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专题03 概率初步（七大题型）
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题型一 事件的类型
题型二 可能性大小
题型三 频率估计概率（高频）
题型四 概率公式（高频）
题型五 几何概率
题型六 用列举法或树状图求概率（高频）
题型七 游戏的公平性
【题型1】事件的类型
1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
C．任意一个五边形的外角和等于
D．正月十五打雪灯
2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）在下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，加热到时，水沸腾
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6
D．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）有两个事件，事件（1）走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋；（2）射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（　　）
A．（1）是随机事件，（2）是确定性事件． B．（1）（2）都是确定性事件．
C．（1）是确定性事件，（2）是随机事件． D．（1）（2）都是随机事件．
4．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．13个人中至少有两个人出生月份相同
B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．2025年有366天
5．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列事件是随机事件的是（　）
A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除
B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球
【题型2】可能性大小
6．（2025七年级下·全国·专题练习）从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
7．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（ ）
A．第6次摸取到的一定是黄球
B．第6次摸取到的可能还是黄球
C．第6次摸取到的一定是红球
D．第6次摸取到红球的可能性更大
8．（2022九年级·浙江·专题练习）不透明的袋子中装有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．2个球都是白球 B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球 D．2个球中有黑球
9．（23-24九年级上·河南周口·期末）在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．24个 B．22个 C．20个 D．16个
10．（23-24八年级上·北京房山·期末）在件同种产品中，有件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）一个不透明的袋子里有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸到红球的可能性比摸到白球的可能性 ．（填“大”“小”或“相同”）
【题型3】频率估计概率
12．（24-25九年级上·广东河源·期末）一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ．（结果精确到0.01）
累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410
14．（24-25九年级上·浙江台州·期末）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷总次数
杯口朝上的频数
杯口朝上的频率
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为 （结果精确到）
15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色、蓝色小球共个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制“摸出球为红色”的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为 个．
16．（23-24九年级上·山东济南·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ．
17．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和2个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球有 个．
【题型4】概率公式
18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25九年级上·陕西西安·期末）向空中抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25九年级上·广东云浮·期末）不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是（ ）
A． B． C． D．
21．（22-23七年级下·四川达州·期末）有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25九年级上·广东潮州·期末）一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为 ．
【题型5】几何概率
23．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母A和B，标有A的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率为 ．
24．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小亮同学用正方形做了如图所示的七巧板，他用激光笔指着七巧板讲解每个图形性质的时候，激光笔射出的小红点落到七巧板上的任意位置，则它落在阴影部分的概率为 ．
25．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图是的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是
26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是 ．

【题型6】用列举法或树状图求概率
28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）甲队参加某次足球邀请赛，积分计算规则如下：每场比赛获胜的球队积3分，失利的球队积0分，平局则两队各积1分．
(1)若甲队第一场比赛获胜，请写出第二场比赛后，甲队两场比赛总积分所有可能的结果；
(2)请列表或用树状图分析，甲队两场比赛后总积分为4分的概率．
29．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去．
(1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____；
(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率．
【题型7】游戏的公平性
30．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘)
(1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ；
(2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
31．（24-25九年级上·广东清远·期末）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．
(2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．
32．（23-24九年级上·山东滨州·期末）一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母A，另外两个都标有字母B，除所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢．请问这个游戏规则对双方公平吗？试说明理由．
33．（21-22九年级上·云南昭通·期末）小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3．游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．

(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果．
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由，
34．（24-25九年级上·河北保定·期末）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同．
(1)嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率．
(2)若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由．专题03 概率初步（七大题型）
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题型一 事件的类型
题型二 可能性大小
题型三 频率估计概率（高频）
题型四 概率公式（高频）
题型五 几何概率
题型六 用列举法或树状图求概率（高频）
题型七 游戏的公平性
【题型1】事件的类型
1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
C．任意一个五边形的外角和等于
D．正月十五打雪灯
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，则此项不符合题意；
B、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件，则此项符合题意；
C、因为任意一个五边形的外角和等于，所以任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，则此项不符合题意；
D、正月十五打雪灯，是随机事件，则此项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）在下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，加热到时，水沸腾
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6
D．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
【答案】C
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A. 标准大气压下，加热到时，水沸腾，是必然事件，故该选项不符合题意；
B. 任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C. 掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是6，是随机事件，故该选项符合题意；
D. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选C．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）有两个事件，事件（1）走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋；（2）射击运动员射击一次，命中靶心．下列判断正确的是（　　）
A．（1）是随机事件，（2）是确定性事件． B．（1）（2）都是确定性事件．
C．（1）是确定性事件，（2）是随机事件． D．（1）（2）都是随机事件．
【答案】D
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握其概念并能正确判断是解决此题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：对于事件（1）：走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋，是随机事件；
对于事件（2）：射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件．
故选：D．
4．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．13个人中至少有两个人出生月份相同
B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．2025年有366天
【答案】A
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．
【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意；
B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意，
故选：A．
5．（24-25八年级上·北京石景山·期末）下列事件是随机事件的是（　）
A．从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除
B．用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D．在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球
【答案】C
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，一定会发生的事件叫做必然事件，据此可得答案．
【详解】解：A、从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除是必然事件，不符合题意；
B、∵，
∴用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意；
C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意；
D、在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
【题型2】可能性大小
6．（2025七年级下·全国·专题练习）从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
【答案】D
【分析】本题考查了可能性的大小，找到个数最少的球即可确定正确的选项，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率．
【详解】解：∵所有的球中黑球最少，
∴摸出黑球的可能性最小，
故选：D．
7．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（ ）
A．第6次摸取到的一定是黄球
B．第6次摸取到的可能还是黄球
C．第6次摸取到的一定是红球
D．第6次摸取到红球的可能性更大
【答案】B
【分析】本题考查了随机事件以及事件发生可能性的大小，理解事件可能性大小是解题的关键；
根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项，即可求解；
【详解】解：∵不透明的袋子中有2个红球、个黄球，
∴每次摸球摸到红球概率为，每次摸球摸到黄球概率为；
A、第6次摸取到的一定是黄球，错误，第6次摸取到的不一定是黄球，也有可能是红球；
B、第6次摸取到的可能还是黄球，正确；
C、第6次摸取到的一定是红球，错误，第6次摸取到的不一定是红球，也有可能是黄球；
D、第6次摸取到红球的可能性更大，错误，第6次摸取到黄球的可能性更大；
故选：B；
8．（2022九年级·浙江·专题练习）不透明的袋子中装有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A．2个球都是白球 B．2个球都是黑球
C．2个球中有白球 D．2个球中有黑球
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、2个球都是白球，是随机事件，不符合题意；
B、2个球都是黑球，是随机事件，不符合题意；
C、2个球中有白球，是必然事件，符合题意；
D、2个球中有黑球，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了必然事件的判断，掌握随机事件、必然事件和不可能事件的定义是解答本题的关键．
9．（23-24九年级上·河南周口·期末）在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．24个 B．22个 C．20个 D．16个
【答案】D
【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此列式计算即可求解．
【详解】解：．
故选：D
10．（23-24八年级上·北京房山·期末）在件同种产品中，有件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
【答案】
【分析】本题考查了简单事件概率的计算，从中任意取出一件总共有种情况，其中是次品有种情况，用除以即可求解，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：∵从中任意取出一件总共有种情况，其中是次品有种情况，
∴他取出次品的可能性大小是，
故答案为：．
11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）一个不透明的袋子里有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸到红球的可能性比摸到白球的可能性 ．（填“大”“小”或“相同”）
【答案】小
【分析】根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”直接确定答案即可．
【详解】解：∵袋子里有3个红球和5个白球，
∴红球的数量小于白球的数量，
∴从中任意摸出1只球，是红球的可能性小于白球的可能性．
故答案为：小．
【点睛】本题考查了可能性的大小，可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等，掌握“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”是解题的关键．
【题型3】频率估计概率
12．（24-25九年级上·广东河源·期末）一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
【答案】C
【分析】本题考查了频率估算数量，掌握频率的计算方法是解题的关键．
根据题意，共试验200次，其中有120次摸到白球，得到摸出白球的频率，由此即可求解．
【详解】解：共试验200次，其中有120次摸到白球
∴摸出白球的频率为，
∵不透明的盒子中装有红球和白球共20个，
∴白球的数量为,
故选：C ．
13．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ．（结果精确到0.01）
累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410
【答案】0.41
【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可．
【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41；
故答案为0.41．
14．（24-25九年级上·浙江台州·期末）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷总次数
杯口朝上的频数
杯口朝上的频率
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率为 （结果精确到）
【答案】
【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．
【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为，
故答案为：
15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色、蓝色小球共个，摇匀后摸出一个球，记下颜色后放回，继续摇匀摸球，经过大量重复试验后，绘制“摸出球为红色”的频率折线统计图（如图）．请估计盒中装入红色小球的个数约为 个．
【答案】
【分析】本题考查了由频率估计概率．由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于，
摸到红球的概率为，
红球的个数为：（个），
故答案为：．
16．（23-24九年级上·山东济南·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
17．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和2个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，估计袋中红球有 个．
【答案】3
【分析】根据频率估计概率，再利用概率求出数量．
【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，
∴P（摸到红球），
设有个红球，
则：，
∴；
∴红球有个；
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键．
【题型4】概率公式
18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的个黄球，个红球，则任意摸出一球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．
根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意得任意摸出一球是红球的概率是，
故选：C．
19．（24-25九年级上·陕西西安·期末）向空中抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，明确概率的意义及计算方法是解题的关键．
直接利用概率的意义分析得出答案．
【详解】解：∵抛掷一枚硬币只有两种情况：正面朝上或反面朝上，
∴硬币落地后正面朝上的概率为．
故选：D．
20．（24-25九年级上·广东云浮·期末）不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，由题意可知一共有5枚棋子，黑棋有2枚，然后根据公式求解即可．
【详解】根据题意，有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，
∴从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，
故选：C．
21．（22-23七年级下·四川达州·期末）有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出五条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概率．
【详解】解：所有的情况有：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，共种，其中能构成三角形的有：，，；，，；，，，共种，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了列举法求概率，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22．（24-25九年级上·广东潮州·期末）一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，黑球个数除以总个数即可算得黑球的概率．
【详解】解：根据题意，布袋中装有个球，其中个黑球，
则摸出的球是黑球的概率是．
故答案为：
【题型5】几何概率
23．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，可以自由转动的转盘被分成两个扇形区域，分别标有字母A和B，标有A的扇形圆心角的度数为，自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率为 ．
【答案】//
【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=这个事件所占有的面积与总面积之比．根据几何概率的求法，用标有A的扇形的面积除以转盘的面积，根据扇形的面积公式，标有A的扇形的面积与转盘的面积之比等于标有A的扇形圆心角的度数与之比．
【详解】解：自由转动转盘，指针落在标有A的扇形区域内的概率，
故答案为：．
24．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小亮同学用正方形做了如图所示的七巧板，他用激光笔指着七巧板讲解每个图形性质的时候，激光笔射出的小红点落到七巧板上的任意位置，则它落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率和七巧板，根据七巧板对应图的面积，结合概率公式即可得到结果．
【详解】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故它落在阴影部分区域的概率为，
故答案为：．
25．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图是的正方形网格飞镖游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是
【答案】
【分析】本题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
根据几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：由题意得：一个阴影小三角形的面积为，
则阴影部分面积为，
正方形网格的面积为，
任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是，
故答案为：．
26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，黑色方砖的面积为5，因此黑色方砖占整体的，
所以小球最终停留在黑色方砖上的概率是，
故答案为：．
27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中空白区域的概率是 ．

【答案】
【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比几何概率．
击中空白区域的概率等于空白区域面积与正方形总面积之比．
【详解】解：设小正方形的面积为，
∵飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，
∴飞镖游戏板的面积为，空白区域的面积为，
∴随意投掷一个飞镖，击中空白区域的概率为：．
故答案为：．
【题型6】用列举法或树状图求概率
28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）甲队参加某次足球邀请赛，积分计算规则如下：每场比赛获胜的球队积3分，失利的球队积0分，平局则两队各积1分．
(1)若甲队第一场比赛获胜，请写出第二场比赛后，甲队两场比赛总积分所有可能的结果；
(2)请列表或用树状图分析，甲队两场比赛后总积分为4分的概率．
【答案】(1)甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分
(2)
【分析】本题考查列举法，列表法求概率：
（1）列举法进行求解即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：甲队第一场比赛获胜，积3分；
若第二场比赛获胜，甲队总积分为分；
若第二场比赛打平，甲队总积分为分；
若第二场比赛失利，甲队总积分为分；
综上：甲队两场比赛总积分所有可能的结果为分，分，分；
（2）由题意，列表如下：
0 1 3
0 0 1 3
1 1 2 4
3 3 4 6
共9种等可能的结果，其中结果为4分的情况有2种，
∴．
29．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去．
(1)松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____；
(2)请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键．
（1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率．
【详解】（1）解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，
∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是，
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种，
∴松鼠经过门出去的概率是
【题型7】游戏的公平性
30．（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘)
(1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ；
(2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，见解析
【分析】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键．
（1）先求出盘的数字3扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答；
（2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答．
【详解】（1）解：转盘被分成面积相等的三个扇形，盘中数字3所对扇形区域的圆心角为，
盘中数字3所对扇形区域占整体的，
∴转动转盘B，指向的数字为3的概率是，
故答案为：；
（2）解：不公平
如图，将盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
这样指向每个区域的可能性相同
列表得
AB 1 2 2 2
3 4 5 5 5
4 5 6 6 6
5 6 7 7 7
共有12种等可能结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种，
∴，
所以游戏不公平．
31．（24-25九年级上·广东清远·期末）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
(1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．
(2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，见解析
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种，
两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为．
故答案为：
（2）解：上述游戏公平，理由如下：
两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，
∴小强胜的概率为
小刚胜概率为
∴上述游戏公平
32．（23-24九年级上·山东滨州·期末）一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母A，另外两个都标有字母B，除所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢．请问这个游戏规则对双方公平吗？试说明理由．
【答案】这个游戏规则对双方不公平，理由见解析
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，游戏的公平性．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先根据题意利用列表法得到所有可能出现的情况，再根据概率公式求出小明赢和小刚赢的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【详解】解：列表如图所示：
A B B
A
B
B
∵共有9种等可能的情况数，其中两次摸出的小球所标字母相同的有5种，所标字母不同的有4种，
∴小明赢的概率是，小刚赢的概率是，
∵，
∴这个游戏规则对双方不公平．
33．（21-22九年级上·云南昭通·期末）小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3．游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．

(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果．
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由，
【答案】(1)见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查画树状图或列表法表示事件的等可能性，简单概率计算．
（1）根据题意列表法表示即可；
（2）根据（1）中列表计算出现的概率是否一致来判断是否公平即可．
【详解】（1）解：根据题意，列表如下：

由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同．
（2）解：不公平，理由如下：
由（1）中表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种，积为奇数的有4种，则小明胜的概率是，小亮胜的概率是．
，
这个游戏不公平．
34．（24-25九年级上·河北保定·期末）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，每个袋子里的小球除数字不同外其余都相同．
(1)嘉嘉先从甲袋任意摸出一个小球，再从乙袋任意摸出一个小球，求两次都摸到数字为2的小球的概率．
(2)若游戏规则为：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．淇淇先从乙袋任意摸出一个小球，再从甲袋任意摸出一个小球，嘉嘉按照（1）中的方式参与游戏，谁获奖的可能性更大？说明你的理由．
【答案】(1)
(2)嘉嘉获奖的可能性更大，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．
（1）画树状图得出所有等可能结果，找出其中两次都摸到数字为2的小球的结果再根据根据概率公式计算即可；
（2）分别树形法求出嘉嘉和淇淇各自方式的概率即可得出答案．
【详解】（1）解：嘉嘉摸球，画树状图如下：
共6种等可能的结果，其中两次都摸到数字为2的小球的结果只有1种，
（两次都摸到数字为2的小球）．
（2）嘉嘉获奖的可能性更大．理由如下：
嘉嘉摸球，由（1）中树状图可知共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数字的结果共有3种，
（嘉嘉获奖）．
淇淇摸球，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中第一个袋子中摸出小球的数字小于第二个袋子中摸出小球的数
字的结果共有2种，
（淇淇获奖）．
嘉嘉获奖的可能性更大．

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