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清单05图形的轴对称（4个考点梳理+7大题型解读+提升训练）
清单01 轴对称图形
1.轴对称图形
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
2. 轴对称性质
①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.
②关于某直线对称的两个图形是全等形.
3. 画轴对称图形
（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点；
（2）同理分别作出其它关键点的对称点；
（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.
清单02 垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
清单03 角平分线
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
清单04 最短路径
最短路径问题
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，
在△ABP’中，AP +BP >AB，即AP +BP >AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA 的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA ，要使PA+PB最小，则
需PA +PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【考点题型一】轴对称图形的识别（）
【例1】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）下面的图象是我国几所大学的校徽，其中校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点题型二】折叠问题（）
【例2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，把矩形沿对折，若，则等于 度．
【变式2-2】（23-24七年级下·山西·阶段练习）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在位置，若，则 °
【变式2-3】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ．
【考点题型三】垂直平分线的性质（）
【例3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是（ ）
A．12 B．15 C．10 D．7
【变式3-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若的周长为16，，则的周长为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．4
【变式3-3】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ．
【考点题型四】垂直平分线的判定（）
【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知：如图，，点E在上，求证：．
【变式4-1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形，其中，．
(1)求证：；
(2)证明：．
【变式4-2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为中点，，为中点，．求的度数．
【变式4-3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)求证：
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
【考点题型五】角平分线性质应用（）
【例5】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，平分，于点，点在上，若，则的面积为（ ）
A． B．5 C．6 D．10
【变式5-1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（ ）
A．2 B．3· C．4 D．5
【变式5-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【变式5-3】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
【考点题型六】作图-垂直平分线与角平分线（）
【例6】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，．
(1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的度数（写出推理过程）．
【变式6-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法）
【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，两点，作直线，点在直线上，连接，，延长至点．
请根据要求完成以下作图与证明．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，求证：．
【变式6-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）已知在中，，．
(1)利用尺规作图，作的垂直平分线交于点E（标上相应的字母，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求的周长．
【考点题型七】最短路径问题（）
【例7】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【变式7-1】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【变式7-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．

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21世纪教育网(www.21cnjy.com)清单05图形的轴对称（4个考点梳理+7大题型解读+提升训练）
清单01 轴对称图形
1.轴对称图形
⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.
2. 轴对称性质
①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.
②关于某直线对称的两个图形是全等形.
3. 画轴对称图形
（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点；
（2）同理分别作出其它关键点的对称点；
（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.
清单02 垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
清单03 角平分线
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
清单04 最短路径
最短路径问题
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P ，连接AP 、BP ，
在△ABP’中，AP +BP >AB，即AP +BP >AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA 的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA ，要使PA+PB最小，则
需PA +PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【考点题型一】轴对称图形的识别（）
【例1】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断．
【详解】解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，符合题意；
D、图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：B项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【变式1-2】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【详解】解：A能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；B，C，D不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，
故选：A．
【变式1-3】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）下面的图象是我国几所大学的校徽，其中校徽中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A、该图是轴对称图形，符合题意；
B、该图不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【考点题型二】折叠问题（）
【例2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质及平行线的性质．由平行线的性质得，，由折叠即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
由折叠得，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2-1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，把矩形沿对折，若，则等于 度．
【答案】65
【分析】本题考查图形的翻折变换，平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．利用折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】解：由折叠可得：，
长方形中，，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24七年级下·山西·阶段练习）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在位置，若，则 °
【答案】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等及翻折对应角相等．
根据平行线的性质可得，再根据折叠可得，据此即可求得．
【详解】解：由折叠知，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2-3】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ．
【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质，补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，，求出，即可得到答案．
【详解】解：根据折叠的性质得到，
，
，
，
．
故答案为：．
【考点题型三】垂直平分线的性质（）
【例3】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是（ ）
A．12 B．15 C．10 D．7
【答案】A
【分析】本题考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为的和即可．
根据据垂直平分线的性质得，进而可把△ABD周长转化为求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴．
∴的周长
．
故选A．
【变式3-1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解．
【详解】解：由作图可得：垂直平分，
∴，
∵的周长为，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式3-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若的周长为16，，则的周长为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，得到，再结合的周长，得到，即可求出的周长．
【详解】解：由作法可知，垂直平分，
，
的周长为16，
，
，
，
，即的周长为26，
故选：A．
【变式3-3】（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，结合等腰三角形的性质可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：∵直线，垂足为点，且．
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【考点题型四】垂直平分线的判定（）
【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知：如图，，点E在上，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知．
【详解】解：∵
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∵点E在上，
∴．
【变式4-1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，四边形，其中，．
(1)求证：；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；
（1）直接根据证明即可；
（2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明.
【详解】（1）证明：在和中
∴（）
（2）∵
∴在的垂直平分线上
∵
∴在的垂直平分线上
∴是垂直平分线
∴
【变式4-2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为中点，，为中点，．求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设相交于点，连接，根据题意得出，得到，可证明，得到，继而得出，从而得到，计算即可得到答案.
【详解】解：如图 ，设相交于点，连接，
为中点，，为中点，，
垂直平分，垂直平分，， ，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
.
【变式4-3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)求证：
(3)连接，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)等腰三角形，见解析
【分析】（1）由平行可求得，再结合等腰三角形的判定和性质可求得；
（2）结合（1）的结论，可证明，从而证明；
（3）由（2）可得，又证明垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形．
【详解】（1）证明：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知，
为的中点，
在和中，
，
（3）解：由（）可知，
，
由（）可知，，
∴垂直平分，
，
，
为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
【考点题型五】角平分线性质应用（）
【例5】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，平分，于点，点在上，若，则的面积为（ ）
A． B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，作于点，根据角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：作于点，
∵平分于点C，
∴，
∴的面积为；
故选：B．
【变式5-1】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（ ）
A．2 B．3· C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等成为解题的关键．
如图：过D点作垂足为E，然后根据角平分线的性质即可解答．
【详解】解：如图：过D点作垂足为E，
∵是的角平分线，，，
∴．
故选：B．
【变式5-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的三条角平分线的交点处，
故选：．
【变式5-3】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质是关键．
根据角平分线的性质得出，再代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【考点题型六】作图-垂直平分线与角平分线（）
【例6】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，．
(1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的度数（写出推理过程）．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键
（1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）由角平分线的定义可得
，由线段垂直平分线的性质可得，则．
【详解】（1）解：如图，射线和直线即为所求：
（2）解：连接，
∵为的角平分线∶
∴，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴．
【变式6-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应修在什么位置？请用尺规作图在图上标出它的位置．（要求：画图留下痕迹，但不要求写作法）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．
分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点．
【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，两点，作直线，点在直线上，连接，，延长至点．
请根据要求完成以下作图与证明．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）由垂直平分线的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，结合平分，可得，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求；
（2）证明：由作图知垂直平分，
．
，
，
．
即，
平分，
，
．
．
【点睛】本题考查角平分线的作法，平行线的判定，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，等边对等角等，难度不大，能够综合应用上述知识点是解题的关键．
【变式6-3】（24-25八年级上·河南周口·期末）已知在中，，．
(1)利用尺规作图，作的垂直平分线交于点E（标上相应的字母，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线以及垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题关键．
（1）利用尺规即可作的垂直平分线交于点D，交于点E；
（2）连接，根据垂直平分线的性质即可求的周长．
【详解】（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：连接
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∴的周长等于26．
【考点题型七】最短路径问题（）
【例7】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键．
连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，
∵直线垂直平分线段，
∴，
∵点D为边的中点，，
∴，
∴周长，
∴周长的最小值为，
∵，点D为边的中点，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴周长的最小值为，
故选：B．
【变式7-1】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【答案】B
【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可．
【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键．
【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值．
【详解】解：连接，
垂直平分，
，
，
，
，
故周长的最小值是，
故选：C．
【变式7-3】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．

【答案】
【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案．
【详解】解：过E作，交于，
，，
，
，
，
是边上的中线，是等边三角形，
，
，
，
，
和关于对称，
连接交于，连接，
则此时的值最小，
∵是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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