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专题01 二次根式（考点清单，11考点梳理+7题型解读）
清单01 二次根式
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
清单02 二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
清单03 二次根式的性质与化简
1.二次根式的基本性质：
（1）≥0； a≥0（双重非负性）．
（2）（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
（3）；
（4）积的算术平方根的性质：；
（5）商的算术平方根的性质：.
化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
清单04 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
清单05 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： ＝ · （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： · ＝ （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝ （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则： ＝（a≥0，b＞0）
清单06 分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
3. 常用的有理化因式
与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等.
清单07 同类二次根式
1.同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2.合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
清单08 二次根式的加减法
1.二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
2.二次根式的加减运算步骤：
①去——如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②化——把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③并——合并被开方数相同的二次根式．
3.合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
清单09 二次根式的混合运算
1.二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
2.二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
清单10 二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
清单11 二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【考点题型一】二次根式的相关概念与化简（）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）要使式子有意义，则x的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：要使式子有意义，
则，
解得．
故选：D．
【例1-2】（24-25八年级下·全国·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【例1-3】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值．
【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的，
解得：，
∵是自然数，
∴，
∵是整数，
∴，，
∴自然数的值是或，
故答案为：或．
【例1-4】（23-24八年级下·河南濮阳·期末）先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析
(2)
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可；
（2）仿照小莉的解答过程求解即可．
【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式
【变式1-1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的判断，根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相反数，二次根式．熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
根据相反数的定义求解作答即可．
【详解】解：由题意知，的相反数为，
故选：C．
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：2．
【变式-4】（24-25八年级上·云南普洱·期末）对于任意不相等的两个实数，，定义一种运算来如下：．例：，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．利用新运算的规定，将式子转化后利用实数的运算法则解答即可．
【详解】解：原式，
故答案为：
【变式1-5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
【变式1-6】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证：
， ，
（2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________；
【答案】（1）成立，验证见解析；（2）
【分析】本题主要考查了规律探索，二次根式性质，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．
（1）根据二次根式性质进行化简，验证即可；
（2）根据， ，得出一般规律，写出答案即可．
【详解】解：（1）成立．
验证如下：
，
，
，
∴各式都成立；
（2）∵， ，
∴用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：．
【变式1-7】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴k的值为：或．
【变式1-8】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，3，3
(2)①无解，②不能，理由见解析
【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解；
②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答．
【详解】（1）解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
（2）解：①
移项，得
去根号，两边同时平方得，
即
解得：，
检验：时，方程左边右边，
∴不是原方程的解，原方程无解；
②若代数式的值等于7，即，
移项，得，
两边同时平方，得，
化简，得，
两边同时平方，得，
∴该方程无解，
∴代数式的值不能等于7．
【考点题型二】最简二次根式与同类二次根式（）
【例2-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意；
B、中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意；
C、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；
D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；
故选：A．
【例2-2】（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义：将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．先利用二次根式化简各数，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A．与的被开方数相同，所以两数是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
【变式2-2】（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ，
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键．
根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：；．
【变式2-3】（23-24八年级下·陕西安康·期末）定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解析
【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键．
先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可．
【详解】解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下：
∵最简二次根式与可以合并，
∴，即，
∴的算术平方根为，
∵，
∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式．
【考点题型三】二次根式的运算（）
【例3-1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，实数的混合运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算计算即可；
（2）先运用平方差公式展开，分式的除法运算得到，最后再根据实数的混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【例3-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法混合运算．先算二次根式乘除法，再算减法即可求解．
【详解】解：
．
【变式3-1】（23-24八年级下·云南昆明·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
根据算术平方根，绝对值，零指数幂，有理数的乘方计算法则求解即可．
【详解】解：
【变式3-2】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的乘法和零指数幂计算即可；
（2）根据负整数指数幂，二次根式的乘法，最简二次根式计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式3-3】（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键．
（1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；
（2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【考点题型四】二次根式的化简求值（）
【例4】（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值
【答案】
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键．
首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可．
【详解】解：，
，
∴，，
．
【变式4-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，．
【答案】，
【知识点】已知字母的值，化简求值、提公因式法分解因式
【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可．
【详解】解：，
当，时，
原式
．
【变式4-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值；
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算、异分母分式加减法、分式化简求值
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
由已知条件可得：，
（1）利用平方差公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，，，且，求m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)26
(2)；
(3)．
【知识点】已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简，从而求出，，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
【考点题型五】分母有理化（）
【例5】（23-24八年级下·云南普洱·期末）阅读理解:
爱思考的张华在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值．
他是这样分析与解答的：
，即
请你根据张华的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】分母有理化、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用整体代入的思想是解决本题的关键．
（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（2）将m分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：，
，
，即，
，
．
【变式5-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简： ______；______；
(2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长；
(3)当时，化简：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可
（1）根据分母有理化的步骤进行计算即可．
（2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可．
（3）把各分母先有理化再进行加减运算．
【详解】（1）解：，
（2）矩形的另外一边长为：
∴矩形的周长为：．
（3）当时
【变式5-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：
像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）原式的分子和分母都乘以解答即可；
（2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：原式
．
【变式5-3】（23-24八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简： ；
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查二次根式的加减法运算，分母有理化，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．
（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；
（2）利用分母有理化的方法进行运算即可；
（3）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式5-4】（23-24八年级下·广西崇左·期末）阅读下面的材料，然后解答问题：
，①，②
．③
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．④
(1)化简：=______，=______；
(2)参照③式化简：；
(3)参照④式化简：．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【知识点】分母有理化
【分析】本题考查二次根式的分母有理化．
（1）参照①②式化简即可；
（2）参照③式化简即可；
（3）参照④式化简即可．
【详解】（1）解：
；
故答案为：，；
（2）；
（3）．
【考点题型六】比较二次根式的大小（）
【例6】（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空．
______；______；______．
再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由．
【答案】，理由见解析．
【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键．
【详解】解：，，
又，
；
，，
又，
；
，，
又，
；
猜想：（，），
理由如下：
∵，，
∴，
∴；
【变式6-1】（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小，　　　　（填写，或者）
(2)猜想，之间的大小关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【知识点】比较二次根式的大小、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用平方法进行比较即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【变式6-2】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)①，②
(2)
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可；
（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；
（3）由题意得，同理：，，则，进而可得．
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：；理由如下；
∵，
∴，
同理：，，
∴，
∴．
【变式6-3】（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）仿照题意进行分母有理化即可；
（3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；
（4）根据，且，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
【考点题型七】二次根式的应用（）
【例7】（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为，宽为的长方体塑料容器中装满水，然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为，设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可．
【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为：
，
设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，
根据题意得，
解得．
答：圆柱形玻璃容器的底面半径为．
【变式7-1】（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积．
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【分析】此题考查了二次根式的应用，先分别求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，即可得到阴影部分的面积，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，两个小正方形的边长分别为，，
∴大正方形的边长为，
∴剩余部分的面积是．
【变式7-2】（23-24八年级下·陕西安康·期末）快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸箱的高相同，底面规格如表：
型号 长 宽
小号
中号
大号
已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为，，两件礼品的高都小于包装纸箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱
【答案】从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．
【知识点】二次根式的应用、无理数的大小估算
【分析】本题考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是掌握相关的知识．先根据甲、乙两件礼品的底面积分别求出底面边长，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，即可求解．
【详解】解：甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，
甲礼品的底面边长为，乙礼品的底面边长为．
，
，，
小号包装纸箱长度尺寸不够，大号包装纸箱长度尺寸偏大，中号包装纸箱长、宽尺寸适中，
从节约材料的角度考虑，应选择中号底面型号的纸箱．
【变式7-3】（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式．
海伦公式：，其中
秦九韶公式：．
(1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
（1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案；
（2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
由海伦公式，得；
（2）解：∵，，，
∴，，，
由秦九韶公式，得．
【变式7-4】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……．
则
；
；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ；
(2)猜想的结果，并证明你的猜想；
(3)令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的应用、数字类规律探索
【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到：
（1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可；
（2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可；
（3）利用（2）中点的结论，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……
∴面积记为的正方形边长为；
故答案为：；
（2）猜想，证明如下：
∵，
∴
；
（3）∵，
∴
．
【变式7-5】（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得：
（当即时，取等号），
（当且仅当时取等号）
结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值．
例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号
当时，有最小值，最小值为4.
利用以上结论完成下列问题：
(1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ；
(2)当均为正数，即时，求函数的最小值；
(3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)1，2
(2)3.
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的应用
【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键．
（1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答；
（2）把函数变形为，根据题意进行解答即可；
（3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案．
【详解】（1）解；当时，，
当且仅当即时取等号
当时，有最小值，最小值为2.
故答案为：1，2
（2）当时，函数，
∵
当且仅当即，即时取等号，
当时，有最小值，最小值为3.
（3）设，
由题意可知，，
则
则，
∴四边形面积，
当且仅当时，等号成立，
∴四边形面积的最小值为．
【变式7-6】（23-24八年级下·河南驻马店·期末） 我们学习发现∶ 当时， 有 当且仅当时取等号．
(1)求当时， 的最小值；
(2)如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用的篱笆至少需要多少m．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的应用
【分析】本题考查了配方法的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
（1）利用题目中的结论进行计算即可得出答案；
（2）设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用题目中的公式即可求得最小值．
【详解】（1），
，
的最小值为2；
（2）设花圃的长为米，宽为米，则，，，
根据题目的结论可得：，
篱笆至少需要．
【变式7-7】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为
【实例展示1】已知，求式子最小值．
解：当且仅当即时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______；
(2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
(3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】(1)4，8
(2)真分式，，4
(3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
(4)当时，分式取到最大值，最大值为
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、同分母分式加减法、二次根式的应用
【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8；
故答案为：4，8；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，的值为整数，
∴为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时，，
∴，
答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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