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专题02 勾股定理（考点清单，5考点梳理+6题型解读）
清单01 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
清单02 互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
清单03 勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点归纳：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．
2．直角三角形斜边上的高
①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．
要点归纳：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形
清单04 勾股定理的逆定理
1．勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．
要点归纳：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足时，是斜边，是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
要点归纳：
要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点归纳：
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【考点题型一】勾股定理的相关计算（）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵，
∴是一组勾股数，该选项符合题意；
故选：．
【例1-2】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】在侧面展开图中，
的长等于底面圆周长的一半，即，
∵
根据勾股定理得：，
∴从点A爬到点B的最短路径长，
故选：B．
【例1-3】（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解．
【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图，
则，，
又∵小正方形的面积为，
∴可解得或（舍去），
∴，
∴大正方形的面积．
故选：C．
【例1-4】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
【例1-5】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，若，．
(1)求的长；
(2)过点D作，垂足为E，求的长．
【答案】(1)8
(2)3
【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质：
（1）勾股定理进行求解即可；
（2）根据角平分线的性质结合等积法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）∵的平分线交于点D，，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
【变式1-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得，
，，，
，
，即，解得，
的值是，
故选：B．
【变式1-2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，
即：，，，
根据题意可得：，即，
故选A．
【变式1-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：8 ．
【变式1-4】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是 ，这个实数的小数部分为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案，解题时注意点A在数轴的负半轴上．
【详解】解：根据题意得：半径为，
∴，
∴点A表示的实数是；
这个实数的小数部分为．
故答案为：；
【变式1-5】（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出最大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰直角三角形的腰长为，即中等正方形的边长为，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为，即最小正方形的边长为，计算即可得到答案．
【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为，
，
，
所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为，
，
，
中等正方形的边长为，
同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为，
图③中所有正方形的面积和为，
故答案为：．
【变式1-6】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况，①当5为斜边，②5不是斜边时，分别根据勾股定理求出第三边边长即可．
【详解】解：分两种情况：
①当5为斜边时，第三边边长为；
②当5不是斜边时，第三边边长为；
综上所述，第三边边长是或，
故答案为：或．
【变式1-7】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴．
故答案为：．
【变式1-8】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）作图题．
(1)如图1，在的方格纸中，线段的两个端分别落在格点上，请只用直尺在图1中画一条与线段相交的线段，要求P、Q两点在格点上，同时满足且．
(2)已知如图2所示，直线与线段，点B在L上，点A在外，请用直尺和圆规在直线L上找出满足条件的所有点C（共4个，可表示为、），使得为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理、尺规作图—作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据网格特点结合勾股定理作图即可得解；
（2）以点为圆心，线段为半径画弧交直线于、，则、为等腰三角形；以点为圆心，线段为半径画弧交直线于，则为等腰三角形；作线段的垂直平分线交直线于，则为等腰三角形．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
，
由勾股定理可得：，
由网格特点可得：；
（2）解：如图，、即为所求
．
【变式1-9】（23-24八年级下·吉林白城·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D）
【答案】(1)
(2)秋千绳的长为
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，关键是正确理解题意，表示出，的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】（1）在中，
，
，
点表示的数是；
（2）设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长为．
【考点题型二】勾股定理的证明方法（）
【例2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)3
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：由已知可得：，即，
，
小正方形的边长为．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”、“无字证明”可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，体现了数形结合的思想方法，展现了数学美，下面图形验证的内容是（ ）
A．乘法公式 B．勾股定理
C．直角三角形中边和角的关系 D．中位线定理
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的图形验证．利用正方形面积公式和梯形面积公式用两种不同方式表示图形的面积即可解决问题．
【详解】解：图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
即：，
五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
即：，
∴
即，
∴能利用面积验证勾股定理；
故选：B．
【变式2-2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留）
【答案】(1)见解析
(2)从点A爬到点B的最短路径是厘米
【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案；
（2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明和求最短路径；
【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积，
∴
∴
∴
（2）画出圆柱侧面展开图：
根据底面半径为，得出
∵圆柱的高为，
∴
∴从点A爬到点B的最短路径是厘米
【变式2-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明．
定理表述
（1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言）
尝试证明
（2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理．
拓展延伸
（3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明，请将证明步骤补充完整．
∵，______，
在直角梯形中，______（填“＜”或“＞”或“＝”），即______，，
∴
【答案】（1）解答见解析部分；（2）证明见解析部分；（3）
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）证明，推出是直角三角形．再结合，可得结论；
（3）根据，构建不等式，解决问题即可．
【详解】（1）解：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方，如果直角边为，斜边为，那么．
（2）证明：在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
∵，
∴，
即，
整理得．
（3）解：∵，
，
，
又∵在直角梯形中有，即，
，
故答案为：．
【变式2-4】（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1)．理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，
（1）根据证明，可得答案；
（2）根据，可得答案．
【详解】（1）解：．
理由如下：
如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，
．
，．
又，
；
（2）证明：，
，
，
．
【变式2-5】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值.
【详解】（1）解：，
另一方面，
即，
；
（2）解：由题意可得， 均为直角三角形，
由勾股定理可得， ①，②，③，④
可得；
可得；
即：，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【变式2-6】（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题：
(1)填空：　　　，　　　；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【答案】(1)，
(2)，，证明见解析
【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明
（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可；
（2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可；
熟知数形结合思想的运用是关键
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
，
，
故答案为：90，；
（2）方法一∶
方法二：
根据上面的方法可得出
【考点题型三】勾股定理的应用（）
【例3-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ．
【答案】
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，先根据勾股定理求出的长，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：
设
解得：
故答案为：．
【例3-2】（23-24八年级下·河南安阳·期末）学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ．
【答案】12
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，可得，，由勾股定理得，即可求解；能将问题转化为勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：设旗杆的高度为，
如图，

，
，
，
，
解得：，
，
旗杆的高度为，
故答案：．
【例3-3】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
【例3-4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
【答案】大树的高度为米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到，再由即为树高，进而得到答案.
【详解】解：由题可得：，，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴米.
答：大树的高度为米.
【例3-5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为尺，
根据题意，得，
故答案为：A．
【例3-6】（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离．
【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：由题意，得：
，，（海里），（海里），
∴
，
在中，由勾股定理得：，
∴（海里），
答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里．
【例3-7】（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）．
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意可知米，
设，则，
中，由勾股定理得，
即，
解得．
∴该河的宽度为24米．
故选：D．
【例3-8】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处．
(1)求B、C间的距离；
(2)这辆汽车超速了吗 请说明理由．
【答案】(1)B、C间的距离为
(2)这辆汽车未超速，理由见解析
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
（2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
∴这辆小汽车没有超速．
【例3-9】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)8小时
(2)5小时
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度．
（1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算；
（2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）在中，根据勾股定理，
得，
∴（小时），
则台风中心经过8小时从B移动到D点；
（2）如图，设
∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵，
∴（小时），
答：游人在5小时内撤离才可脱离危险．
【例3-10】（23-24八年级下·全国·期末）如图，棱长为的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则蜘蛛所走的最短路程是多少？
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内根据两点之间，线段最短，再根据勾股定理即可得出最短的路径．
【详解】解：如图所示：即为最短路线，
则在中，
故蜘蛛所走的最短路程是．
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（ ）m ．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求．
【详解】解：如图，
已知，
设，
则，
则在中，，
在中，，
联立方程组解得：，
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）在一棵树的米高的处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树米的池塘的处．另一只爬到树顶后直接跃到处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？

【答案】这棵树高米．
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由题意知，，，设，则，，再由勾股定理即可求解，理解题意，构造直角三角形是解题关键．
【详解】由题意知，，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
答：这棵树高米．
【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．

【答案】10
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，
过作于E，则，
在直角三角形中，．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【变式3-4】（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）
【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度．
【答案】折断后竹子的高度是尺
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程．
已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案．
【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺．
由勾股定理得：，
解得：，
答：折断后竹子的高度是尺．
【变式3-5】（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，已知钓鱼杆的长为5米，露在水面上的鱼线长为3米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为4米，则的长为 米．

【答案】1
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求出和，再根据即可得出答案，根据勾股定理求出和是解题的关键．
【详解】在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式3-6】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
【答案】
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：在中：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：船向岸边移动了米．
【变式3-7】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：）
(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米
(2)小华先到达C地
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)、与方向角有关的计算题、根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键．
（1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果；
（2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地．
【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E；
由题意得：；
在中，则，
，
由勾股定理得：，
米；
则米；
在中，，
则米，由勾股定理得：米，
(米)；
（2）解：由（1）的计算知，米，
米；
由题意得分别在东南方向、西南方向，则，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
米，
米；
，
，即小华的路程更小，
又∵两人速度相同，
所以小华先到达C地．
【变式3-8】（22-23八年级下·广东汕头·期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)没有超速．
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】（1）解：在中，，；
据勾股定理可得：
=
（2）解：小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
【变式3-9】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁 若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米
(2)需要封锁的公路长为400米
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可；
（2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，且，
如图1，过点C作于点D，
（米）
答：山地C距离公路的垂直距离为米．
（2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则米，，
由（1）可知，米，
∵480米米，
∴有危险需要暂时封锁，
在中，由勾股定理得：
（米）
∴（米），
即需要封锁的公路长为400米．
【变式3-10】（23-24八年级下·全国·期末）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ．
【答案】6
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查利用勾股定理最短路径问题，得出点P移动的最短距离是是解答的关键．
根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为，
根据题意，，，
∴，
∴圆柱的底面周长为．
故答案为：6．
【考点题型四】直角三角形的判断（）
【例4】（24-25八年级上·广东深圳·期末）若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“”判定三角形是否为直角三角形．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符题意；
C、设，则，能构成直角三角形，不符题意；
D、，能构成直角三角形，不符题意；
故选：A．
【变式4-1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【变式4-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据即可推出即可判断B；利用三角形内角和等于180度，即可求出，即可判断C．
【详解】解：A、∵在中，、、的对边分别为、、，
∴当，，时，，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴即，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此时不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．
【详解】解：如图所示，即为所求，
∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4，
故答案为：4．
【变式4-4】（24-25八年级上·河南郑州·期末）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【答案】(1)是直角三角形，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状．
【答案】图见解析，直角三角形
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，反过来也成立．根据勾股定理作出边长为，和5的三角形，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】如图所示，
，，，
，，
，
∴为直角三角形．
【考点题型五】利用勾股定理的逆定理求解（）
【例5】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形中．， ，
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理得：，由，可得，即是直角三角形，，由， ，可得，根据，计算求解即可；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由题意知，，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积，
故选：A．
【变式5-2】（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D．
【变式5-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形中，，，，，
(1)求的长．
(2)请问是直角三角形吗？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）首先在中，利用勾股定理求出的长；
（2）结合（1）的结论，再根据勾股定理逆定理在中，证明是直角三角形．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】（1）解：在中，
，
；
（2）解：是直角三角形，
理由：由（1）得出
在中，，，
，
∴是直角三角形．
【变式5-4】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动；点Q从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果同时出发，当运动到时，P，Q之间的距离为多少？

【答案】当运动到时，P，Q之间的距离为．
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形．
设为，为，为，根据的周长为，列出方程求出x的值，证明出是直角三角形，经过3秒时，，，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设为，为，为，
∵的周长为，
∴，
即，
解得：，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，且．
经过3秒时，，，
又∵在中，，
∴．
∴当运动到时，P，Q之间的距离为．
【变式5-5】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数．
【答案】
【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵， ，
∴ 为等边三角形，
∴，，
又∵， ，，
∴， ， ，
∴
∴为直角三角形，
∴ ，
∴．
【变式5-6】（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】已知，在中，，，．
(1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积；
(2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法．
【答案】(1)
(2)有，见解析
【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
（2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以求面积．
【详解】（1）解：，，，
，
，
即的面积为；
（2），，，
，，，
，
，
．
【考点题型六】勾股定理逆定理的实际应用（）
【例6】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且．
(1)判断是什么三角形？并说明理由；
(2)求修通的公路的长．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析；
(2)修通的公路的长是．
【分析】（）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形；
（）利用的面积公式可得，从而求出的长；
本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
【详解】（1）解：直角三角形，理由，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（）得：是直角三角形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴修通的公路的长是．
【变式6-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行．
【答案】南偏西
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得：（海里），（海里），，海里，
∴，
∴，
∴，
∴乙船沿南偏西方向航行．
故答案为：南偏西．
【变式6-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）．
【答案】垂直
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为，
∴，
∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边，
∴电线杆与地面垂直，
故答案为：垂直．
【变式6-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）某森林公园内从A地到B地有三条道路可以选择．从A经C到B是柏油公路，其中长3公里，的长是4公里；从A经过D到B是5公里的木制栈道和2公里的柏油公路；从A直接到B是石子路．若点C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证；
(2)求石子路的长．
【答案】(1)见解析
(2)石子路的长为公里
【分析】本题考查勾股定理逆定理和勾股定理的应用：
（1）利用勾股定理逆定理，即可得证；
（2）利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得；
是直角三角形，且
（2）解：，
在中，由勾股定理得，（公里）
答：石子路的长为公里．
【变式6-4】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？
【答案】2520元
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，先利用勾股定理求出的长，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据求出四边形的面积，即可解题．
【详解】解：连接，
在中，，根据勾股定理，得．
，，
．
，，
．
，
．
为直角三角形．
，
．
．
答：铺这块空地需要投入资金2520元．
【变式6-5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿方向和方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？
【答案】乙船航向为南偏东．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角的应用．连接，利用勾股定理的逆定理证明，据此求解即可．
【详解】解：连接，
由题意可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即乙船航向为南偏东．
【变式6-6】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】符合标准，见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理得：，由，可得，则是直角三角形，，即，然后作答即可．
【详解】解：符合标准
在中，，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∴该车符合标准．
【变式6-7】（23-24八年级下·吉林·期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．
(1)求小溪流的长；
(2)求四边形的面积（结果保留根号）．
【答案】(1)千米
(2)平方千米
【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
（1）根据勾股定理已知直角边求斜边即可；
（2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，千米，
∴（千米）；
（2）解：∵（千米），千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．
【变式6-8】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求的度数；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)
(2)8.45千米
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案；
（2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）由（1）可知，，即，
设，则，
在中，可有，
即，解得，
∴千米，
即原来的路线的长为8.45千米．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 勾股定理（考点清单，5考点梳理+6题型解读）
清单01 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
清单02 互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
清单03 勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点归纳：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是．
2．直角三角形斜边上的高
①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
②根据直角三角形的面积不变，即，求出h．
要点归纳：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
3.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形
清单04 勾股定理的逆定理
1．勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形．
要点归纳：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足时，是斜边，是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
要点归纳：
要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点归纳：
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【考点题型一】勾股定理的相关计算（）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
【例1-4】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【例1-5】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，若，．
(1)求的长；
(2)过点D作，垂足为E，求的长．
【变式1-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式1-2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为，，则边长的值为 ．
【变式1-4】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是 ，这个实数的小数部分为 ．
【变式1-5】（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ．
【变式1-6】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为 ．
【变式1-7】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ．
【变式1-8】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）作图题．
(1)如图1，在的方格纸中，线段的两个端分别落在格点上，请只用直尺在图1中画一条与线段相交的线段，要求P、Q两点在格点上，同时满足且．
(2)已知如图2所示，直线与线段，点B在L上，点A在外，请用直尺和圆规在直线L上找出满足条件的所有点C（共4个，可表示为、），使得为等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1-9】（23-24八年级下·吉林白城·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D）
【考点题型二】勾股定理的证明方法（）
【例2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长．
【变式2-1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”、“无字证明”可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，体现了数形结合的思想方法，展现了数学美，下面图形验证的内容是（ ）
A．乘法公式 B．勾股定理
C．直角三角形中边和角的关系 D．中位线定理
【变式2-2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留）
【变式2-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明．
定理表述
（1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言）
尝试证明
（2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，验证勾股定理．
拓展延伸
（3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明，请将证明步骤补充完整．
∵，______，
在直角梯形中，______（填“＜”或“＞”或“＝”），即______，，
∴
【变式2-4】（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，为上一点，，，，，交于点，且．
(1)判断线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【变式2-5】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
【变式2-6】（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题：
(1)填空：　　　，　　　；
(2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【考点题型三】勾股定理的应用（）
【例3-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离与梯子底端B向外移的距离相等时，的长是 ．
【例3-2】（23-24八年级下·河南安阳·期末）学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ．
【例3-3】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
【例3-5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-6】（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离．
【例3-7】（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）．
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【例3-8】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处．
(1)求B、C间的距离；
(2)这辆汽车超速了吗 请说明理由．
【例3-9】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【例3-10】（23-24八年级下·全国·期末）如图，棱长为的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则蜘蛛所走的最短路程是多少？
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（ ）m ．
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）在一棵树的米高的处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树米的池塘的处．另一只爬到树顶后直接跃到处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？

【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．

【变式3-4】（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）
【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度．
【变式3-5】（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，已知钓鱼杆的长为5米，露在水面上的鱼线长为3米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为4米，则的长为 米．

【变式3-6】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉紧的绳子的长为，此人把绳子收紧后船移动到点 D 的位置(即绳子的长为9米)，问船向岸边移动了多少米 (结果保留根号)
【变式3-7】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：）
(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【变式3-8】（22-23八年级下·广东汕头·期末）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【变式3-9】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁 若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【变式3-10】（23-24八年级下·全国·期末）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ．
【考点题型四】直角三角形的判断（）
【例4】（24-25八年级上·广东深圳·期末）若是三角形的三边长，则满足下列条件的不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，
C． D．，，
【变式4-1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【变式4-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ．
【变式4-4】（24-25八年级上·河南郑州·期末）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状．
【考点题型五】利用勾股定理的逆定理求解（）
【例5】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形中．， ，
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【变式5-1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形中，，，，，
(1)求的长．
(2)请问是直角三角形吗？请说明你的理由．
【变式5-4】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动；点Q从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果同时出发，当运动到时，P，Q之间的距离为多少？

【变式5-5】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数．
【变式5-6】（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】已知，在中，，，．
(1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积；
(2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法．
【考点题型六】勾股定理逆定理的实际应用（）
【例6】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且．
(1)判断是什么三角形？并说明理由；
(2)求修通的公路的长．
【变式6-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行．
【变式6-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）．
【变式6-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）某森林公园内从A地到B地有三条道路可以选择．从A经C到B是柏油公路，其中长3公里，的长是4公里；从A经过D到B是5公里的木制栈道和2公里的柏油公路；从A直接到B是石子路．若点C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证；
(2)求石子路的长．
【变式6-4】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？
【变式6-5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿方向和方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？
【变式6-6】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【变式6-7】（23-24八年级下·吉林·期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．
(1)求小溪流的长；
(2)求四边形的面积（结果保留根号）．
【变式6-8】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求的度数；
(2)求原来的路线的长．
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