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2024-2025学年七年级数学下学期期末测试卷（1）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大2024版版七年级下册 第1章~第6章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．年月日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为千米，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（ ）

A．15 B．16 C．18 D．20
6．如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在如图1中已知，，线段m，求作．
作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．的余角等于 ．
12．如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ．
13．若，，则 ．
14．一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有 个红球．
15．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ．
16．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）计算：．
18．先化简再求值：，其中．
19．如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．作为《黑神话·悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸引了大量游客前来旅游．小明和小军准备到山西旅游，他们选了四处景点：A．五台山；B．平遥古城；C．乔家大院；D．壶口瀑布．小明和小军各自随机选择一个景点作为本次旅游的第一站．
(1)小军选择“平遥古城”的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小军选择同一景点去旅游的概率．
21．如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
22．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求值．
拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示）
23．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
24．【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大2024版版七年级下册 第1章~第6章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【详解】解：、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、，
长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意；
故选：D．
2．年月日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为千米，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决．
【详解】解：，
故选：C．
3．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，根据中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则运用概率公式得出恰好选中《算学启蒙》的概率，即可作答．
【详解】解：∵某中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故选：C
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法和乘法，幂的乘方和积的乘方，根据各计算法则分别计算即可判断．
【详解】解：A．两项不是同类项，不能合并，原计算错误，故不符合题意；
B．，原计算错误，故不符合题意；
C．，原计算正确，故符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意；
故选：C．
5．如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（ ）

A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得，进而根据“”推出，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再由计算即可得到答案．
【详解】解： ，，
，
又 ，
，
，
，即，
，，
∴，
，
．
故选：C．
6．如图，已知直线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】、本题考查了平行线的性质，根据得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意；
故选：C．
8．如图，在如图1中已知，，线段m，求作．
作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：∵，，
∴这样作图的依据是，
故选：C．
9．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线，
则，
，，
的周长，
故选：B．
10．我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，解题的关键在于会用不同的方法表示图形的面积．根据图形不同的拼法得到面积的不同的表示方法，再结合面积相等建立等式，即可解题．
【详解】解：由题知，第一个图形面积为，
第二个图形面积为，
则有，
故选：C．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．的余角等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．根据余角的定义求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．如图，计划把水渠中的水引到水池中，可过点作的垂线，然后沿开渠，则能使新开的渠道最短，这种设计方案的数学根据是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．体现了数学的实际运用价值．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
13．若，，则 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，，结合同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴原式．
故答案为：16．
14．一个不透明箱子里有红球和绿球共9个，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到红球的概率是，则袋子中有 个红球．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式即可得到结论．熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：袋子中红球的个数为（个．
故答案为：6．
15．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为 ．
【答案】/144度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长．
【详解】解：如图，连接交于点，连接．
是等腰三角形，D是的中点，，
，，
，
解得．
是线段的垂直平分线，
，
，
当点M位于点处时，收得最小值，最小值为的长度．
的周长为，
其最小值为．
故答案为：8．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（）；（）．
【分析】（）先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可；
（）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可；
本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式乘法的化简求值，涉及整式的四则混合运算，掌握四则运算法则与运算顺序是解题的关键；先计算整式的乘法，即用完全平方公式与平方差公式展开，单项式乘多项式，再合并同类项，计算除法，最后代入值计算即可．
【详解】解：
；
由于，
所以，
原式．
19．如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．
（1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案；
（2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即的度数为．
【点睛】
20．作为《黑神话·悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸引了大量游客前来旅游．小明和小军准备到山西旅游，他们选了四处景点：A．五台山；B．平遥古城；C．乔家大院；D．壶口瀑布．小明和小军各自随机选择一个景点作为本次旅游的第一站．
(1)小军选择“平遥古城”的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小军选择同一景点去旅游的概率．
【答案】(1)；
(2)树状图见解析，小明和小军选择同一景点去旅游的概率是．
【分析】本题考查了本题考查列表法与树状图法、概率公式，掌握树状图或列表法是解题关键．
（1）根据概率的定义即可求解；
（2）画出树状图确定全部可能结果，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）因为一共有A．五台山；B．平遥古城；C．乔家大院；D．壶口瀑布这4处景点可供选择，小军选择其中任意一处的可能性相同，所以选择“平遥古城”概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小军选择同一景点去旅游的结果有4种，
所以小明和小军选择同一景点去旅游的概率是．
21．如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：平行，理由如下：
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
22．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：___________；图2：___________．（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求值．
拓展运用：如图3，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是和．若，，求Rt△ACF的面积．（用S，m表示）
【答案】问题呈现：； ．
数学思考：（1）的值为．
（2）的值为4052．拓展运用：．
【分析】本题考查了整式的混合运算--化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键．
问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答；
数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；
拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：图1：；图2：．
数学思考：
（1）∵，，
∴
，
∴的值为．
（2）设，，
∴．
∵，
∴．
．
∴的值为4052．
拓展运用：
设，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
．
23．八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
【答案】（1）4；；（2）；（3）
【分析】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键．
（1）①根据已知条件即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案；
（2）当时，，当时，，进而得出答案；
（3）先找到规律，再变形，进而得出答案．
【详解】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4；
②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数之和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
，
则展开式中所有项的系数和为．
故答案为：4；
（2） ，
当时，，
当时，，
．
（3）由题意可得：，，，
，
，
．
24．【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键．
（1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解；
（2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论；
（3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论．
【详解】解：（1）如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
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