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专题04 三角形（九大题型）
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题型一 三角形的三边关系（高频）
题型二 三角形的稳定性的应用
题型三 三角形的角平分线和高的有关运算
题型四 利用三角形的中线性质求面积（高频）
题型五 三角形的内角和有关计算
题型六 全等三角形的外角有关计算
题型七 添加条件使三角形全等（高频）
题型八 全等三角形的性质与判定（高频）
题型九 全等三角形综合（重点）
【题型1】三角形的三边关系
1．（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（24-25八年级上·吉林·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
4．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】三角形的稳定性的应用
5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）用几根细木条首尾相连构造下列图形，具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．梯形 C．钝角三角形 D．正六边形
6．（24-25八年级上·广西防城港·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条来防止窗框变形，你认为这样做的理由是（ ）
A．让窗框更得加美观 B．两点之间线段最短
C．四边形具有稳定性 D．三角形具有稳定性
7．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段最短
8．（24-25八年级上·河南安阳·期末）安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【题型3】三角形的角平分线和高的有关运算
9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．9
12．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长．
13．（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数．
【题型4】利用三角形的中线性质求面积
14．（24-25八年级上·北京丰台·期末）能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．三角形的一条高 B．三角形的一条中线
C．三角形的一条角平分线 D．三角形一边的垂直平分线
15．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，把的各边延长2倍至，，，那么的面积是的面积的（ ）
A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍
16.（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，是内一点，且平分，，连接，若的面积为，那么的面积是 .

【题型5】三角形的内角和有关计算
18．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足．
(1)，是否平行？说明理由．
(2)若平分，，求度数．
20．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点．
(1)请说明的理由；
(2)若，求的度数；
(3)若，求证：．
21．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【题型6】全等三角形性质的有关计算
22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．9 B．4 C．5 D．6
23．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
24．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，点在上， ，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
26．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ．
27．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ．
【题型7】添加条件使三角形全等
28．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，和相交于点O，若，仍无法判定的是（　　）
A． B． C． D．
29．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在 和 中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
31．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
32．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，添加以下条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知，垂足分别为E，F，下列条件：①；②；③；④，选择一个就可以判定的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【题型8】全等三角形性质与判定的综合
34．（22-23八年级下·广东清远·期中）在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
35．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
36．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
37．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F．
(1)试说明．
(2)求的度数．
38．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【题型9】全等三角形综合
39．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（ ）
A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
40．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
41．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
42．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．
(1)求点、的坐标；
(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．
①求证：．
②试求点的坐标．
(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
43．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】
在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：
活动2 用全等三角形研究：“筝形”
如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形；
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，．求证：．
证明：
（3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____．
【应用拓展】
（4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积．
44．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
45．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知，平分，平分，
(1)求的度数．
(2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：；
(3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积．专题04 三角形（九大题型）
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题型一 三角形的三边关系（高频）
题型二 三角形的稳定性的应用
题型三 三角形的角平分线和高的有关运算
题型四 利用三角形的中线性质求面积（高频）
题型五 三角形的内角和有关计算
题型六 全等三角形的外角有关计算
题型七 添加条件使三角形全等（高频）
题型八 全等三角形的性质与判定（高频）
题型九 全等三角形综合（重点）
【题型1】三角形的三边关系
1．（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【详解】解：、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、，
长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级上·吉林·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴能组成三角形，该选项符合题意；
故选：．
3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
由等腰三角形的定义及三角形三边之间的关系可得，若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则只能是为腰，为底边，由此即可求出它的周长．
【详解】解：，
若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则只能是为腰，为底边，
其周长，
故选：．
4．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．
【详解】解：设第三边长度为，
则第三边的取值范围是，
只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键．
【题型2】三角形的稳定性的应用
5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）用几根细木条首尾相连构造下列图形，具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．梯形 C．钝角三角形 D．正六边形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键,根据三角形具有稳定性即可判断求解．
【详解】解：三角形具有稳定性，其他多边形没有，
故选：C．
6．（24-25八年级上·广西防城港·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条来防止窗框变形，你认为这样做的理由是（ ）
A．让窗框更得加美观 B．两点之间线段最短
C．四边形具有稳定性 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：D．
7．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形的稳定性．
由三角形具有稳定性即可得到答案．
【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性，
故选：A．
8．（24-25八年级上·河南安阳·期末）安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：安装空调外机一般会采用如图所示的方法固定，其根据的几何原理是三角形的稳定性，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，三角形的稳定性及应用等知识点，熟练掌握三角形的稳定性及应用是解题的关键．
【题型3】三角形的角平分线和高的有关运算
9．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
故选项A结论正确，不符合题意；
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选项B结论正确，不符合题意；
∵是的中线，
∴，
∴，
即，
故选项C结论正确，不符合题意；
∵是的角平分线，无法判定是的中线，
∴选项D结论错误，符合题意；
故选：D．
10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，、、分别是的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．解答本题的关键是掌握三角形的中线、高线及角平分线的意义，根据上述知识逐项进行判断即可．
【详解】解：A、是的中线，
，
而与不一定相等，
故说法错误，不符合题意；
B、是的高线，
，
在中，，
，
故说法错误，不符合题意；
C、是的角平分线，
，
而与不一定相等，
故说法错误，不符合题意；
D、是的中线，
，
又，，
，
，
．
故说法正确，符合题意；
故选：D．
11．（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．9
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键．
根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：是的中线，
，
，，
．
故选：C．
12．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长．
【答案】
【分析】本题考查与三角形高有关的计算，先利用三角形的面积求出，然后利用线段中点的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：，△的面积为20，
，
，
，
点为边上的中点，
．
13．（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，与分别是的角平分线和高．若，，求度数．
【答案】
【分析】三角形内角和求出的度数，角平分线求出的度数，互余关系求出的度数，利用，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴ ．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵为的角平分线，
∴．
∴．
【点睛】本题考查含角平分线的三角形的内角和的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
【题型4】利用三角形的中线性质求面积
14．（24-25八年级上·北京丰台·期末）能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．三角形的一条高 B．三角形的一条中线
C．三角形的一条角平分线 D．三角形一边的垂直平分线
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中线，由等底同高的三角形面积相等即可判断；理解三角形的中线是解题的关键．
【详解】解：A.三角形的一条高将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意；
B.由等底同高的三角形面积相等得，三角形的一条中线将任意一个三角形分成的两部分积一定相等，结论正确，故符合题意；
C.三角形的一条角平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意；
D.三角形一边的垂直平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意；
故选：B．
15．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，把的各边延长2倍至，，，那么的面积是的面积的（ ）
A．4倍 B．7倍 C．19倍 D．20倍
【答案】C
【分析】本题考查了等底同高三角形面积的关系，熟练掌握等底同高三角形面积的关系是解题的关键．
连接，，，根据等底同高三角形面积之比等于底边之比求解即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，，
∵的各边延长2倍至，，，
∴，，，，，，
∴
，
故选：C．
16.（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵与等高，，
∴，
∵与等高，点是的五等分点，
∴，
故选：．
17．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，是内一点，且平分，，连接，若的面积为，那么的面积是 .

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积，解题的关键是掌握相关的知识．延长交于点，证明，得到，和是等底等高的三角形，进而得到，即可求解．
【详解】解：延长交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，，
和是等底等高的三角形，
，
，
故答案为：．
【题型5】三角形的内角和有关计算
18．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
故选D．
19．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足．
(1)，是否平行？说明理由．
(2)若平分，，求度数．
【答案】(1)平行
(2)
【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点．
（1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据角平分线定义可得，结合可得．
【详解】（1）结论：平行，
∵，
，
∴，
∴．
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：如图，平分，平分交于点，交于点．
(1)请说明的理由；
(2)若，求的度数；
(3)若，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解．
【详解】（1）解：平分，
．
，
，
：
（2）解：平分，，
，
，
；
（3）证明：由得，
，
平分平分，
，
，
．
21．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得；
（2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∵，
∴．
【题型6】全等三角形性质的有关计算
22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．9 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
23．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得：，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：C．
24．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，点在上， ，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等．
由 得，进而可得，利用线段的和差即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
．
故选C．
26．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再结合线段的和差可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：
27．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，，
∴，，，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①当时，
，，
∴，，
解得，；
②当时，
，，
∴，，
解得，，
综上所述，的值是1或，
故答案为：1或
【题型7】添加条件使三角形全等
28．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，和相交于点O，若，仍无法判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：在与中，
A、∵，，，
∴，正确；
B、由，，，
不能判定，符合题意；
C、∵，，，
∴，正确；
D、∵，，，
∴，正确，
故选：B．
29．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、在和中，
∴，原选项不符合题意；
、在和中，
∴，原选项不符合题意；
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意；
、添加，又，，都无法判定，原选项符合题意；
故选：．
30．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在 和 中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知得，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
、当，时，，，
∴由可得，该选项不合题意；
、当，时，由可得，该选项不合题意；
、当，时，由两边及一边的对角相等不能得到，该选项符合题意；
、当，时，由可得，该选项不合题意；
故选：．
31．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐个判定即可．能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项不符合题意；
B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项不符合题意；
C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故此选项符合题意；
D．∵，
∴，
即，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故此选项不符合题意．
故选：C．
32．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，添加以下条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定法则即可得出答案，掌握全等三角形的判定法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴当不能判定，故A选项符合题意；
当，根据能判定，故B选项不符合题意；
当，根据能判定，故C选项不符合题意；
当，根据能判定，故D选项不符合题意；
故选：A．
33．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知，垂足分别为E，F，下列条件：①；②；③；④，选择一个就可以判定的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：，，，．根据相关判断判定方法逐项判断，即可解题．
【详解】解： 于点E，于点F，
，
，，
；
故①可以判定；
，
，
，，
；
故②可以判定；
，，，
；
故③可以判定；
，
，即，
，，
；
故③可以判定；
综上所述，①②③④可以判定；
故选：D．
【题型8】全等三角形性质与判定的综合
34．（22-23八年级下·广东清远·期中）在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形等边对等角．
（1）利用即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数．
【详解】（1）证明：∵，D为延长线上一点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：在中，，，
，
由（1）得：，
，
为的外角，
，
．
35．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据证明即可；
（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
．
36．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： ，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
．
37．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）如图，和都是等边三角形，旋转后能与重合，与相交于点F．
(1)试说明．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形性质和判定，旋转性质，对顶角，三角形外角性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
（1）根据等边三角形性质推出，求出，根据证即可；
（2）根据等边三角形性质推出，根据三角形外角性质推出，求出的度数，根据对顶角相等求出即可．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，
，
即，
在和中
，
．
（2）证明：如图，与交于点G，
，
，
，
，
，
，
．
38．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明；
（2）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可．
本题考查了三角形内角和性质以及全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，全等三角形的面积相等．
【详解】（1）解：
，，
，
，
，
而，
；
（2）解：，，
，
∵，
，
．
【题型9】全等三角形综合
39．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（ ）
A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．
【详解】解：如图所示，连接，
∵于点于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵与不一定相等，
∴与不一定全等，故②错误；
延长到点G，使，连接，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∴平分，故③⑤正确；
若平分，而，
∴，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C.
40．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质，即可推出，可得，，即可推出，然后可得，即可推出．
【详解】解：，，
和为等边三角形，
，
，
则在和中，，
，故①符合题意；
，
则在和中，，
，故②符合题意；
，
则在和中，，
，故③符合题意；
但不一定成立，故④不符合题意；
故选：B．
41．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴平分
故①正确；
∵，且，
∴；
故④正确；
∵，
∴A、D都在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
故⑤正确；
∵，
∴，
故②正确；
若平分，则E应为中点，由条件无法得出，
故③不正确；
综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个，
故选：C．
42．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．
(1)求点、的坐标；
(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．
①求证：．
②试求点的坐标．
(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)①见解析；②
(3)的值不发生改变，等于4
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）根据平方根和平方的非负性即可求出答案；
（2）①根据坐标得到，再通过等角的余角相等证明和，即可证明结论；
②由①得到，即可求出答案；
（3）连接，证明，得到他们的面积相等，即可得到，即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
；
点的坐标为，点的坐标为；
（2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：，
，
点的坐标为；
（3）解：的值不发生改变，等于4，
理由如下：如图，连接，
为的中点，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
43．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【教材呈现】
在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：
活动2 用全等三角形研究：“筝形”
如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形；
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，．求证：．
证明：
（3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____．
【应用拓展】
（4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4）
【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边四边形的定义进行画图即可；
（2）根据证明即可得到结论；
（3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系；
（4）根据进行计算即可．
【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求；
（2）证明：如图2，连接，在与中，
，
；
（3）；；
由（2）可得，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（4）四边形是筝形，
，
．
44．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)16
【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明；
（2）根据，可得，根据即可求解．
【详解】（1）证明：若①
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
若②
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
若③
∵DE，DF分别是 和 高
∴
在和中
∵
∴
（2）解：∵
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
45．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）已知，平分，平分，
(1)求的度数．
(2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：；
(3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
（2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论；
（3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交于F，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为8．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

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