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专题05 数据的分析（考点清单，4考点梳理+4题型解读）
清单01 平均数
1.算术平均数：
一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做(读作x拔)
2.加权平均数：
（1）一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则
叫做这n个数的加权平均数.
(1)算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；
(2)在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.
（2）在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n)，那么n这个数的平均数
也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权.
清单02 中位数
1.中位数的确定：
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列：
①如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；
②如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
2.中位数的特征及意义：
①中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的可能出现在数据中也可能不出现在数据中.
②如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
③如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平．
清单03 众数
1.众数：
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数.
当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好反映其集中趋势.
2.众数的特征：
①一组数据的众数一定出现在这组数据中.
②一组数据的众数可能不止一个.如1，1，2，3，3，5中众数是1和3.
③众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是
清单04 方差
方差：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
s2=
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小.反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
【考点题型一】平均数、中位数、众数（）
【例1-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知一组数据，，，，的唯一众数是1，中位数是3，则这组数据的平均数为（ ）
A．3 B．3.6 C．4 D．5.2
【答案】B
【知识点】求一组数据的平均数、 利用中位数求未知数据的值、 利用众数求未知数据的值
【分析】本题考查了众数、算术平均数和中位数的知识．根据众数、算术平均数和中位数的概念求解．
【详解】解：∵一组正整数，，，，有唯一众数1，中位数是3，
∴这组数据从小到大排列为：1，1，3，5，8，
∴这一组数据的平均数为，
故选：B．
【例1-2】（24-25八年级上·陕西·期末）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 （填“平均数”“中位数”或“众数”）．
【答案】中位数
【知识点】运用中位数做决策
【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的意义是解题的关键．
根据题意可知第8名的数据即为中位数，据此可解．
【详解】解：由题意可得：一名学生想要知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数，
故答案为：中位数．
【例1-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）综合与实践
【项目背景】
苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄苹果园．在苹果收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 乙园样本中A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）．
①两园样本数据的众数均在C组；
②两园样本数据的中位数均在C组；
任务4 结合市场情况，将C，D两组的苹果认定为一级，B组的苹果认定为二级，其它组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的苹果品质更优，并从一个角度说明一条理由即可．
【答案】任务1:40；任务2：6；任务3：②；任务4：乙园的苹果品质更优，理由见详解
【知识点】求众数、求中位数、求一组数据的平均数、频数分布直方图
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数、中位数、众数，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
任务1用200分别减去其它各组的频数可得a的值；
任务2根据加权平均数公式计算即可；
任务3分别根据中位数、众数的定义解答即可；
任务4根据统计图数据判断即可．
【详解】解：任务1：由题意得，；
任务2：，
∴乙园样本数据的平均数为6；
任务3：由统计图可知，甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故①结论错误；
两园样本数据的中位数均在C组，故②正确；
故答案为：②；
任务4：乙园的苹果品质更优，
理由：由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级苹果所占比例大于甲园，
∴可以认为乙园的苹果品质更优．
【例1-4】（23-24八年级下·云南德宏·期末）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“中国梦 航天情”系列活动．下面是八年级甲，乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
参赛班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作
甲 85 91 88
乙 90 84 87
(1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？
(2)如果学校按照知识竞赛占，演讲比赛占，版面创作占，确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁的最后成绩更好？
【答案】(1)甲班成绩更好，见解析
(2)乙班成绩更好，见解析
【知识点】求加权平均数、求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了代数平均数和加权平均数的计算，熟练掌握平均数的计算公式，是解题的关键．
（1）根据代数平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可；
（2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙的平均成绩，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：甲、乙两班的平均成绩分别是：
（分），
（分），
∵
∴甲班成绩更好；
（2）解：甲、乙两班的最后成绩分别是：
（分），
（分），
∵
∴乙班成绩更好．
【例1-5】（23-24八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠．同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：（记，）
种类 1 2 3 4 5 6 7 8
1.218 1.217 1.208 1.212 1.214 1.212 1.211 1.215
1.174 1.171 1.172 1.175 1.168 1.167 1.167 1.166
【实践探究】分析数据如下：
种类 平均数 中位数 众数
1.213 m 1.212
1.170 1.170 n
【问题解决】
（1）上述表格中，______，______．
（2）现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由．
（3）小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%．”这位同学的说法是否合理？请说明理由．
【答案】（1），；（2）这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成，理由见解析；（3）小明同学说法合理，理由见解析
【知识点】运用众数做决策、求众数、运用中位数做决策、求中位数
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
（1）根据众数和中位数的定义求解；
（2）根据计算烧制前与烧制后的高度比解答即可；
（3）根据平均数，中位数，众数解答即可．
【详解】（1）解：在中这8个数据中，1.167出现了2次，出现的次数最多，即这组数据的众数是；
中将这8个数据按从小到大的顺序排列，其中第4个数是1.212，第5个数是1.214，
∴这组数据的中位数是．
故答案为：1.213，1.167；
（2）这种瓷器由紫沙瓷土烧制而成．
理由：因为．而1.175更接近紫沙瓷土烧制前与紫沙瓷土烧制后的高度比，所以这种瓷器更可能由紫沙瓷土烧制而成．
（3）小明同学说法合理．
理由：若瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为至，则瓷坯烧制前与烧制后的高度比就约为至，而，
所以此时瓷坏烧制前与烧制后的高度比约为1.205至1.220，
故从白瓷瓷土烧制前与白瓷瓷土烧制后的高度比的平均数，中位数，众数来看，刚好均与之相近，所以小明同学的说法合理．
【例1-6】（24-25八年级上·山东烟台·期末）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时．其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
(1)根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 18 2.4 5
路线二 15.6 11 18.04
(2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．
【知识点】求众数、运用中位数做决策、求中位数、求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，极差的求法和应用，正确利用折线图获取正确信息是解题关键．
（1）直接利用折线图数据结合平均数，中位数，众数，极差求法得出答案；
（2）比较平均数，众数，中位数，分别分析得出最佳路线．
【详解】（1）解：路线一：15，16，17，18，18，18，19，19，20，20，
平均数：，众数为18；
路线二：11，11，11，12，14，16，17，21，21，22，
中位数：，极差：；
故补全表格为：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 18 18 18 2.4 5
路线二 15.6 15 11 18.04 11
（2）解：路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，则选路线二．
【例1-7】（23-24八年级下·浙江温州·期末）学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）．
语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力
甲 86 77 77
乙 76 87 74
丙 80 78 85
(1)计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序；
(2)学校认为：①单项最低分不能低于75分；②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算其成绩，请问谁能成功应聘？
【答案】(1)三名应聘者的排名顺序为丙，甲，乙
(2)甲应聘成功
【知识点】利用平均数做决策、求加权平均数
【分析】本题主要考查了加权平均数的求法及应用等知识点，
（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
（2）利用加权平均数公式求解，即可判断；
熟练掌握加权平均数公式是是解决此题的关键．
【详解】（1），
三名应聘者的排名顺序为丙，甲，乙；
（2）由题意得：乙不符合条件①，
，
，
，
甲应聘成功．
【变式1-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知下列一组数据，，，，，，若中位数是，则平均数和众数分别是（ ）
A．20，20 B．20，21 C．21，20 D．21，21
【答案】A
【知识点】求众数、 利用中位数求未知数据的值、求一组数据的平均数
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数等知识点，熟练掌握中位数、平均数、众数的定义是解题的关键．
先把数据从小到大排列，处在中间的数据即为中位数，根据中位数的定义求得的值，然后再求平均数和众数即可．
【详解】解：∵，，，，，的中位数是，
又，
∴，
∴平均数为：，众数为：，
故选：A．
【变式1-2】（24-25八年级下·全国·期末）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，他的笔试、微型课、教学反思的成绩分别为90分、92分、85分．若将这三项成绩按照如图所示的权重来计算综合成绩，则李老师的综合成绩为（ ）
A．88分 B．90分 C．91分 D．92分
【答案】B
【知识点】求加权平均数
【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】解：（分）；
故选B．
【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（ ）
A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5
【答案】C
【知识点】 利用中位数求未知数据的值、 利用已知的平均数求相关数据的平均数
【分析】本题考查了平均数和中位数，将数据从小到大排列，分类计算出在不同位置时这组数据的平均数和中位数，再根据这组数据的平均数和中位数相同列出方程求解即得．解题关键是熟知平均数和中位数的公式，根据的位置分类讨论．
【详解】解：由题意可得：平均数为，
分四种情况如下：
①将这组数据从小到大的顺序排列为，，，，
∵这组数据处于中间位置的数是3，5，
∴中位数是，
∵平均数与中位数相同，
∴，
解得：，符合排列顺序；
②将这组数据从小到大的顺序排列为，，，，
∵这组数据处于中间位置的数是3，，
∴中位数是，
∵平均数与中位数相同，
∴，
解得：，符合排列顺序；
③将这组数据从小到大的顺序排列为，，，，
∵这组数据处于中间位置的数是，3，
∴中位数是，
∵平均数与中位数相同，
∴，
解得：，符合排列顺序；
④将这组数据从小到大的顺序排列为，1，，，
∵这组数据处于中间位置的数是1，3，
∴中位数是，
∵平均数与中位数相同，
∴，
解得：，符合排列顺序；
故的值是或3或7，
故选：C．
【变式1-4】（23-24八年级下·全国·期末）位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 ．
【答案】 平均数 众数
【知识点】利用合适的统计量做决策、运用众数做决策、运用中位数做决策、利用平均数做决策
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据平均数、中位数、众数的意义分析判断．
【详解】解：平均数体现平均水平；众数体现数据的最集中的一点，故鞋店老板最不喜欢的是平均数，最喜欢的是众数．
故填平均数；众数．
【变式1-5】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）有一组数据如下：，，，，，它们的平均数是，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知 平均数求未知数据的值
【分析】本题考查算术平均数，根据平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴．
故答案为：5．
【变式1-6】（23-24八年级下·全国·期末）在一次体育课上，体育老师对八年级（一）班的50名同学进行了立定跳远项目的测试，测试所得分数及相应的人数如图，则这50名学生测试的平均得分为 分．
【答案】
【知识点】求一组数据的平均数、频数分布直方图
【分析】本题主要考查了平均数的求法和对统计图的理解．熟记平均数的公式是解决本题的关键．
先从统计图中读出数据，然后根据平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：这50名学生测试的平均得分为=（分）．
故答案为．
【变式1-7】（23-24八年级下·福建福州·期末）在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布．
姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告
小玉 92 82 84
小榕 82 90
(1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准；
(2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数）
【答案】(1)86分，小玉符合“科技小达人”的标准
(2)小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准
【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值、求一组数据的平均数
【分析】本题考查求平均数和加权平均数：
（1）求出平均数，进行判断即可；
（2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：分；
∵，
∴小玉符合“科技小达人”的标准；
（2）设小榕在科技创新报告中需要获得分，由题意，得：
，
解得：，
故小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准；
答：小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准．
【变式1-8】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元
“花小猪” 6 6 a
“滴滴” b c 4
(1)直接填空： ， ；
(2)求b的值；
(3)若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由．
【答案】(1)6；
(2)；
(3)选“花小猪”，理由见解析
【知识点】求众数、求中位数、求加权平均数
【分析】本题考查了统计的有关知识．
（1）利用中位数、众数的定义分别计算即可求解；
（2）利用平均数的定义计算即可；
（3）根据平均数一样，中位数及众数的大小进行选择即可．
【详解】（1）解：从扇形统计图知，“花小猪”网约车司机的收入人数最多的是6千元，
则；
从条形统计图知，“滴滴”网约车司机的收入的中位是千元，
则；
故答案为：6；；
（2）解：“滴滴”网约车司机的收入的平均数为：
；
（3）解：选“花小猪”，因为平均数一样，中位数、众数“花小猪”大于“滴滴”．
【变式1-9】（23-24八年级下·河北保定·期末）某班老师要求每生每学期读本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如下不完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题：
(1)老师随机抽查了______名学生，阅读6册书的人数为_______人；
(2)已知册数的中位数是5，并且阅读7册的人数多于2人；
小明说：条形图中阅读5册的人数为5．
小亮说：条形图中阅读5册的人数为6．
①你认为小明和小亮谁说的对，请说明原因；
②求出阅读7册的人数；
(3)随后又进行了补查，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现中位数还是5，则最多又补查了_________人．
【答案】(1)20；6
(2)①小亮说的对；理由见解析 ②3人
(3)1
【知识点】 利用中位数求未知数据的值、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】此题考查了中位数、条形统计图、扇形统计图的知识．
（1）由“4册”人数及其所占百分比可得总人数，由条形统计图可得“6册”的人数；
（2）①综合条形统计图与扇形即可得到结论；②根据总人数是20可得阅读7册的人数；
（3）由4册和5册的人数和为11，中位数没有改变知总人数不能超过21，据此可得答案．
【详解】（1）解：老师随机抽查了（名学生，
阅读6册的人数为（人），
故答案为：20，6；
（2）解：①小亮说的正确，
理由：学生总数为20名，
册数的中位数是第10个数和第11个数的平均数，
册数的中位数是5，
∴阅读4册、5册的人数和11人，
条形图中阅读5册的人数为（人），
故小亮说的正确；
②阅读7册的人数为（人）．
（3）解：册和5册的人数和为11，中位数没有改变，
总人数不能超过21，即最多补查了1人，
故答案为：1．
【考点题型二】方差（）
【例2-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别是（　　）
A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量、 利用方差求未知数据的值
【分析】本题主要考查了方差，样本容量．根据方差公式，即可求解．
【详解】解：∵样本方差，
∴这个样本的平均数为19，，样本容量为25．
故选：D
【例2-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数和方差如下表所示．要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，根据表中数据，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
从甲、丁中选择一人参加竞赛，
甲的方差较小，
甲发挥稳定，
选择甲参加比赛．
故选：A．
【例2-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则 （填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定．
【答案】乙班
【知识点】根据方差判断稳定性
【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是理解方差大小与数据稳定性的关系．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小．根据方差的性质，比较甲，乙两班方差大小，进而判断哪个班成绩更稳定．
【详解】已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，因为，即，所以乙班的成绩更稳定．
故答案为：乙班．
【变式2-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）小睿在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的平均数和样本容量分别是（ ）．
A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5
【答案】D
【知识点】 利用方差求未知数据的值
【分析】此题主要考查了方差公式，一般地设n个数据，的平均数为，则方差．根据方差公式可直接得出答案．
【详解】解：根据题意可得该组样本的平均数为3，样本容量为5，
故选：D．
【变式2-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）某种数据方差的计算公式是， 则该组数据的总和为 ．
【答案】12
【知识点】求方差
【分析】根据方差的计算公式可知这组数据的个数为6，平均数为2，进而即可求出该组数据的总和．
本题考查方差及平均数的意义，一般地，设n个数据， 、、…的平均数为，则方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【详解】解：由某种数据方差的计算公式是，
可知这组数据的个数为6，平均数为2，
因此该组数据的总和为．
故答案为：12
【变式2-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如表是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息，解答下列问题．
考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试
第一单元 第二单元 第三单元 第四单元
成绩 88 92 90 86 90 95
(1)小明6次成绩的众数是_______分，中位数是________分；
(2)计算小明“平时成绩”的方差；
(3)按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩（注意：“平时成绩”用四次成绩的平均数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求加权平均数、求方差、求中位数、求众数
【分析】此题考查了方差，加权平均数 ， 中位数 ， 以及众数， 熟练掌握各自的求法是解本题的关键.
（1）找出小明次成绩中出现次数最多的分数即为众数，把次考试成绩按照从小到大排列，找出中间两个除以，即可得到中位数；
（2）求出小明平时次考试平均分，利用方差公式计算即可得到结果；
（3）用小明平时次考试的平均成绩，以及期中与期末考试成绩，各自乘权重，计算即可得到综合成绩.
【详解】（1）解：∵出现了次，其余分数只有次，
∴次成绩的众数为分；
排列如下： ，
，
∴次成绩的中位数为分；
故答案为： ；
（2）解：(分)，
；
（3）解：根据题意得：
(分)，
则小明本学期的综合成绩为分.
【变式2-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，对射击成绩进行整理，绘制如图所示的统计图：
对上述数据进行分析，得到如下统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲 6.5 a 2.2
乙 7 b 7
(1)填空：___________，___________；
(2)求甲运动员10次射击成绩的平均数；
(3)求乙运动员10次射击成绩的方差；
(4)根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价（写出两条即可）．
【答案】(1)6，7
(2)7环
(3)1.2
(4)见解析
【知识点】求方差、根据方差判断稳定性、求加权平均数、求众数
【分析】本题考查统计图，求众数，平均数，方差，利用平均数和方差作决策：
（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行判断即可；
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）利用方差的计算公式进行计算即可；
（4）从平均数和方差两方面进行分析即可．
【详解】（1）解：由扇形图可知，甲射击击中环数最多的是6环，由条形图可知，乙射击击中环数最多的是7环，
∴；
（2）
答：甲运动员10次射击击中环数的平均数为7环．
（3）
答：乙10次射击成绩的方差1.2．
（4）从平均数来看，两人平均数相同，射击水平相当；从方差看，甲射击成绩的方差大于乙射击成绩的方差，所以乙射击成绩比较稳定．
【变式2-5】（24-25八年级上·山东泰安·期末）2015年7月1日，全国人大常委会通过的《中华人民共和国国家安全法》第十四条规定，每年4月15日为全民国家安全教育日．2024年4月15日是第9个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某学校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动．测试完成后从八九年级中随机抽取部分学生成绩进行分组分析．学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，成绩如下统计图：
(1)小明认为抽取的八九年级学生共20人的成绩进行分析，小明的判断是否正确______（填“是”或“否”）．
(2)在九年级学生成绩统计图中，8分所在的扇形的圆心角为______度；
(3)请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均数 方差 众数 中位数 优秀率
八年级 7 1.8 ______ ______
九年级 ______ 1.36 ______ ______
(4)你认为哪组成绩较好？说明理由．
【答案】(1)否
(2)144
(3)7.2，7，8，7，7
(4)九年级的成绩较好，理由见解析
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、运用方差做决策、求扇形统计图的圆心角
【分析】（1）根据抽取九年级的人数不能确定，可得出答案；
（2）用360度乘以九年级成绩得分为8分的人数占的百分比即可得到答案；
（3）根据平均数的定义、众数的定义、中位数的定义求解；
（4）根据（1）的计算结果，比较平均数、众数、中位数，即可得出结论．
【详解】（1）解：抽取八年级的人数为：（人），
抽取九年级的人数不能确定，故小明的判断不正确，
故答案为：否；
（2）解： 8分所在的扇形的圆心角为，
故答案为：144；
（3）解：因为八年级得7分人数最多，所以众数是7，
把八年级的得分从低到高排列处在第5名和第6名的得分都是7分，所以中位数为7，
九年级的平均分是：（分，
因为九年级得分为8分的人数最多，所以九年级的众数为8分，
把九年级的得分从低到高排列，得分低于7分的占，得分高于7分即为8分的占，
九年级的中位数为7分，
填表如下：
平均数 方差 众数 中位数 优秀率
八年级 7 1.8 7 7
九年级 7.2 1.36 8 7
故答案为：7.2；7；8；7；
（4）解：九年级的成绩较好，理由如下：
九年级的平均数、众数都高于八年级，方差低于八年级，
九年级的成绩较好．
【点睛】本题考查长形统计图，扇形统计图，统计表，平均数，众数，中位数，方差．掌握平均数、众数、中位数的计算方法是解题的关键．
【考点题型三】由样本所占百分比估计总体的数量（）
【例3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校八年级、九年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：
八年级20名学生的测试成绩是：110，111，100，99，100，89，88，88，87，118，97，96，85，86，106，106，120，112，106，106；
九年级20名学生的测成绩在组中的数据是：104，106，107，108，106，109；
八年级、九年级抽取的学生测试成绩统计表如下：
学段 平均数 中位数 众数 方差
八年级 103 a 119.3
九年级 102 b 112 72.6
根据上述信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中、、的值；
(2)该校哪个年级学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3)该校八年级540名学生，九年级560名学生，估计两个年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
【答案】(1)；；
(2)九年级学生掌握防诈安全知识更好；理由见解析
(3)359名
【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义以及计算方法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数的定义可求出a、b的值，再根据各组百分比之和为，可求出m的值；
（2）根据中位数、众数的大小可得答案；
（3）求出样本中八年级、九年级优秀所占的百分比，进而估计总体中优秀所占的百分比，进而求出相应的人数．
【详解】（1）解：八年级20名学生的测试成绩出现次数最多的是106分，共出现4次，
因此众数是106分，即；
由扇形图可得九年级抽查的20名学生成绩A组人，B组人，C组人，D组人，
将20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为，，
∴中位数为，
，
∴，
答：；
（2）解：九年级学生的成绩较好，理由：
因为九年级学生的测试成绩的中位数、众数均比八年级学生成绩的中位数、众数要高，
所以九年级学生的成绩较好；
（3）解：（人），
∴该校八年级540名学生，九年级560名学生，估计两个学段测试成绩优秀的学生共359名．
【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期末）“防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出： ， ．
(2)若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人
【答案】(1)，
(2)人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；
（2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500即可作出估计．
【详解】（1）解：∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴，
∵八年级A等级人数最多，
∴，
故答案为：9，10；
（2）解：（人），
答:该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有600人．
【变式3-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
(1)求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
(2)若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)，，
(2)估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，中位数，众数熟练掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，众数的求法，即可求解；
（2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以即可．
【详解】（1）解：由条形图可知，第10和第11个数据都是7分，
∴中位数为；
平均数为：；
这组数据中7分出现的次数最多，则众数为．
（2）解：（人）
答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人．
【变式3-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）为丰富校园文化生活，激发学生对家乡的了解与热爱，某校举办了以“爱我成都”为主题的绘画比赛，学生们用画笔描绘出了自己眼中的成都，展现了这座城市的独特魅力．现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽取的作品数量为 份，并补全条形统计图；
(2)此次被抽取的参赛作品成绩的众数是 ；此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是 ；
(3)若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
【答案】(1)100，见解析
(2)8，8
(3)估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有240份
【分析】（1）根据9分的作品数量和所占百分比可求出抽取的作品数量，求出8分作品的数量即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、众数的定义及计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中成绩不低于9分所占的百分比，进而估计总体中不低于9分所占的百分比，再根据频率频数总数进行计算即可．
【详解】（1）解：（1）从两个统计图可知，成绩为9分的作品数量是25件，占抽取作品数量的，
所以抽取作品的数量为：（件），
成绩为8分的作品数量为：（件），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：由图知，成绩为8分的数量为40且最多，故众数为8；
将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，中位数是第50，51份的平均数，处在中间位置的两个数都是8分，因此成绩的中位数是8分．
故答案为：8，8；
（3）解：（份），
答：估计此次大赛成绩不低于9分的作品大约有240份．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，众数、中位数以及样本估计总体，从统计图中正确获取信息是正确解答的前提．
【变式3-4】（23-24八年级下·广西河池·期末）为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下：
使用次数 0 5 10 16 20
人数 1 1 3 4 1
(1)这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次；
(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”）
(3)该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数．
【答案】(1)13，16
(2)中位数
(3)估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数为29750次．
【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键．
（1）根据众数、中位数分别求解可得；
（2）由中位数不受极端值影响可得答案；
（3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
【详解】（1）解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次），
众数为16次，
故答案为：13，16；
（2）解：把数据“20”看成了“30”，
那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数；
（3）解：∵样本的平均数为：，
∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次．
【考点题型四】数据分析中的决策问题（）
【例4-1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）某校对八年级甲、乙两班各60名学生进行知识测试，测试完成后分别抽取了12份成绩，整理分析过程如下．
【收集数据】
甲班12名学生测试成绩（单位：分）统计如下：45，59，60，38，57，53，52，58，60，50，43，49；
乙班12名学生测试成绩（单位；分）统计如下：35，55，46，39，54，47，43，57，42，59，60，47．
【整理数据】
按如下分数段整理，描述这两组样本数据：
组别/频数
甲 1 1 2 3 5
乙 2 2 3 1 4
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
班级 平均数 众数 中位数
甲 52 a 52.5
乙 48.7 47 b
根据以上信息回答下列问题：
(1)________，________；
(2)若规定成绩在45分及以上为合格，请估计乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有多少人；
(3)你认为哪个班的学生知识测试成绩的整体水平较好，请说出一条理由．
【答案】(1)60，47；
(2)40人；
(3)甲班的成绩较好，理由见解析．
【知识点】运用众数做决策、求众数、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查了求众数和中位数，用样本估计总体以及用平均数和众数，中位数做决策，熟练掌握常见统计量的求法和意义是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）用乙班学生人数乘以样本中成绩在45分及以上的所占的比例即可；
（3）根据平均数和众数，以及中位数作出判断即可．
【详解】（1）解：甲班中成绩出现次数最多的是60．
故60，
乙班成绩从小到大排序如下：
35，39，42，43，46，47，47，54，55，57，59，60，
∴
（2）（人），
答：乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有40人
（3）甲班的成绩较好，理由：甲班的平均数、中位数、众数均比乙班的高，所以甲班的成绩较好．
【例4-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）根据国家教委的要求，我县各中小学已全面推行学校课后延时服务．某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据．
调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告
【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）．
【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析： 平均数中位数众数方差七年级81.2八年级871.8
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)上述表格中：______，______，______；
(2)在两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．据此推断：在七、八两个年级中，_______年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）；
(3)综合上表中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由．（至少写出两条理由）
【答案】(1)，，；
(2)七
(3)应该给七年级的老师颁奖，理由见解析
【知识点】求一组数据的平均数、运用方差做决策、求中位数、求众数
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（2）根据方差判断即可得解；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差分析即可得解．
【详解】（1）解：七年级的平均数；
其中数据出现了次，次数最多，故众数；
将八年级得数据从小到大排序，第个和第个数据分别是和，故中位数；
（2）解：∵，
∴七年级评分的10个数据的波动越小，七年级家长的评价更一致；
（3）解：综合上表中的统计量，两个年级的平均数相同，但七年级的中位数、众数都比八年级高，并且方差比八年级要小，说明七年级家长对课后延时服务较为满意，评价更一致，因此，应该给七年级的老师颁奖．
【例4-3】（23-24八年级下·广西玉林·期末）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀)，绘制了如下统计图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 m
中位数 8 b
众数 a 7
根据上述信息，解答下列问题：
(1)学生成绩统计表中______， ______；
(2)求八年级学生成绩的平均数m；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航空航天知识掌握更好？并说明理由．
【答案】(1)8，7.5
(2)7.55
(3)七年级，理由见解析
【知识点】求加权平均数、求中位数、运用中位数做决策、运用众数做决策
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键．
（1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可；
（2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可．
【详解】（1）解∶ 解：七年级中8分的人数所占的比重最大，
∴；
八年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为7和8；
∴，
故答案为∶8，7.5；
（2）解∶
答：八年级学生成绩的平均数是7.55．
（3）解：七年级的学生对航天航空知识掌握更好，
理由如下：因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好．
【例4-4】（24-25八年级上·江西九江·期末）教育局为了解某地中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学各随机抽取100位学生家长进行问卷调查（每位学生家长对应一份问卷），将学生家长对延时服务的评分（单位：分）分为5组（A．；B．；C．；D．；E．），并对数据进行整理、分析．部分信息如下．
乙中学延时服务得分情况频数分布表如下（不完整）
组别 分组 频数
A 15
B b
C 30
D 10
E 5
将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：
81，81，81，82，82，83，83，83，83，83．
甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如下表．
学校 平均数 中位数 众数
甲 75 79 80
乙 78 c 83
根据以上信息，解答下列问题：
(1)________，________，________．
(2)已知乙中学共有2000名学生，若对延时服务的评分在60分以上（含60分），认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格．
(3)小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好．”你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
【答案】(1)10，40，
(2)估计乙中学有1900名学生的家长认为该校延时服务合格
(3)同意，理由见解析（理由不唯一，合理即可）
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求某项的百分比、频数分布表、运用中位数做决策
【分析】本题考查了数据统计分析综合题，涉及求中位数，频数，扇形统计图，用样本估计总体数量，运用平均数、中位数与众数作决策，读懂图表并获取有用的信息，学会用统计思想解决实际是解题关键．
（1）先求出组所占的百分比，再利用1减去组所占的百分比即可得的值；利用乙中学抽取的学生家长人数100减去组的人数即可得的值；根据中位数的定义即可得的值，由此即可得；
（2）利用乙中学学生总人数乘以对延时服务的评分在60分以上（含60分）所占百分比即可得；
（3）运用平均数、中位数与众数作决策即可得．
【详解】（1）解：组所占的百分比为，
则，
所以，
，
将乙中学的得分按从小到大进行排序后，第50个数和第51个数的平均数即为中位数，
∵，，
∴第50个数和第51个数都在组，
又∵将乙中学在组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据为81，81，81，82，82，83，83，83，83，83，
∴中位数，
故答案为：10，40，．
（2）解：（名），
答：估计乙中学有1900名学生的家长认为该校延时服务合格．
（3）解：同意，理由：乙中学的课后延时服务得分的平均数、中位数、众数均比甲中学高．
【例4-5】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）我国是全球电动自行车生产和使用第一大国，平均每4人就拥有1辆电动自行车．与此同时，电动自行车起火导致的火灾事故连年增长．有数据显示，的电动车火灾是在充电时发生的，其中超过一半发生在夜间充电过程中．“规范充电，从我做起”，某校政教处对全校学生进行了规范充电培训，为了解学生对规范充电的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表：
被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图
组别 成绩/分 频数
A
B 16
C 8
D 4
备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为分
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量为________；
(2)填空： ________， ________， ________；
(3)王平说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，，
(3)不正确，理由见解析
【知识点】利用平均数做决策、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用，样本容量，扇形圆心角度数，利用平均数做决策，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据图表信息，由成绩在分的频数除以其在扇形图中的所占比即可求得本次抽样调查的样本容量；
（2）根据本次抽样调查的样本容量减去已知组别的频数即可得到的值，再根据的值除以样本容量乘以，即可求得组别A在扇形图中的百分比，从而可得的值，最后通过组别C频数在样本容量中的所占比乘以即可得到组别C在扇形图中圆心角度数，从而得到的值；
（3）根据各组别的人数和组别B的成绩排序即可判断王平的说法是否正确．
【详解】（1）解：由图表可知：成绩在分的频数为16，在扇形图中占比为，
本次抽样调查的样本容量为：，
故答案为：；
（2）解：由（1）可知：本次抽样调查的样本容量为，
，
组别A在扇形图中的占比为：，
，
组别C在扇形图中圆心角度数为：，
，
故答案为：，，；
（3）解：不正确，理由如下：
由②可得，王平的成绩分平均分分，
如果王平成绩超过了一半的同学，则需要超过后名同学，
由图表可知：、两组总人数为人，组人数为人，
王平的成绩需要超过组成绩后人，
由①可知，B组的成绩（单位：分）由小到大分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；
从小到大排列后，第同学分数为86，
而，
王平的成绩高于平均分，却未超过一半的同学，
王平的说法不正确．
【变式4-1】（24-25八年级上·重庆奉节·期末）2024年7月份奥运会在巴黎如期举行，促进了全民健身活动，为激发同学们的运动热情，提高身体素质，某学校不仅坚持每天锻炼一小时，还在七、八年级举行了“奥运会知识竞赛”活动，现从七、八年级分别随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用表示，共分成四组：；八年级50名学生成绩数据中，落在组中的成绩分别是：91，91，91，91，91，92，92，92，93，93，94，94，94，94，94．
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 96
八年级抽取的学生竞赛成绩统计图
(1)直接写出上述图表中m，n的值：__________，__________；
(2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
(3)该校八年级共1800人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀（）的八年级学生有多少人？
【答案】(1)40；93.5
(2)八年级成绩较好，理由见解析
(3)1260人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求某项的百分比、求中位数、运用众数做决策
【分析】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体，中位数和众数，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．样本估计总体是统计中常用的方法．
（1）先求得八年级C组所占百分比，再求得D组所占百分比，即可求出m的值；根据中位数的定义可求得n的值；
（2）根据八年级的中位数和众数都高于七年级的中位数和众数即可得到结论；
（3）样本估计总体可求解．
【详解】（1）解：八年级C组占比为，
∴八年级D组占比：，
∴．
八年级50名学生成绩数据中，A、B组人数为，
中位数是第25、26个数据（按照成绩从低到高排列），落在C组，
∴中位数；
故答案为：；；
（2）解：八年级成绩较好，理由如下
从中位数看，八年级的中位数高于七年级的中位数；从众数看，八年级的众数高于七年级的众数．
∴八年级成绩较好；
（3）解：（人）．
答：估计参加此次竞赛成绩优秀（）的八年级学生人数是1260人
【变式4-2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 3 3．5 1．05
乙商家 4 1．24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________，
(2)表格中__________，__________，__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】(1)；
(2)，，；
(3)小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数、运用方差做决策
【分析】（）用甲商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数，进而用乘以甲商家分的占比即可求解；
（）用乙商家分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值，
，
故答案为：，；
（2）解：从乙商家抽取了个评价分值，
甲商家分的评价分值个数为个，
乙商家分的评价分值个数为个，
∵甲商家共有个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数，
∴，
乙商家分的个数是9个，最多，
∴众数，
乙商家平均数，
故答案为：，，；
（3）解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【变式4-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）由于水资源缺乏，某地区决定利用分段计费的方法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为m吨，家庭月用水量不超过m吨的部分按原价收费，超过m吨的部分加倍收费．为了解居民的用水情况，该地区从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 7 8 9 10
户数（户） 4 2 5 11 4 2 2
(1)求这30户家庭的月平均用水量．
(2)估计该社区的月用水量．
(3)你认为该地区规定每个家庭的月基本用水量m为多少吨比较合理？请你用所学的统计知识说明理由．
【答案】(1)这30户家庭的月平均用水量为吨；
(2)吨；
(3)地区规定每个家庭的月基本用水量m为7吨较合理，理由见解析
【知识点】运用众数做决策、求加权平均数、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】题目主要考查平均数的计算方法，样本估计总体及利用众数作决策，理解题意，掌握这些基础知识是解题关键．
（1）根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）用平均数乘以总户数即可；
（3）结合统计表，运用众数作决策即可．
【详解】（1）解：这30户家庭月用水量的平均数为：
（吨）
答：这30户家庭的月平均用水量为吨；
（2）∵社区共1500户家庭，
∴该社区的月用水量为（吨）；
（3）地区规定每个家庭的月基本用水量m为7吨较合理，因为从统计表来看，使用7吨的户数最多．
【变式4-4】（24-25八年级上·福建三明·期末）为了传承中华民族优秀传统文化，我区某中学开展了一次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），进行整理描述和分析，并将其分为四组：（A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98．
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94．
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 91 91
中位数 90 b
众数 100
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)根据以上数据，选一个方面评价哪个年级学生本次竞赛成绩更加优异；
(3)该校八年级700名学生参加了此次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，请估计此次竞赛成绩不低于90分的八年级学生人数是多少？
【答案】(1)98，94
(2)八年级学生本次竞赛成绩更加优异
(3)490名
【知识点】运用众数做决策、运用中位数做决策、求扇形统计图的某项数目、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查了众数与中位数、利用样本估计总体、扇形统计图等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可得；
（2）根据平均数、中位数与众数进行分析即可得；
（3）利用该校八年级参加本次竞赛的总人数乘以竞赛成绩不低于90分的八年级学生所占百分比即可得．
【详解】（1）解：∵在七年级10名学生的比赛成绩中，98出现的次数最多，
∴七年级10名学生的比赛成绩的众数，
由扇形统计图可知，八年级学生成绩在组的人数为（名），在组的人数为（名），
∵八年级学生成绩在组的人数为3名，
∴八年级10名学生的比赛成绩的中位数，
故答案为：98，94．
（2）解：∵七、八年级学生本次竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生本次竞赛成绩的中位数和众数均大于七年级的，
∴八年级学生本次竞赛成绩更加优异．
（3）解：（名），
答：估计此次竞赛成绩不低于90分的八年级学生人数是490名．
【变式4-5】（24-25八年级上·山西运城·期末）科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45％
B 88 88 c 40％
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
【答案】(1)，，
(2)A款AI聊天机器人更受用户喜爱，详见解析
(3)此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人
【知识点】求众数、运用中位数做决策、由扇形统计图求某项的百分比、由样本所占百分比估计总体的数量
【分析】本题考查了扇形统计图，平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，样本估计总体；
（1）由扇形统计图及表格获取数据分别求出抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”、 “满意” 、“非常满意”、“比较满意”的人数，再由中位数的定义、众数的定义，即可求解；
（2）从平均数、中位数、众数几个方面综合分析，即可求解；
（3）A款 “不满意”所占的百分比Ｂ款 “不满意”所占的百分比，即可求解；
理解平均数的定义、中位数的定义、众数的定义，会用样本求总体，能从扇形统计图及表格中获取正确的数据，并能根据数据进行分析决策是解题的关键．
【详解】（1）解：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“不满意”的人数：（人），
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：（人），
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“非常满意”的人数：（人），
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“比较满意”的人数：
（人），
；
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据的中位数是将这组数组按从小到大顺序排好后的第、个数的平均数，
“不满意”的人数与“比较满意”的人数共：人，
第、个数在评分为“满意”的数据中，
第、个数为、，
；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据中出现最多的是数据，共个，
；
故答案为：，，；
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款评分数据的平均数、众数都相同，但A款评分数据的中位数为分比B款的中位数88分高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）解：（人），
答：此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有78人．
【变式4-6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．星光中学为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，举办了航空航天知识竞赛活动．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制，且成绩为整数）为样本，分为A（0分~84分），B（85分~89分），C（90分~94分），D（95分~100分）四个分数段进行统计，绘制如下不完整的统计图表及数据信息：
七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89 b
八年级 89 a 91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)根据以上数据，请你推断哪个年级的成绩更好，并说明理由；（一条理由即可）
(3)成绩在D（95分~100分）的学生可以获得奖励，若该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数．
【答案】(1)，，
(2)八年级成绩更好，理由见解析
(3)七、八年级可以获得奖励的学生总人数有人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、运用中位数做决策、求众数
【分析】本题考查从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数和众数，利用样本估计总体：
（1）根据中位数和众数的确定方法，求出的值即可，再求解类占比即可得到类占比；
（2）利用中位数或众数进行分析即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
∴出现的次数最多，众数，
八年级类有（人），类有（人），
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
∴排在第个，第个数据为，，
∴八年级数据的中位数；
∵类占比为：，
∴类占比为：，
∴；
（2）解：八年级的成绩更好，理由：
八年级的中位数高于七年级的中位数，则八年级的成绩更好.
（3）解：∵七年级类人数有人，八年级类占比，
∴该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，七、八年级可以获得奖励的学生总人数有：（人）.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 数据的分析（考点清单，4考点梳理+4题型解读）
清单01 平均数
1.算术平均数：
一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做(读作x拔)
2.加权平均数：
（1）一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则
叫做这n个数的加权平均数.
(1)算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）；
(2)在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.
（2）在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n)，那么n这个数的平均数
也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权.
清单02 中位数
1.中位数的确定：
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列：
①如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；
②如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
2.中位数的特征及意义：
①中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的可能出现在数据中也可能不出现在数据中.
②如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
③如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平．
清单03 众数
1.众数：
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数.
当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好反映其集中趋势.
2.众数的特征：
①一组数据的众数一定出现在这组数据中.
②一组数据的众数可能不止一个.如1，1，2，3，3，5中众数是1和3.
③众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是
清单04 方差
方差：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
s2=
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小.反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
【考点题型一】平均数、中位数、众数（）
【例1-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知一组数据，，，，的唯一众数是1，中位数是3，则这组数据的平均数为（ ）
A．3 B．3.6 C．4 D．5.2
【例1-2】（24-25八年级上·陕西·期末）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 （填“平均数”“中位数”或“众数”）．
【例1-3】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）综合与实践
【项目背景】
苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄苹果园．在苹果收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 乙园样本中A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）．
①两园样本数据的众数均在C组；
②两园样本数据的中位数均在C组；
任务4 结合市场情况，将C，D两组的苹果认定为一级，B组的苹果认定为二级，其它组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的苹果品质更优，并从一个角度说明一条理由即可．
【例1-4】（23-24八年级下·云南德宏·期末）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“中国梦 航天情”系列活动．下面是八年级甲，乙两个班各项目的成绩（单位：分）：
参赛班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作
甲 85 91 88
乙 90 84 87
(1)如果各项成绩同等重要，计算甲、乙两班的平均成绩，从他们的成绩看，甲、乙两班谁的成绩更好？
(2)如果学校按照知识竞赛占，演讲比赛占，版面创作占，确定最后成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁的最后成绩更好？
【例1-5】（23-24八年级下·福建泉州·期末）【问题情境】德化为世界瓷都，德化陶瓷以精湛的工艺、独特的风格和卓越的品质，成为了世界陶瓷产业中的一颗璀璨明珠．同学们到某陶瓷厂开展“利用瓷器烧制前与烧制后的高度之比探究瓷坯收缩比例”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集用白瓷瓷土和紫沙瓷土制作的瓷坯各8件，通过测量这些瓷坯烧制前后的高度，然后计算烧制前与烧制后的高度比，最后整理数据如下：（记，）
种类 1 2 3 4 5 6 7 8
1.218 1.217 1.208 1.212 1.214 1.212 1.211 1.215
1.174 1.171 1.172 1.175 1.168 1.167 1.167 1.166
【实践探究】分析数据如下：
种类 平均数 中位数 众数
1.213 m 1.212
1.170 1.170 n
【问题解决】
（1）上述表格中，______，______．
（2）现有1个瓷器烧制前的高度为0.94米，烧制后的高度为0.8米，则这种瓷器更可能由上述中的哪种瓷土烧制而成？请说明你的理由．
（3）小明同学说：“从瓷坯烧制前与烧制后的高度比的平均数、中位数和众数来看，我发现白瓷瓷坯烧制后与烧制前的高度比约为82%至83%．”这位同学的说法是否合理？请说明理由．
【例1-6】（24-25八年级上·山东烟台·期末）张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时．其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图：
(1)根据以上数据把表格补充完整：
平均数 中位数 众数 方差 极差
路线一 18 2.4 5
路线二 15.6 11 18.04
(2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由．
【例1-7】（23-24八年级下·浙江温州·期末）学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）．
语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力
甲 86 77 77
乙 76 87 74
丙 80 78 85
(1)计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序；
(2)学校认为：①单项最低分不能低于75分；②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按的比例计算其成绩，请问谁能成功应聘？
【变式1-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知下列一组数据，，，，，，若中位数是，则平均数和众数分别是（ ）
A．20，20 B．20，21 C．21，20 D．21，21
【变式1-2】（24-25八年级下·全国·期末）李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，他的笔试、微型课、教学反思的成绩分别为90分、92分、85分．若将这三项成绩按照如图所示的权重来计算综合成绩，则李老师的综合成绩为（ ）
A．88分 B．90分 C．91分 D．92分
【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（ ）
A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5
【变式1-4】（23-24八年级下·全国·期末）位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是 ，最喜欢的是 ．
【变式1-5】（23-24八年级下·重庆黔江·期末）有一组数据如下：，，，，，它们的平均数是，则的值为 ．
【变式1-6】（23-24八年级下·全国·期末）在一次体育课上，体育老师对八年级（一）班的50名同学进行了立定跳远项目的测试，测试所得分数及相应的人数如图，则这50名学生测试的平均得分为 分．
【变式1-7】（23-24八年级下·福建福州·期末）在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告．每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响．只有当学生的综合评价得分（满分100分）达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号．现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布．
姓名 科技小制作 科技知识竞赛 科技创新报告
小玉 92 82 84
小榕 82 90
(1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准；
(2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为计算综合评价得分．请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准．（分数需为整数）
【变式1-8】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）近年来网约车十分流行，初二某班学生对“花小猪”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元
“花小猪” 6 6 a
“滴滴” b c 4
(1)直接填空： ， ；
(2)求b的值；
(3)若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司？请说明理由．
【变式1-9】（23-24八年级下·河北保定·期末）某班老师要求每生每学期读本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如下不完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题：
(1)老师随机抽查了______名学生，阅读6册书的人数为_______人；
(2)已知册数的中位数是5，并且阅读7册的人数多于2人；
小明说：条形图中阅读5册的人数为5．
小亮说：条形图中阅读5册的人数为6．
①你认为小明和小亮谁说的对，请说明原因；
②求出阅读7册的人数；
(3)随后又进行了补查，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现中位数还是5，则最多又补查了_________人．
【考点题型二】方差（）
【例2-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别是（　　）
A．25，25 B．25，19 C．19，19 D．19，25
【例2-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数和方差如下表所示．要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，根据表中数据，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【例2-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则 （填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定．
【变式2-1】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）小睿在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的平均数和样本容量分别是（ ）．
A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5
【变式2-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）某种数据方差的计算公式是， 则该组数据的总和为 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如表是小明一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息，解答下列问题．
考试类别 平时成绩 期中考试 期末考试
第一单元 第二单元 第三单元 第四单元
成绩 88 92 90 86 90 95
(1)小明6次成绩的众数是_______分，中位数是________分；
(2)计算小明“平时成绩”的方差；
(3)按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请你求出小明本学期的综合成绩（注意：“平时成绩”用四次成绩的平均数）．
【变式2-4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，对射击成绩进行整理，绘制如图所示的统计图：
对上述数据进行分析，得到如下统计表：
平均数 中位数 众数 方差
甲 6.5 a 2.2
乙 7 b 7
(1)填空：___________，___________；
(2)求甲运动员10次射击成绩的平均数；
(3)求乙运动员10次射击成绩的方差；
(4)根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价（写出两条即可）．
【变式2-5】（24-25八年级上·山东泰安·期末）2015年7月1日，全国人大常委会通过的《中华人民共和国国家安全法》第十四条规定，每年4月15日为全民国家安全教育日．2024年4月15日是第9个全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某学校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动．测试完成后从八九年级中随机抽取部分学生成绩进行分组分析．学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，成绩如下统计图：
(1)小明认为抽取的八九年级学生共20人的成绩进行分析，小明的判断是否正确______（填“是”或“否”）．
(2)在九年级学生成绩统计图中，8分所在的扇形的圆心角为______度；
(3)请补充完整下面的成绩统计分析表：
平均数 方差 众数 中位数 优秀率
八年级 7 1.8 ______ ______
九年级 ______ 1.36 ______ ______
(4)你认为哪组成绩较好？说明理由．
【考点题型三】由样本所占百分比估计总体的数量（）
【例3】（24-25八年级上·山东烟台·期末）当前，电信网络诈骗犯罪形势严峻，某中学组织了关于防诈安全知识的专题讲座，并进行了防诈安全知识测评，现从该校八年级、九年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（120分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息：
八年级20名学生的测试成绩是：110，111，100，99，100，89，88，88，87，118，97，96，85，86，106，106，120，112，106，106；
九年级20名学生的测成绩在组中的数据是：104，106，107，108，106，109；
八年级、九年级抽取的学生测试成绩统计表如下：
学段 平均数 中位数 众数 方差
八年级 103 a 119.3
九年级 102 b 112 72.6
根据上述信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中、、的值；
(2)该校哪个年级学生掌握防诈安全知识更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3)该校八年级540名学生，九年级560名学生，估计两个年级测试成绩优秀的学生共有多少名？
【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期末）“防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出： ， ．
(2)若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人
【变式3-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
(1)求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
(2)若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
【变式3-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）为丰富校园文化生活，激发学生对家乡的了解与热爱，某校举办了以“爱我成都”为主题的绘画比赛，学生们用画笔描绘出了自己眼中的成都，展现了这座城市的独特魅力．现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽取的作品数量为 份，并补全条形统计图；
(2)此次被抽取的参赛作品成绩的众数是 ；此次被抽取的参赛作品成绩的中位数是 ；
(3)若该校共收到800份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于9分的作品有多少份？
【变式3-4】（23-24八年级下·广西河池·期末）为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下：
使用次数 0 5 10 16 20
人数 1 1 3 4 1
(1)这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次；
(2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”）
(3)该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数．
【考点题型四】数据分析中的决策问题（）
【例4-1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）某校对八年级甲、乙两班各60名学生进行知识测试，测试完成后分别抽取了12份成绩，整理分析过程如下．
【收集数据】
甲班12名学生测试成绩（单位：分）统计如下：45，59，60，38，57，53，52，58，60，50，43，49；
乙班12名学生测试成绩（单位；分）统计如下：35，55，46，39，54，47，43，57，42，59，60，47．
【整理数据】
按如下分数段整理，描述这两组样本数据：
组别/频数
甲 1 1 2 3 5
乙 2 2 3 1 4
两组样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
班级 平均数 众数 中位数
甲 52 a 52.5
乙 48.7 47 b
根据以上信息回答下列问题：
(1)________，________；
(2)若规定成绩在45分及以上为合格，请估计乙班60名学生中知识测试成绩合格的学生有多少人；
(3)你认为哪个班的学生知识测试成绩的整体水平较好，请说出一条理由．
【例4-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）根据国家教委的要求，我县各中小学已全面推行学校课后延时服务．某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，在七、八年级中各随机抽取10名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据．
调查主题：七、八年级家长对课后延时服务评分调查报告
【设计调查方式】 在七、八年级中各随机抽取了10名学生家长对课后延时服务的评分（满分10分）．
【收集、整理、描述数据】 家长对课后延时服务的评分统计图（满分10分）： 数据分析： 平均数中位数众数方差七年级81.2八年级871.8
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)上述表格中：______，______，______；
(2)在两个年级中，如果某个年级评分的10个数据的波动越小，则认为家长的评价越一致．据此推断：在七、八两个年级中，_______年级家长的评价更一致（填“七”或“八”）；
(3)综合上表中的统计量，现要给评分突出的年级老师颁奖，你认为应该给哪个年级的老师颁奖？请说明理由．（至少写出两条理由）
【例4-3】（23-24八年级下·广西玉林·期末）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀)，绘制了如下统计图表：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 m
中位数 8 b
众数 a 7
根据上述信息，解答下列问题：
(1)学生成绩统计表中______， ______；
(2)求八年级学生成绩的平均数m；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航空航天知识掌握更好？并说明理由．
【例4-4】（24-25八年级上·江西九江·期末）教育局为了解某地中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学各随机抽取100位学生家长进行问卷调查（每位学生家长对应一份问卷），将学生家长对延时服务的评分（单位：分）分为5组（A．；B．；C．；D．；E．），并对数据进行整理、分析．部分信息如下．
乙中学延时服务得分情况频数分布表如下（不完整）
组别 分组 频数
A 15
B b
C 30
D 10
E 5
将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：
81，81，81，82，82，83，83，83，83，83．
甲、乙两中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如下表．
学校 平均数 中位数 众数
甲 75 79 80
乙 78 c 83
根据以上信息，解答下列问题：
(1)________，________，________．
(2)已知乙中学共有2000名学生，若对延时服务的评分在60分以上（含60分），认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格．
(3)小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好．”你同意小明的说法吗？请写出一条理由．
【例4-5】（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）我国是全球电动自行车生产和使用第一大国，平均每4人就拥有1辆电动自行车．与此同时，电动自行车起火导致的火灾事故连年增长．有数据显示，的电动车火灾是在充电时发生的，其中超过一半发生在夜间充电过程中．“规范充电，从我做起”，某校政教处对全校学生进行了规范充电培训，为了解学生对规范充电的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表：
被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图
组别 成绩/分 频数
A
B 16
C 8
D 4
备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为分
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量为________；
(2)填空： ________， ________， ________；
(3)王平说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【变式4-1】（24-25八年级上·重庆奉节·期末）2024年7月份奥运会在巴黎如期举行，促进了全民健身活动，为激发同学们的运动热情，提高身体素质，某学校不仅坚持每天锻炼一小时，还在七、八年级举行了“奥运会知识竞赛”活动，现从七、八年级分别随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用表示，共分成四组：；八年级50名学生成绩数据中，落在组中的成绩分别是：91，91，91，91，91，92，92，92，93，93，94，94，94，94，94．
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 96
八年级抽取的学生竞赛成绩统计图
(1)直接写出上述图表中m，n的值：__________，__________；
(2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
(3)该校八年级共1800人参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩为优秀（）的八年级学生有多少人？
【变式4-2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 3 3．5 1．05
乙商家 4 1．24
(1)甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数为_________，
(2)表格中__________，__________，__________；
(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【变式4-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期末）由于水资源缺乏，某地区决定利用分段计费的方法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为m吨，家庭月用水量不超过m吨的部分按原价收费，超过m吨的部分加倍收费．为了解居民的用水情况，该地区从某社区的1500户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 7 8 9 10
户数（户） 4 2 5 11 4 2 2
(1)求这30户家庭的月平均用水量．
(2)估计该社区的月用水量．
(3)你认为该地区规定每个家庭的月基本用水量m为多少吨比较合理？请你用所学的统计知识说明理由．
【变式4-4】（24-25八年级上·福建三明·期末）为了传承中华民族优秀传统文化，我区某中学开展了一次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示），进行整理描述和分析，并将其分为四组：（A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，87，88，92，95，97，98，98．
八年级10名学生的比赛成绩在C组中的数据是：90，94，94．
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 91 91
中位数 90 b
众数 100
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)根据以上数据，选一个方面评价哪个年级学生本次竞赛成绩更加优异；
(3)该校八年级700名学生参加了此次“中华民族优秀传统文化知识竞赛”，请估计此次竞赛成绩不低于90分的八年级学生人数是多少？
【变式4-5】（24-25八年级上·山西运城·期末）科大讯飞推出了“讯飞星火”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：（单位：分）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45％
B 88 88 c 40％
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有300人对A款AI聊天机器人进行评分、320人对Ｂ款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
【变式4-6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．星光中学为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，举办了航空航天知识竞赛活动．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制，且成绩为整数）为样本，分为A（0分~84分），B（85分~89分），C（90分~94分），D（95分~100分）四个分数段进行统计，绘制如下不完整的统计图表及数据信息：
七年级：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89 b
八年级 89 a 91
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)根据以上数据，请你推断哪个年级的成绩更好，并说明理由；（一条理由即可）
(3)成绩在D（95分~100分）的学生可以获得奖励，若该校七年级有400名学生，八年级有500名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数．
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