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2024-2025学年七年级数学下学期期末测试卷（2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大2024版版七年级下册 第1章~第6章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断．
【详解】解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，符合题意；
D、图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（ ）
A．0 B．1 C．-2025 D．
【答案】B
【分析】本题考查了零次幂的运算，根据进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故选：B
3．是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：1300000用科学记数法表示为．
故选：C．
4．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
根据单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂的运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解∶A、，计算正确，故此选项不符合题意；
B、，计算正确，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项符合题意；
故选∶D．
5．如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：A．
6．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ）
A． B．小于 C．不大于 D．
【答案】C
【分析】此题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最短，分析判断．
【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，，，，
∴距离一定不大于，
故选：C．
7．若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．11
【答案】A
【分析】本题考查三角形三边关系定理，记住三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【详解】解：设第三条边长为x，根据三角形三边关系得：
，
即，
结合各选项数值可知，第三边长可能是6，
故选：A．
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；由题意可得，，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴；
故选A．
9．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：B．
10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键．
求出，， ，，，可得到规律，即可求解．
【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1
展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是；
展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是；
展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是；
展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是；
……
∴展开式的系数和是．
故选：B
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．如图，直线相交于点O，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论是解题关键．分当腰长为6和当腰长为2两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可．
【详解】解：根据题意，
①当腰长为6时，周长；
②当腰长为2时，三角形三边分别为6，2，2，不能组成三角形；
故答案为：14．
14．如图，把矩形沿对折，若，则等于 度．
【答案】65
【分析】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】解：由折叠可得：，
长方形中，，
∴，
故答案为：．
15．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
【答案】64
【分析】本题考查了平行线的性质，由对顶角相等得到，求出，再根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵为直线上一动点，
∴，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可；
（2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键．
18．先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘多项式运算法则，完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，．
(1)求证：；
(2)试探究与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
（1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系．
【详解】（1）证明：、平分、，
，；
，
；
同旁内角互补，两直线平行
（2）解： ，
，
平分，
，
．
．
20．一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问：
(1)袋子里蓝球有多少个？
(2)任意摸出1个红球的概率是多少？
【答案】(1)蓝球有9个
(2)
【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式，是解题的关键：
（1）根据概率求出总数，进行求出蓝球的个数即可；
（2）直接根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：（个）；
答：蓝球有9个；
（2）任意摸出1个红球的概率是．
21．如图，直线交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
【答案】(1)
(2)图形见解析，的度数为或
【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键．
（）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；
（）分两种情况：当在直线的上方时；当在直线的下方时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：分两种情况：
当在直线的上方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
当在直线的下方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述：的度数为或．
22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质的运用是解题的关键．
（1）根据题意得到，，运用角角边即可求证；
（2）根据全等的性质，线段和差得到，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
23．（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求的最小值．
解：原式
，，
当时，原式取得最小值是1，
请你仿照以上方法求出的最小值．
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知的三边，，满足，求的周长．
【答案】（1）；（2）12
【分析】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．
（1）利用配方法得出最小值即可；
（2）利用非负数的性质得出、、的值，进一步求得周长即可．
【详解】解：（1）
，
当时，原式取得最小值是．
（2），
，
，，，
，．，
的周长．
24．如图，，的平分线交于点G．
(1)试说明：；
(2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H．
①若，试判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①，见解析；②或
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何中角度的计算：
（1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论；
（2）①；设，则，，，由平行线的性质推出，再根据角平分线的定义得到，由①得，根据，推出，即可得到；②由①得，求出，过点M作，则，分点M在线段上，点M在线段的延长线上，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
如图1，设，
∵，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
过点M作，则
当点M在线段上时，如图2，
由①得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点M在线段的延长线上时，如图3，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年七年级数学下学期期末测试卷（2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大2024版版七年级下册 第1章~第6章。
5．难度系数：0.8。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A．0 B．1 C．-2025 D．
3．是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ）
A． B．小于 C．不大于 D．
7．若一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边长可能是（　　）
A．6 B．3 C．2 D．11
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律：
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．计算： ．
12．如图，直线相交于点O，则 ．

13．等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ．
14．如图，把矩形沿对折，若，则等于 度．
15．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
16．如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，．
(1)求证：；
(2)试探究与的数量关系．
20．一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问：
(1)袋子里蓝球有多少个？
(2)任意摸出1个红球的概率是多少？
21．如图，直线交于点，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
22．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求的最小值．
解：原式
，，
当时，原式取得最小值是1，
请你仿照以上方法求出的最小值．
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知的三边，，满足，求的周长．
24．如图，，的平分线交于点G．
(1)试说明：；
(2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H．
①若，试判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值．
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