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清单01 整式的乘除（3个考点梳理+12题型解读+提升训练）
清单01 幂运算
1：幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
2：幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(m,n都为正整数
3：积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（m,n为正整数）
4：幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
5.零指数
a0=1 (a≠0)
6.负整数指数幂
a-1= (a≠0)
7.科学计数法
有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n
是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法．
清单02 整式的乘除
1.单项式乘单项式法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3.多项式乘多项式法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4.单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5.多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
清单03 乘法公式
1.平方差公式
（1）平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
（2）平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2
2.完全平方公式
（1）完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
（2）拓展、补充公式
；；
；.
【考点题型一】同底数幂的乘法运算（）
【例1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键．
直接运用同底数幂相乘的运算法则求解即可．
【详解】解：．
故选A．
【变式1-1】（2021·浙江丽水·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【变式1-2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同底数幂的乘法，求代数式的值，解题的关键是掌握：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴的值为．
故选：B．
【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知：，则 ．
【答案】64
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据幂的乘方可得，然后根据同底数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：64．
【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（）
【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，则（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练运用幂的运算法则理清指数的变化是解题的关键；
根据幂的运算法则将变形，将其转化为与已知条件，相关的形式，即把变形为，然后代入进行计算即可．
【详解】∵，，
∴．
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
利用积的乘方运算和幂的乘方法则计算，然后得到，，进而求解即可．
【详解】解：，
，，
解得：，．
故选：C．
【变式2-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，要区分不同运算法则并准确运用．先算积的乘方，再算幂的乘方即可．
【详解】解：．
故选A．
【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；由题意可得，，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴；
故选A．
【考点题型三】同底数幂的除法运算（）
【例3】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，进行求解即可．
【详解】解：；
故选B．
【变式3-1】（24-25八年级上·天津河北·期末）已知 ，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由可得，，再由即可求解．本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是由得出，的值．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故选：D．
【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键．
由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：16．
【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（）
【例4】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）计算：．
【答案】11
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和乘方的运算．根据零指数幂、负指数幂和乘方的运算法则对原式进行化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
【变式4-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式4-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算： ．
【答案】
【分析】该题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算：
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（）
【例5】（24-25八年级上·广东广州·期末）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，则n的值为（　　）
A．7 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数；据此表示即可．
【详解】解：∵，
∴n等于．
故选：C．
【变式5-1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：A．
【变式5-2】（24-25八年级上·山西朔州·期末）大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．某高校团队在其设计的自动驾驶组件中，有一个直径为的电子元件．将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，故D正确．
故选：D．
【变式5-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据0.000029用科学记数法表示为．
故答案为：．
【考点题型六】整式的乘法（）
【例6】（24-25八年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答．
（2）根据多项式乘多项式的法则进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式6-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．15
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键．
【详解】解：∵，
又∵展开式中不含x的一次项，
∴，
∴，
∴实数m的值为15．
故选：D．
【变式6-2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键；
根据多项式乘以多项式分别计算与，然后做差比较即可；
【详解】解：，
；
，
则；
故选：C
【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项．
【详解】解：原式
．
【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘单项式，多项式乘多项式，先运算多项式乘多项式，多项式乘单项式，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：
．
【考点题型七】整式乘法的应用（）
【例7】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式： ；
(2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽；
(3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值．
【答案】(1)
(2)见详解（画图不唯一）：
(3)20
【分析】此题考查的是几何图形面积与多项式的乘法，数形结合是解题的关键．
（1）由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出代数式；
（2）面积为，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a，b的长方形使用5次，依此即可求解；
（3）根据正方形面积，正方形面积,可得等式，根据，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，如下图：
；
故答案为：；
（2）解：；
画图不唯一，画图正确即可，如下图：
（3）解：由图4可知，
∴
．
【变式7-1】（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示．
(1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S．
(2)若m，n满足，求该广场的面积S．
(3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？
【答案】(1)
(2)
(3)元
【分析】（1）由花坛的面积等于大长方形面积减去小长方形面积表示出S即可；
（2）利用非负数的性质求出m与n的值，代入S中计算即可得到结果；
（3）用单价×面积×单个人工费用进行计算求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
即该花坛的面积为．
（3）解：（元）
答：为该广场铺满这款地砖一共要花费元．
【点睛】此题考查整式的加减——化简求值，解题关键是熟练掌握运算法则．
【变式7-2】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【答案】(1)（平方米）
(2)
【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积即可得到绿化的面积；
（2）根据题意求出，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
（平方米）；
（2）解：原式
，
代数式的值与的取值无关，
，，
，
（平方米），
绿化面积的值为．
【变式7-3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积，由题意，可知，拼成的长方形的长为，宽为，利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：由图可知：拼成的长方形的面积是；
故选D．
【变式7-4】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，有一个长为、宽为的长方形，它的周长为14，面积为12，则的值为（ ）
A．19 B．20 C．26 D．27
【答案】B
【分析】本题主要考查多项式乘多项式与几何图形的面积．由题意知，，，再把变形为，然后再整体代入求解即可．
【详解】解：由题意知，．
∴．
∴．
故选：B．
【考点题型八】整式除法运算（）
【例8】（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可
本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除．
【详解】解：
故选：A
【变式8-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）化简： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了整式的乘除混合运算，熟练掌握整式乘除运算的法则是解题的关键．
先运用积的乘方和幂的乘方进行化简，然后分子分母约去公因式即可得出结果．
【详解】解：
故答案为：．
【变式8-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
故答案为：．
【考点题型九】平方差及几何意义（）
【例9】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是_____．
A． B． C．
(2)已知，，则______．
(3)应用所得的公式计算：．
(4)应用所得的公式计算：．
【答案】(1)B
(2)4
(3)1
(4)
【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键．
（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可；
（2）把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；
（3）先将化成，再应用所得的公式，即可计算得到结果；
（4）先将9化成，然后应用所得公式即可逐步计算得到结果．
【详解】（1）解：图1中，边长为的正方形的面积为：；边长为的正方形的面积为：，
图1的阴影部分为面积为：，
图2中长方形的长为：，长方形的宽为：，
图2长方形的面积为：，
，
故选：B．
（2）解：，
，
又，
，
故答案为：4．
（3）解：
．
（4）解：
．
【变式9-1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②5
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式和完全平方公式进行计算，本题熟练掌握平方差公式是关键．
（1）分别根据面积公式进行计算，根据图1的面积=图2的面积列式即可；
（2）①利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可得到计算结果；②先将化为，由得到，再代入求解．
【详解】（1）解：原阴影面积，拼剪后的阴影面积，
得到的公式为：；
故答案为；
（2）解：①；
②∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；
(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；
(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．
(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为___________．
②直接写出下面算式的计算结果：．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)①3；②
【分析】3本题考查了平法差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键．
（1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于．
（2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为．
（3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故．
（4）①根据平方差公式，进行计算即可求解．
②连续使用平方差公式，进而即可求解。
【详解】（1）
（2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为．
∴
（3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变，
∴．
（4）①解：①∵，，
∴
∴，
②
故答案为：①3；②．
【考点题型十】完全平方及几何意义（）
【例10】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形.
(1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________；
(2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：
①已知小长方形的周长为，面积为，则阴影部分的边长是________.
②若，，求.
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，平方根的定义，二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式正确解答的关键．
（1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论；
（2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论；
（3）①设这个长方形的长为，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可；
②根据完全平方公式变形求值，得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据图形可知，图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：；；
（2）由（1）知：图2中阴影部分的面积为，
阴影部分的面积也可以看作大正方形与个小长方形的面积差，即为，
∴代数式，和之间的数量关系是：；
（3）解：①这个小长方形的长为，宽为，则，，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴阴影部分的边长是．
故答案为：．
②∵，，
∴
∴
【变式10-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；
公式②：
图1对应公式_________；图2对应公式_________．
【解决问题】
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
已知，求的值．
【能力拓展】
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
【答案】（1）②，①；（2）；（3）
【分析】本题考查了完全平方公式，正确理解题意是解题的关键：
（1）根据图形即可得出图1对应公式是；图2对应公式是；
（2）先求出，得出，再根据即可得出答案；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则根据题意，得，再得出求出，进而可得出答案．
【详解】（1）解：图1对应公式是；图2对应公式是，
故答案为：②；①；
（2），
，
，
．
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，
则根据题意，得，
，
，
．
【变式10-2】（24-25八年级上·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则 ；
②若，则 ．
(3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解；
本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为．
【变式10-3】（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．
【问题解决】
（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________；
（2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）76
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可；
（2）根据图2可得，再将，代入计算即可；
（3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可．
【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为，
拼成图1的四个部分的面积和为，
所以有，
故答案为：；
（2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为，
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为，
所以有，
∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，，
∴，，
∵，
∴，；
∴
．
【考点题型十一】整式的混合运算（）
【例11】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）化简：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算．
（1）根据多项式除以多项式的运算法则即可求出答案．
（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
【变式11-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式利用单项式乘多项式，以多项式除以单项式法则计算即可；
（2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘多项计算法则计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【变式11-2】（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解；
（2）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解；
（3）先利用完全平方公式与平方差公式进行化简，再合并同类项即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【考点题型十二】整式的化简求值（）
【例12】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】此题考查了整式的化简求值，先利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项得到化简结果，把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当时，原式
【变式12-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：
，其中，．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的混合运算及求值，熟练掌握平方差公式与完全平方公式，同类项与多项式除以单项式运算法则是解本题的关键．
先利用平方差公式及完全平方公式中括号内化简，合并同类项后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，然后把x与y的值代入计算求值即可．
【详解】解：
，
当，，．
【变式12-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算除法运算，把，代入化简后的代数式计算即可.
【详解】解：
．
把，代入原式，得
原式
【变式12-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式化简中括号内的算式，根据多项式除单项式的运算法则将原式化简，再将x、y的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴原式．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)清单01 整式的乘除（3个考点梳理+12题型解读+提升训练）
清单01 幂运算
1：幂的乘法运算
口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
2：幂的乘方运算
口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(m,n都为正整数
3：积的乘方运算
口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（m,n为正整数）
4：幂的除法运算
口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
5.零指数
a0=1 (a≠0)
6.负整数指数幂
a-1= (a≠0)
7.科学计数法
有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n
是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法．
清单02 整式的乘除
1.单项式乘单项式法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3.多项式乘多项式法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4.单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5.多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
清单03 乘法公式
1.平方差公式
（1）平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
（2）平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2
2.完全平方公式
（1）完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
（2）拓展、补充公式
；；
；.
【考点题型一】同底数幂的乘法运算（）
【例1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·浙江丽水·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25八年级上·河南焦作·期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知：，则 ．
【考点题型二】幂的乘方与积的乘方（）
【例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，，则（ ）
A．12 B．18 C．20 D．24
【变式2-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【考点题型三】同底数幂的除法运算（）
【例3】（24-25八年级上·河北保定·期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25八年级上·天津河北·期末）已知 ，则（　　）
A． B．1 C． D．
【变式3-2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知，则 ．
【考点题型四】零指数幂和负整数的指数幂（）
【例4】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）计算：．
【变式4-1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）计算：的结果为 ．
【变式4-2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）计算： ．
【变式4-3】（23-24七年级下·广东梅州·期末）计算：
【考点题型五】科学计数法-表示较小的数（）
【例5】（24-25八年级上·广东广州·期末）在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，则n的值为（　　）
A．7 B．6 C． D．
【变式5-1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25八年级上·山西朔州·期末）大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．某高校团队在其设计的自动驾驶组件中，有一个直径为的电子元件．将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开”是我们耳熟能详的诗句．已知某种梅花的花粉直径约为，将数据0.000029用科学记数法表示为__________．
【考点题型六】整式的乘法（）
【例6】（24-25八年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)； (2)．
【变式6-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．15
【变式6-2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算：．
【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：．
【考点题型七】整式乘法的应用（）
【例7】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式，例如，如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式： ；
(2)如图3，现有，的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为的长方形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此长方形的长和宽；
(3)如图4，写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若， 的值．
【变式7-1】（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示．
(1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S．
(2)若m，n满足，求该广场的面积S．
(3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？
【变式7-2】（24-25八年级上·四川资阳·期末）如图，某学校的广场上有一块长为米，宽为米的长方形地块．中间有一块边长为米的正方形雕像，周围剩余部分（阴影部分）种植了绿化，请回答以下问题：
(1)绿化的面积是多少？
(2)若，使代数式的值与的取值无关，求绿化面积的值．
【变式7-3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【变式7-4】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，有一个长为、宽为的长方形，它的周长为14，面积为12，则的值为（ ）
A．19 B．20 C．26 D．27
【考点题型八】整式除法运算（）
【例8】（24-25八年级上·青海海东·期末）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式8-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）化简： ．
【变式8-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）计算： ．
【考点题型九】平方差及几何意义（）
【例9】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是_____．
A． B． C．
(2)已知，，则______．
(3)应用所得的公式计算：．
(4)应用所得的公式计算：．
【变式9-1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
【变式9-2】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；
(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；
(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．
(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为___________．
②直接写出下面算式的计算结果：．
【考点题型十】完全平方及几何意义（）
【例10】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形.
(1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________；
(2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：
①已知小长方形的周长为，面积为，则阴影部分的边长是________.
②若，，求.
【变式10-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【发现问题】
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；
公式②：
图1对应公式_________；图2对应公式_________．
【解决问题】
（2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？
已知，求的值．
【能力拓展】
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
【变式10-2】（24-25八年级上·吉林·期末）将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则 ；
②若，则 ．
(3)如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
【变式10-3】（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．
【问题解决】
（1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________；
（2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值；
【拓展应用】
（3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积．
【考点题型十一】整式的混合运算（）
【例11】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）化简：；
（2）化简：．
【变式11-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式11-2】（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算
(1)；
(2)
(3)
【考点题型十二】整式的化简求值（）
【例12】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中．
【变式12-1】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：
，其中，．
【变式12-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，．
【变式12-3】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）先化简，再求值：，其中．
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