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专题02 相交线与平行线（十二大题型）
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题型一 余角和补角
题型二 对顶角、邻补角
题型三 点到直线的距离
题型四 垂线段最短
题型五 平行线公理
题型六 同位角，内错角和同旁内角（高频）
题型七 两直线平行的条件
题型八 利用平行线的性质求角
题型九 平行线与折叠综合
题型十 平行线的生活中的实际应用（重点）
题型十一 平行线的性质与判定综合（易错）
题型十二 平行线中常考模型（高频）
【题型1】余角和补角
1．已知与互为余角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查余角的概念及角度的计算，解题的关键是明确互余的两个角之和为，并掌握角度的度分换算规则。
根据余角的定义，用减去的度数，再进行度分的换算，从而得出的度数。
【详解】解：与互为余角，
，
．
。
，将写成，
，
，
故选：A．
2．下列图形中和互为余角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角定义，根据余角定义对各选项分析判断即可得解，熟记概念并准确识图是解题的关键．
【详解】解：A、，和不是互为余角，故选项不符合题意；
B、，和不是互为余角，故选项不符合题意；
C、和不是互为余角，故选项不符合题意；
D、，和互为余角，故选项符合题意；
故选：D．
3．如图，，平分，与互余，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题属于基础题，主要考查角的计算，角平分线的定义及互为余角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据的度数和角平分线的性质，求出，再根据与互余，求出即可．
【详解】解：，平分，
，
与互余，
，
，
故选：B．
4．一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了余角的定义，正确认识图形，熟练掌握余角定义是解题的关键．根据图形，结合已知条件，余角的定义，即可得到的度数．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
5．若，则的补角为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查补角的定义，解决本题的关键是熟练掌握单位之间的换算方法．首先将变成，再用补角的定义进行计算．
【详解】解：，
；
故答案为：．
6．钟表上的时间是5时40分，此时时针与分针所成夹角的补角是 ．
【答案】
【分析】此题考查了钟面角．根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可得出答案．
【详解】解：∵5时40分时，时针指向5和6之间，分针指向8，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，40分正好是，
∴5时40分，则时针与分针的夹角为．
此时时针与分针所成夹角的补角是，
故答案为：．
7．若与是对顶角，且，则的补角是 ．
【答案】110
【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可．
【详解】解：∵和是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∴的补角．
故答案为：．
【题型2】对顶角、邻补角
8．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义，牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
根据对顶角的性质可证得，根据角平分线的定义可求得的度数，再根据即可求得．
【详解】直线、相交于点，，
．
平分，
．
．
故选：B.
9．如图，已知直线相交于点O，，若，求的度数．
【答案】．
【分析】本题考查对顶角、角的和差，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据对顶角相等得出，再根据角的和差即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
【题型3】点到直线的距离
10．如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，，
∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为，
故选：A．
11．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解．
【详解】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；
选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意．
故选：D．
12．若点在直线上，点为直线外一点，，设点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短即可得到答案．
【详解】解：根据题意由垂线段最短得，
故选： B．
【题型4】垂线段最短
13.（24-25七年级上·河南南阳·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：C．
14.（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）如图，要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．
由题意知是点A到l的距离最短是的长度，即垂线段最短．
【详解】解：要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是垂线段最短．
故选：B．
【题型5】平行线公理
15．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（ ）

A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可求解，理解并熟记平行公理是解题的关键．
【详解】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，
故选：．
16．如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可．
【详解】解：因为，
∴．
所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
故选：C．
【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键．
【题型6】同位角，内错角和同旁内角
17．下列判断错误的是(　　)
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【答案】C
【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可．
【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、与是内错角，故此选项不符合题意；
C、与不是同旁内角，故此选项符合题意；
D、与是同位角，故此选项不符合题意．
故选：C．
18．如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
【答案】B
【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键．
【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意；
B、与是同位角，说法错误，符合题意；
C、与是内错角，说法正确，不符合题意；
D、与是内错角，说法正确，不符合题意；
故选：B．
19．如图，与是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】A
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义、对顶角的定义，根据同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截得到的两个角，分别位于截线的同侧，被截线的同侧”求解即可．
【详解】解：由图可得，和是同位角，
故选：A．
20．风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可．
【详解】A、与构成同位角，不符合题意；
B、与构成同旁内角，不符合题意；
C、与构成内错角，符合题意；
D、与构成同旁内角，不符合题意．
故选：C．
【题型7】两直线平行的条件
21．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意；
故选：C．
22．如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，故C选项不符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
∵，
∴不一定平行，故B选项符合题意，
故选：B．
23．如图，能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
利用平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】解： A．与是与被所截形成的角，若，不符合判定，故本选项不符合题意；
B．与是与被所截形成的角，当时，不能判定 ，故本选项不符合题意；
C．与是由、被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当时，可判定，故本选项符合题意；
D．与是由、被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当时，可判定，不能判定，故本选项不符合题意；
故选：C．
24．如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：因为，所以，故A不符合题意；
因为，所以，故B不符合题意；
因为，所以，故C不符合题意；
因为，所以，故D符合题意．
故选：D．
25．如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，邻补角的定义，掌握平信线的判定定理是解题关键．根据同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，逐一判断即可．
【详解】解：A、由，，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意；
B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意；
C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意；
D、不能判定，符合题意；
故选：D．
【题型8】利用平行线的性质求角
26．如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】、本题考查了平行线的性质，根据得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
27．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质和平角的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平角的定义得到，再根据平行线的性质即可得到的度数．
【详解】解：如图，
由题意可得，，
∵，
∴，
故选：C
28．将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线，之间．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确添加辅助线是解题的关键．过点作，得出，再根据证得，进而求出，再根据求出，进而求出即可解答．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
29．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，而，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
30．如图，，，若，则的度数为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到．
【详解】解： ，，
，
，
，
故答案为：．
31．如图，，直线F分别交于点E、F，平分，，则的度数为 ．
【答案】/104度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．
根据可得，由平分可得，最后根据平角的定义求解．
【详解】解：∵，
，
又 ∵平分，
，
，
故答案为：．
【题型9】平行线与折叠综合
32．如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到，．
过作，得到，推出，，由折叠的性质得到，，因此，求出，由邻补角的性质得到，因此，于是得到．
【详解】解：过作，
，
，
，，
，
由折叠的性质得到，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
33．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
34．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，点C分别落在点，点的位置，与交于点G．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，折叠得到，即可得出结果．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∴，
∵折叠，
∴；
故选A．
35．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，平行线的性质，先由折叠的性质得到，再由角平分线的性质得，进而可得，再由长形的性质和平行线的性质得，即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是长方形，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型10】平行线的生活中的实际应用
36．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：A．
37．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质．由得到，则，由得到，最后由可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的即，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
38．如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地在A地的北偏东的方向上，那么从B地测得C地在B地的（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏西
【答案】D
【分析】根据方向角的概念和平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴∠ABE=∠FAB=43°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBD=180°-∠ABC -∠ABE=47°，
∴C地在B地的北偏西47°的方向上．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方位角，平行线的性质．正确理解角度间的关系求出能表示点位置的方位角是解题的关键．
39．为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质的应用；过点E作，则；利用两线平行，同旁内角互补可分别求得的度数，从而可求解．
【详解】解：如图，过点E作，
∵，
∴；
∴，
∴，
∴；
故选：D．
40．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ．
【答案】/66度
【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：．
41．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
【答案】64
【分析】本题考查了平行线的性质，由对顶角相等得到，求出，再根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【题型11】平行线的性质与判定综合
42．如图，E为上一点，F为上一点，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
由（1）可知，，
43．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用．
（1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论；
（2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
44．如图，于，于，，可得平分，
解：理由如下：∵于，于（已知），
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
，（ ）
又∵（已知），
∴（ ）
∴平分（ ）
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线定义
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，垂直、角平分线的定义等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．依据平行线的判定与性质，垂直、角平分线的定义等知识进行解答即可．
【详解】解：∵于，于（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴平分（角平分线定义）．
45．如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据，得出，再由平行线的性质得出，进而求出的度数；
（2）根据，得出，得，再由，得出，由此可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
又∵，
∴．
即．
（2）证明：∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【题型12】平行线中常考模型
46．“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数．（提示：过点作）
【拓展延伸】已知，点为之外任意一点．
（1）如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果．
【答案】；（1）；（2）
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可知，进而可求解；
（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论．
【详解】解：过点作，
∵
∴
∴
∵
∴，
∵
∴，
即，
故答案为：．
（1），
理由如下：过点作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2），
理由如下：过点作，则，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键．
47．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，，，
，，
，
．
48．已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
(3)
【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线．
（1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案；
（2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系；
（3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系．
【详解】（1）解：如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：，理由见解析，
如图：过点作，过点作，过点作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
49．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由．
小铭同学发现，并给出了部分理由．
如图，过点作，
因为，，
所以，
…；
(1)请将上面的说理过程补充完整；
(2)如图2，若，∠，．则　 　；
【方法运用】
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
(4)如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据平行线的判定与性质求解即可；
（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，，
，
，，
；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（3），理由如下：
如图3，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图4，
由知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
， ，
，
在四边形中，，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．专题02 相交线与平行线（十二大题型）
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题型一 余角和补角
题型二 对顶角、邻补角
题型三 点到直线的距离
题型四 垂线段最短
题型五 平行线公理
题型六 同位角，内错角和同旁内角（高频）
题型七 两直线平行的条件
题型八 利用平行线的性质求角
题型九 平行线与折叠综合
题型十 平行线的生活中的实际应用（重点）
题型十一 平行线的性质与判定综合（易错）
题型十二 平行线中常考模型（高频）
【题型1】余角和补角
1．已知与互为余角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中和互为余角的是（ ）
A．B．C． D．
3．如图，，平分，与互余，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ．
5．若，则的补角为 ．
6．钟表上的时间是5时40分，此时时针与分针所成夹角的补角是 ．
7．若与是对顶角，且，则的补角是 ．
【题型2】对顶角、邻补角
8．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知直线相交于点O，，若，求的度数．
【题型3】点到直线的距离
10．如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
11．下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（ ）
A．B．C．D．
12．若点在直线上，点为直线外一点，，设点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4】垂线段最短
13.（24-25七年级上·河南南阳·期末）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
14.（24-25七年级下·山西晋中·阶段练习）如图，要把小河里的水引到田地A处，则作，垂足为B，沿挖水沟，水沟最短，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【题型5】平行线公理
15．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（ ）

A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等
C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
16．如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【题型6】同位角，内错角和同旁内角
17．下列判断错误的是(　　)
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
18．如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
19．如图，与是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
20．风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成内错角的是（ ）
A． B． C． D．
【题型7】两直线平行的条件
21．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
22．如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，能判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
25．如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8】利用平行线的性质求角
26．如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
28．将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线，之间．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，，，若，则的度数为 ．

31．如图，，直线F分别交于点E、F，平分，，则的度数为 ．
【题型9】平行线与折叠综合
32．如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
34．如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，点C分别落在点，点的位置，与交于点G．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
35．如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点．为上一点，连接，若，平分，则 ．
【题型10】平行线的生活中的实际应用
36．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ）
A． B． C． D．
37．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
38．如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地在A地的北偏东的方向上，那么从B地测得C地在B地的（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏西
39．为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
40．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ．
41．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
【题型11】平行线的性质与判定综合
42．如图，E为上一点，F为上一点，连接、，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
43．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
44．如图，于，于，，可得平分，
解：理由如下：∵于，于（已知），
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
，（ ）
又∵（已知），
∴（ ）
∴平分（ ）
45．如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【题型12】平行线中常考模型
46．“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数．（提示：过点作）
【拓展延伸】已知，点为之外任意一点．
（1）如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果．
47．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
48．已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
49．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由．
小铭同学发现，并给出了部分理由．
如图，过点作，
因为，，
所以，
…；
(1)请将上面的说理过程补充完整；
(2)如图2，若，∠，．则　 　；
【方法运用】
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
(4)如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．

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