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清单02相交线和平行线（7个考点梳理+12大题型解读+提升训练）
清单01 余角和补角
（1）余角：
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A
（2）补角：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A
（3）补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
（4）余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
清单02 对顶角和邻补角
1. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2. 对顶角的性质：对顶角相等。
3. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°
清单03 垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
图4
如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
清单04 三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
清单05 平行线的判定
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
3.平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
清单06 平行线的性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
清单07 平行线中常考模型
模型一：“铅笔模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
模型二：“猪蹄模型”
【方法技巧】
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三：“臭脚模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四：“抬头模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【考点题型一】余角和补角（）
【例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)若与互余，求的度数．
【变式1-1】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的补角是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的余角的度数为 ．
【变式1-3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，时钟显示1点整．若将分针记为线段，时针记为线段，则的补角的大小为 ．
【考点题型二】对顶角、邻补角（）
【例2】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
【变式2-1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，直线交于点O，是的平分线，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，A，O，B在同一条直线上，射线与正东方向的夹角为，则射线的方向是南偏西 ．
【变式2-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．

【考点题型三】点到直线的距离（）
【例3】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【变式3-1】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【变式3-2】（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．

【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ．
【考点题型四】垂线段最短（）
【例4】（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）
A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直 D．测量跳远成绩
【变式4-1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ．
【考点题型五】平行线公理（）
【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法：
①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交；
②若直线，直线，那么直线；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式5-1】（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【考点题型六】同位角，内错角和同旁内角（）
【例6】（2023·河北唐山·二模）下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（ ）
A．B．C． D．
【变式6-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　）
A． B．或
C．或 D．或或
【变式6-2】（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（ ）
①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【考点题型七】两直线平行的条件（）
【例7】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（ ）
A． B．
C． D．且
【变式7-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面能判断的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（ ）
A． B．
C．且 D．
【考点题型八】利用平行线的性质求角（）
【例8】（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，，的平分线交于点，且平行于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，点、分别在、上，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点题型九】平行线与折叠综合（）
【例9】（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式9-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式9-3】（22-23七年级下·河南平顶山·期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的有（　　）

A． B． C． D．
【变式9-4】（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点题型十】平行线的生活中的实际应用（）
【例10】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2025七年级下·浙江·专题练习）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（　　）
A．101° B．102° C．103° D．104°
【考点题型十一】平行线的性质与判定综合（）
【例11】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式11-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，．
(1)与平行吗？请写出证明过程；
(2)若，求的度数．
【变式11-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【变式11-3】（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，．求的度数．
【考点题型十二】平行线中常考模型（）
【例12】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数．（提示：过点作）
【拓展延伸】已知，点为之外任意一点．
（1）如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果．
【变式12-1】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
【变式12-2】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
∴____， ____．
又∵，
∴．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
【变式12-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)清单02相交线和平行线（7个考点梳理+12大题型解读+提升训练）
清单01 余角和补角
（1）余角：
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A
（2）补角：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A
（3）补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
（4）余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
清单02 对顶角和邻补角
1. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2. 对顶角的性质：对顶角相等。
3. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°
清单03 垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O.
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
图4
如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
清单04 三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。
清单05 平行线的判定
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
3.平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
清单06 平行线的性质
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
清单07 平行线中常考模型
模型一：“铅笔模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
模型二：“猪蹄模型”
【方法技巧】
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三：“臭脚模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四：“抬头模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【考点题型一】余角和补角（）
【例1】（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)若与互余，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出的度数，再利用角平分线的定义即可求出的度数；
（2）根据余角的定义得到，结合（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）解：平分，，
，
，
又平分，
，
的度数为．
（2）解：与互余，
，
，
由（1）得，，，
，
的度数为．
【变式1-1】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的补角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了补角，根据补角的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴的补角，
故选：A．
【变式1-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的余角的度数为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了求一个角的余角，根据和为的两个角互为余角，结合，求出的余角即可．
【详解】解：∵，
∴的余角为．
故答案为：24．
【变式1-3】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，时钟显示1点整．若将分针记为线段，时针记为线段，则的补角的大小为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是熟练掌握互为补角的定义．根据如果两个角的和是，那么这两个角是互为补角，列出算式进行计算即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴的补角为：，
故答案为：．
【考点题型二】对顶角、邻补角（）
【例2】（23-24七年级下·湖北黄石·期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键．
【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意；
B、是对顶角，选项说法正确，符合题意；
C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意；
D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2-1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，直线交于点O，是的平分线，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查与角平分线相关的角的计算，对顶角的性质．求得是解题的关键．
根据，，求得，从而求得，再由角平分线的定义得，即可由求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2-2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，A，O，B在同一条直线上，射线与正东方向的夹角为，则射线的方向是南偏西 ．
【答案】35
【分析】本题主要考查余角，对顶角和方位角，找到题中互余的角和对顶角是解题的关键．根据题意作出如下图形，利用余角可求出的度数，再利用对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：根据题意，，
，
，
即射线的方向是南偏西．
故答案为：．
【变式2-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点O，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了对顶角相等，角的和差计算，掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等得到，再由角度和差计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【考点题型三】点到直线的距离（）
【例3】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，，，，点A到直线的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】A
【分析】本题主要考查点到直线的距离，解答的关键是明确点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离可得结论．
【详解】解：∵，
∴点A到直线的距离是线段的长度．
故选：A．
【变式3-1】（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可．
【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度，
，且，
点到直线的距离是5，
故选：C．
【变式3-2】（2024·贵州黔南·一模）如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，，垂足为A，，，，则点P到直线l的距离是 ．

【答案】4
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，判断是点P到直线l的距离即可．
【详解】解：直线外一点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，，垂足为A，，
点P到直线l的距离是，
故答案为：4．
【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ．
【答案】4
【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．
根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题．
【详解】解：点B到直线的距离是，
故答案为：．
【考点题型四】垂线段最短（）
【例4】（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）
A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙
C．弯河道改直 D．测量跳远成绩
【答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”．
依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释．
【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合；
C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合．
故选：D．
【变式4-1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点作于，利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
∵平分，，
∴，
∵点是边上一动点，
∴根据垂线段最短得，
故选：．
【变式4-2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是解题的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【考点题型五】平行线公理（）
【例5】（23-24七年级·全国·课后作业）下列说法：
①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b相交；
②若直线，直线，那么直线；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点．掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答即可．
【详解】解：①已知直线a，b，c，若a与c相交，则a与b不一定相交，故原说法错误；
②若直线，直线，那么直线，故原说法正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法错误；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原说法错误．
错误的有3个，
故选：A．
【变式5-1】（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可．
【详解】解：因为，
∴．
所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
故选：C．
【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键．
【考点题型六】同位角，内错角和同旁内角（）
【例6】（2023·河北唐山·二模）下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同位角，熟练掌握同位角的特征是解题的关键．根据同位角的特征逐一判断即可．
【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意
B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意；
D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意．
故选：．
【变式6-1】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线与直线被直线所截，分别交于点，过点作射线，则图中的同位角有（　　）
A． B．或
C．或 D．或或
【答案】B
【分析】本题主要考查三线八角的识别，结合图形，掌握三线八角的识别方法是解题的关键．
根据同位角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意可知，的同位角为，或者．
故选：B．
【变式6-2】（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（ ）
①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可．
【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误；
两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确；
两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误；
综上，正确的为，
故选：C．
【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【考点题型七】两直线平行的条件（）
【例7】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，原选项不符合题意；
、∵，
∴，原选项不符合题意；
、由，
不能判定，原选项不符合题意；
、∵，，
∴，
∴，
∴，原选项符合题意；
故选：．
【变式7-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，故A选项符合题意；
∵，
∴，故B选项不符合题意；
∵，
无法证明或，故C选项不符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选：A
【变式7-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面能判断的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，则，不能判断，本选项不符合题意；
B、，则，不能判断，本选项不符合题意；
C、，则，不能判断，本选项不符合题意；
D、，则，本选项符合题意；
故选：D．
【变式7-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．关键是掌握平行线的判定定理．
【详解】解：A、当时，可得，不合题意；
B、当时，无法得到，不合题意；
C、当且时，可得，可得，符合题意；
D、当时，可得，不合题意．
故选：C．
【考点题型八】利用平行线的性质求角（）
【例8】（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，再根据平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式8-1】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，，的平分线交于点，且平行于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得到，，进而利用角平分线的定义和等量代换求得，再利用平行线的性质求得即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式8-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，点、分别在、上，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质，首先根据两直线平行内错角相等可知，根据角平分线的性质可知，根据两直线平行同旁内角互补可求．
【详解】解：如下图所示，
，，
，
平分交于点，
，
又，
，
．
故选： D．
【变式8-3】（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解，
此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【考点题型九】平行线与折叠综合（）
【例9】（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质．
方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解；
方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片，
，，
，
由题意知，
，
；
方法二：由题意知，
，，
，
，
，
．
故选：D．
【变式9-1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，将一张长方形纸片折成如图所示的形状，如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到E，先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得：，然后利用平行线的性质可得：，即可解答．
【详解】解：如图：延长到E，
∵，
∴，
由折叠得：，
∵，
∴，
故选：A．
【变式9-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与对应，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，折叠的性质推出，利用平角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵长方形纸片
∴，
∴，
由折叠的性质得出，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
【变式9-3】（22-23七年级下·河南平顶山·期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的有（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，可得A不符合题意；由折叠的性质可得：，证明，可得B不符合题意；，可得C不符合题意；求解，由折叠的性质可得：，可判断D符合题意；
【详解】解： 由长方形的性质可得：，而，
∴，故A不符合题意；
由折叠的性质可得：，
∵，
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平行线的性质，折叠的性质，熟记轴对称的性质与平行线的性质是解本题的关键．
【变式9-4】（22-23七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵沿，折叠，使点和点都落在点处，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
【考点题型十】平行线的生活中的实际应用（）
【例10】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键．
分和，分别利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
由反射定理可知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示，过点C作，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
故选B．
【变式10-1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式10-2】（2025七年级下·浙江·专题练习）为增强学生体质，感受中国传统文化，某初中将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小玲把它抽象成图②的数学问题：已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线性质，以及平行公理推论，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作，得到，以及结合平行公理推论证明，得到，最后根据运算求解，即可解题．
【详解】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式10-3】（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是76°，第二次拐弯处的角是∠B．第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于（　　）
A．101° B．102° C．103° D．104°
【答案】C
【分析】过B作BD∥AE，根据AE∥CF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到BD∥CF，利用两直线平行内错角相等，同旁内角互补，根据∠ABD+∠DBC即可求出∠ABC度数．
【详解】解：过B作BD∥AE，
∵AE∥CF，
∴BD∥CF，
∴∠A=∠ABD=76°，∠DBC+∠C=180°，
∵∠C=153°，
∴∠DBC=27°，
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=103°．
故选C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
【考点题型十一】平行线的性质与判定综合（）
【例11】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，，，
，，
，
．
【变式11-1】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点E在边上，，垂足分别是D，F，．
(1)与平行吗？请写出证明过程；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)与平行，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）先判断出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得；
（2）过点C作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）解：与平行，理由如下：
∵，，
，
，
∵，
，
∴．
（2）如图，过点C作，
∵，
，
，
，
由（1）已证：，
，
．
【变式11-2】（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用．
（1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论；
（2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式11-3】（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，，，的平分线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，．求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角度的和差，角平分线，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知，得到，于是问题得证；
（2）过点作，于是有，根据两直线平行，同旁内角互补得出，，两式相加即可证明；
（3）先得出，由，求出，，则可求出，利用角平分线定义求出，结合即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：
如图，过点作，
由（1）知，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴．
【考点题型十二】平行线中常考模型（）
【例12】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，求的度数．（提示：过点作）
【拓展延伸】已知，点为之外任意一点．
（1）如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果．
【答案】；（1）；（2）
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可知，进而可求解；
（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结果；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得到结论．
【详解】解：过点作，
∵
∴
∴
∵
∴，
∵
∴，
即，
故答案为：．
（1），
理由如下：过点作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2），
理由如下：过点作，则，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键．
【变式12-1】（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知：．
(1)如图1，点在，之间，请说明；
(2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
(3)
【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线．
（1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案；
（2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系；
（3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系．
【详解】（1）解：如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示：过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：，理由见解析，
如图：过点作，过点作，过点作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
【变式12-2】（23-24七年级下·广西玉林·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
∴____， ____．
又∵，
∴．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
（1）过点A作，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过点C作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数．
【详解】
解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴．
【变式12-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E，F分别在直线上，点在直线之间，设，求证：．
证明：如图②，过点作，
，
，即．
可以运用以上结论解答下列问题：【类比应用】
（1）如图③，已知，求的度数．
（2）如图④，已知，点在直线上，点在直线上方，连接，则之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点在直线上，点在直线上方，连接的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线探究角之间的关系是解答的关键．
（1）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可求解；
（2）过P作，则，利用平行线的性质得到，，进而可得结论；
（3）过P作，则，利用平行线的性质推导出，利用角平分线的定义得，，结合（2）中结论得到，进而可得结论．
【详解】解：（1）如图③，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图④，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）过P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
∴．
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