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专题05 轴对称图形（七大题型）
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题型一 轴对称图形的识别（高频）
题型二 折叠问题
题型三 垂直平分线的性质（高频）
题型四 垂直平分线的判定
题型五 角平分线性质应用（重点）
题型六 作图-垂直平分线与角平分线
题型七 最短路径问题（重点）
【题型1】轴对称图形的识别
1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·青海海西·二模）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【题型2】折叠问题
4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
6．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，将一张长方形的纸条沿折叠，若折叠后，交于点，则的度数是 ．
8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ．
9．（24-25七年级下·上海·期中）如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么 ．
10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ．
【题型3】垂直平分线的性质
12．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（ ）

A． B． C． D．
13．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ．
16．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 ．
【题型4】垂直平分线的判定
17．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
18．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
19．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点．
(1)证明：是线段的垂直平分线；
(2)若，求的度数．
20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O．
(1)证明：；
(2)证明：垂直平分．
21．（24-25八年级上·河南安阳·期末）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
(2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
(3)如图，若，，求筝形的面积．
22．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若的面积为8，，求的长．
【题型5】角平分线性质应用
23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　）
A．8 B．12 C．18 D．30
24．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ）
A． B． C． D．无法确定
25．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ．
27（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ．
【题型6】作图-垂直平分线与角平分线
28．（2025·广西南宁·一模）如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若．求证：．
29．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，．
(1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等；
(2)若，，，求点到的距离．
30．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
31．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在内部求作一点，使，且；
(2)连接，若，求的大小．
【题型7】最短路径问题
32．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．10 D．14
34．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ．
35．（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
36．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．专题05 轴对称图形（七大题型）
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题型一 轴对称图形的识别（高频）
题型二 折叠问题
题型三 垂直平分线的性质（高频）
题型四 垂直平分线的判定
题型五 角平分线性质应用（重点）
题型六 作图-垂直平分线与角平分线
题型七 最短路径问题（重点）
【题型1】轴对称图形的识别
1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： C．
2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2025·青海海西·二模）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解即可．熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【题型2】折叠问题
4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键．
根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减掉即可得的度数．
【详解】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选C．
5．（2025·山西临汾·二模）利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线，下列说理中错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点的直线，根据平行线的判定方法求解．
【详解】解：如图，
由题图（2）的操作可知，
所以，
由题图（3）的操作可知，
所以，
所以，
所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定，
故选：C．
6．（24-25七年级下·天津·期中）如图，的周长为，把的边对折，使顶点C和点A重合，折痕交于D，交于E，连接，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，则可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：D．
7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，将一张长方形的纸条沿折叠，若折叠后，交于点，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、由平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案；正确观察图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵将一张长方形的纸条沿折叠，，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数是．
故答案为：．
8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可．
【详解】解：由折叠性质可知，，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·上海·期中）如图，长方形的四个内角都是，点在上，将沿翻折得到，点与点对应，如果比大，那么 ．
【答案】/72度
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，设，则，，由折叠的性质可得，，求出，由平行线的性质可得，，计算即可得解．
【详解】解：设，则，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则
【答案】
【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题的关键是利用翻折的性质得到角之间的等量关系，再结合平行线的性质建立关于的等式．
先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解．
【详解】沿翻折到的位置，
．
将沿翻折到的位置，
，
．
，
．
故答案为：．
11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
【题型3】垂直平分线的性质
12．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为，则可求得答案．解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为．
故选：B．
13．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案．
【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点．
故选：C．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：平分，，，
，
的面积，
故选：C．
15．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键．
根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，垂直平分，
，
．
故答案为：
16．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可
【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段
∵的周长为21，
故答案为：12．
【题型4】垂直平分线的判定
17．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明；
（2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长．
【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴的周长．
18．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点在边的垂直平分线上，理由见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论；
（2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
19．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点．
(1)证明：是线段的垂直平分线；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键．
（1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵点是中点，
∴，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O．
(1)证明：；
(2)证明：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，分别是和的高，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
点、在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
21．（24-25八年级上·河南安阳·期末）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
(2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
(3)如图，若，，求筝形的面积．
【答案】(1)垂直平分，
(2)见解析
(3)30
【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据题意易得垂直平分，；
（2）根据中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法进行判断即可；
（3）分割法求出筝形的面积即可．
【详解】（1）解：观察可知：垂直平分，；
故答案为：垂直平分，；
（2）性质1：∵，，
∴点均在线段的中垂线上，
∴垂直平分；
性质2：∵，
∴；
（3）∵垂直平分，
∴．
22．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若的面积为8，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证，
得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）由列式计算即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴是的垂直平分线；
（2）∵，
∴，
∴
∴，
解得：，
即的长为5．
【题型5】角平分线性质应用
23．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，O是三个内角平分线的交点，若面积为36，且O到边的距离为4，则的周长为（　　）
A．8 B．12 C．18 D．30
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．
先根据角平分线的性质得到O到边的距离都为4，再利用三角形面积公式得到，然后整理求出的值即可．
【详解】解：∵O是三个内角平分线的交点，
∴点O到的距离相等，
∵O到边的距离为4，
∴O到边的距离都为4，
∴，
∴，
即的周长为18．
故选：C．
24．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度．
【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接，
∵平分，平分，
∴，
∵，
即，
∴．
故选：B．
25．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：6．
26．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ．
【答案】8
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵在中，是边上的高，
∴，
又∵平分，，，
∴，
∵，
∴的面积等于，
故答案为：8．
27（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ．
【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
，、为三角形的角平分线，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
的面积，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：4．
【题型6】作图-垂直平分线与角平分线
28．（2025·广西南宁·一模）如图，已知．
(1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键．
（1）根据尺规作图作角平分线即可；
（2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求；
（2）解：证明：为平分线，
．
又，
．
在和中，
（SAS）．
29．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，．
(1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等；
(2)若，，，求点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；
（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可；
（2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求；
（2）解：过点作，垂足为．
由（1）得平分，
又，
，即到的距离为3．
30．（24-25九年级下·广东珠海·期中）如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，尺规作角平分线的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据题意，证明即可求解．
【详解】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
31．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在内部求作一点，使，且；
(2)连接，若，求的大小．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】（1）分别以点和点为圆心，大于的一半为半径画弧交于两点，连接两点，作出的垂直平分线，再作的角平分线，交垂直平分线于，故点即为所求作的点．
（2）先由，，证明，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、作线段的垂直平分线、作角平分线，垂直平分线的性质、等边对等角，熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，角平分线是解题的关键．
【题型7】最短路径问题
32．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．10 D．14
【答案】A
【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，
直线垂直平分线段，
，
点为边的中点，，
，
周长，
周长的最小值为，
，点为边的中点，
，
，，
，
解得，
周长的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键．
34．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键．
连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案．
【详解】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为，
最小值为，此时点与点重合，
周长的最小值为，
故答案为：13．
35．（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：15．
36．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可．
【详解】解：连接，过点作，
，，，，
，，
，
当、、三点共线且时，的最小值为，
，
，即的最小值为，
故答案为：．

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