】解：如图可知：，，
，，
，
故答案为：．

【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．
例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，∵，∴．故选：D
例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）

【答案】①③④
【分析】①由即可判断；②过点C作，即可判断；③分别讨论当直线与线段相交、直线与线段的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断．
【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上∴
∵∴故①正确；②如图1：过点C作

当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大∴的度数在逐渐减小
当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大故②错误；
③当直线与线段交于点M，如图2：
∵
∴∴
当直线与线段的延长线交于点M，如图3：
∵
∴∴
故若直线与直线交于点M，则为定值故③正确；
④当点E在线段上时，且，则；
当点E在线段上时，且，则；
当时，则；∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个故④正确；故答案为：①③④
【点睛】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点．掌握相关数学结论是解题关键．
例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，．
(1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可）
【答案】(1)(2)；(3)或．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，∴，即；故答案为：；
（2）解：由（1）得，∴，∴，
∵，∴；
（3）解：如图，设与的交点为，
∵，∴，∴，∴；
如图，设与的交点为，∵，∴，
∴；综上，的度数为或．故答案为：或．
1．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，∵，，

∴，故选：A．
2．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．360° C．180° D．无法确定
【答案】C
【详解】如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故选：C．
3．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在中，，∴，
∵，∴故选：A．
4．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图所示，则的度数是 ．
【答案】/360度
【分析】如图所示，与交于点，连接，根据三角形的外角和的性质可得，，由此可将转化为求四边形的内角和，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，与交于点，连接，
∴在中，，
在中，，∴，
∵，，
∴，
∵四边形的内角和为，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的外角和的性质，四边形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图， °．
【答案】180
【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不难证明结论．
【详解】解：如图，
∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案为：180．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
6．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．

【答案】45°或135°或165°
【分析】旋转三角形，使其三边分别与形成平行状态，根据平行线的判定定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当时， ，理由如下，如图所示：

∵，，∴．又∵，∴；
当时，，理由如下，如图所示：

∵，∴，
∵，∴，∴；
当时，．理由如下：延长AC交BE于F，如图所示：
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
综上，三角形有一条边与平行的所有∠ACE的度数的为：45°或135°或165°
故答案为：45°或135°或165°．
【点睛】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝
【答案】15°或165°
【分析】由平行内错角相等得：∠AEC=∠B=45°，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得α=15°．
【详解】解：设∠BAD=α，∵CDOB，∴∠AEC=∠B=45°，
∵∠D=30°，∴α=∠BAD=45°-30°=15°，∴当α=15°时，CDOB，∴∠BAD=15°，
当CD在点A的上方时，DC边与OB边平行时，∴∠CEA=∠B=45°，
∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°，∴α=∠BAD=180°-15°=165°，
∠BAD=135°+30°=165°，故答案为：15°或165°．
8．（2023春·江苏徐州·七年级期末）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．

【答案】
【详解】解：三角形的内角和等于，，，.
，.故答案为：.

9．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ．
【答案】 270°/270度 220°/220度 180°+∠A
【详解】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案为：270°；
（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A　=180°+40°=220°，故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；
证明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案为：180°+∠A．
10．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E，，则 °．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵是的外角的平分线，∴，
∴，故答案为：．
11．（2024·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于 度．

【答案】
【详解】解：如图所示， ∵，∴，

∵分别是的外角，∴.
∴．故答案为：
12．（2023·江苏·七年级统考期末）如图，，点E、F在上．若，则 ．

【答案】110
【详解】解：，，

，是的一个外角，，，
，．故答案为：110．
13．（2023·江苏七年级期中）如图，、的平分线交于，；、的平分线交于，；如此下去，、的平分线的交角为；…若，，则为 度．
【答案】
【详解】解：令相交于点M，相交于点P，
∵、的平分线交于，∴，，
设，∴，，
得： ，整理得：，
同理可得：，，
，故答案为：．
14．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为 ．

【答案】/70度
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，，，，，
，，故答案为：．
15．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
(1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则；
(2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由；
(3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：∵与是对顶三角形，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∵ ∴；
（2）解：如图，，，∴，
∵、分别是、的平分线，∴，.
∴，∴；
（3）解：∵，∴，
∵、是的角平分线，且是和的角平分线，
∴，，
∵，∴.
16．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．

(1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　．
(2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）∵是的外角，∴，
∴；故答案为：；
（2）连接，如图，

由（1）的结论可得：，，
∵，∴，
即，∴．
17．（2024·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】(1)260°(2)160°(3)(4)
【详解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∴，故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，
∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案为：160°；
（3）解：连接．如图所示：
∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，
∵，∴，∴，∴．
（4）解：如图，设AB与交于点F，
∵，，由折叠可得，，∴，
又∵，，∴，∴．
18．（2024·湖北武汉·七年级校联考期中）（1）【问题情境】已知如图1：，求证：．
证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行）
（请按照上述思路继续完成证明过程）
图1 图2 图3
（2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）．
（3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）20°
【详解】（1）证明：过点作，
∵，∴，，
∵，∴；
（2）设，，故，，过点作.
∵，∴，
∴，，，∴，
∵，，∴，∴，∴；
（3）设，．∵平分，平分，
∴，，
∵，∴，，
∵，∴，即，
∵，∴，∴．

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