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期末复习-选择填空解答题压轴训练
一、单选题
1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
2．如图，在四边形中，，连接，平分，点为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点，交于点，且．则与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列各式：
；
；
；
根据规律计算：的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503
落在“心形线”内部的频率
根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
6．如图，已知：， ，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
13．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经两个平面镜反射后与其反射光线平行，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　）
A． B． C． D．
15．如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．下图所示，在下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
17．“杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如下所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式：
请你猜想展开式的第三项的系数是 ．
18．已知，则 ．
19．如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 ．
20．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号）
21．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则 ．
22．如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中结论正确的是 （填序号）．
23．已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12．
（1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到 ；
（2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 ．
24．如图，在中，，，分别是上任意一点，若，的面积为，则的最小值是 ．
25．如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，长方形的面积是12．分别以为边在正方形外部作正方形①和正方形②，则正方形①和正方形②面积的和为 ．
26．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ．
27．已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等．
三、解答题
28．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)将变形为的形式________，则的最小值为______；
(2)如果，则；如果，则；如果，则．
已知，，请比较A与B的大小，并说明理由；
(3)已知，求的值．
29．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
30．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
31．阅读材料并解决问题：
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值．
解：
．
无论x取何值，总是非负数，
即，所以．
所以当时，有最小值，最小值为5．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由．
32．【问题初探】
（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：；
【类比探究】
（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系；
【学以致用】
（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数．
33．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
(1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(2)若，，运用你所得到的公式，试求的值；
(3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度．
34．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：
，
．
(1)根据以上变形填空：
已知，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和．
35．【探索】
（1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______．
【应用】
（2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．
【拓展】
（3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系．
36．已知直线 ，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C．
(1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由；
(2)若，平分，交直线于点D．
①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
37．如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示．
(1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______；
(2)根据（1）中的结论，若，，求；
(3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积．
38．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式：______．
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
①若，，求的值；
②若三个实数x，y，z满足，，求的值．
39．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题：
如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为．
【问题解决】
（1）下列结论错误的是（ ）
A．　B．　C．　D．
（2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数；
【探索发现】
（3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系．
40．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，直线，求证：
（1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内．
解：过点作直线，
①_______，
（已知），，
②_______，
③_______，
，
．
（2）如图2，直线，若，，则______．
【方法运用】
（3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由．
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
41．【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【结论探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________．
（2）若，求的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
42．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②，请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为　　　；
(2)若m，n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)若，求的值．
43．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
44．【问题情境】（1）如图1，，，，求度数．
【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系．
【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数．
45．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．
(1)上述操作能验证的等式是 ．
A． B． C．
(2)已知，，则 ．
(3)应用所得的公式计算：
(4)应用所得的公式计算：
46．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ．
(2)若，则 ．
(3)若，求的值．
(4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积．
47．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为；所以；所以；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则 ；
【类题探究】
（2）若m满足．求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
48．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究：
(1)探究反射规律，如图3
①若，则___________（用含的代数式表示）．
②若光线，判断与的位置关系，并说明理由．
(2)模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数．
49．综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考：
（）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______．
． ． ． ．
（）求中线长的取值范围．
【解决问题】
（）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长．
50．如图1，已知点是外一点，连接，．
(1)已知，求的度数．
(2)如图2，已知，试说明：．
(3)如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求．
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一、单选题
1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片的张数为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则以及数形结合思想是解题的关键．
先根据多项式乘多项式的法则计算，再求出A类、B类C类卡片的面积，即可得出C类卡片的张数．
【详解】解：
，
∵A类卡片的面积是，B类卡片的面积是，C类卡片的面积是，
∴拼拼一个长为，宽为的大长方形需要C类卡片5张．
故本题选：B．
2．如图，在四边形中，，连接，平分，点为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点，交于点，且．则与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，结合角平分线平分角，得到，根据平角的定义结合垂直和角平分线，推出，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，的平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
故选C．
3．观察下列各式：
；
；
；
根据规律计算：的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解．
【详解】解：由；
；
；
…
观察发现：，
当，时，得
，
．
故选：A．
4．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 1503
落在“心形线”内部的频率
根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近，
∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为，
故选：B．
5．如图，平分平分，点、、在一条直线上，点、、A、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据角的和差计算即可判断④．
【详解】解：∵平分，平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，①正确；
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，②正确；
∴，
∵，
∴，③错误；
综上所述：正确的结论有①②．
故选：B．
6．如图，已知：， ，平分，，有下列结论：①；②；③；④．结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
①∵，，
∴，
故①的说法正确；
②∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故②的说法正确；
③由①可得，
∴，
∴，即，
又，
∴，
即，
将代入，
化简可得：，
故③的说法不正确；
④∵，，
∴，
∵，
∴，
故④的说法不正确；
正确的个数共有2个，
故选：B．
7．已知：无论取何值时，都成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键．
先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
，，
．
故选：B．
8．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可得展开式中所有项的系数和是，据此解答即可求解，掌握数字的变化规律是解题的关键．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
,
∴展开式中所有项的系数和是，
∴展开式中所有项的系数和是，
故选：．
9．如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，
，
．
故选：A．
10．把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴．
故选：B
11．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
，，
，
，
，
，
∴；
故选：C．
12．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
利用折线统计图可得出试验的频率在0.17左右，即该事件的概率约为0.17，计算出选项事件的概率即可得出答案．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故此选项符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花的概率为，故此选项不符合题意；
C、不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球的概率为，故此选项不符合题意；
D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”的概率为，故此选项不符合题意；
故选：A．
13．如图，两个平面镜平行放置，入射光线经两个平面镜反射后与其反射光线平行，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数．根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵两个平面镜平行放置，经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故选：D．
14．如图，把一块含角的直角三角板放置于两条平行线间，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
利用平行线的性质计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
故选：C．
15．如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】该题考查了平行线的性质和判定，过点作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
故选：A．
16．下图所示，在下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握几个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法逐项判定即可．
【详解】解：A、，由内错角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
B、，由同旁内角互补两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
C、是一对邻补角，不是同旁内角互补，不能判定，故选项不正确，符合题意；
D、，由同位角相等两直线平行，得，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
17．“杨辉三角”，又称“贾宪三角”，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如下所示的三角形解释二项和的乘方规律，观察下列各式及其展开式：
请你猜想展开式的第三项的系数是 ．
【答案】36
【分析】本题考查多项式乘法中的规律探究，观察可知，的第三项的系数为1，的第三项的系数为，的第三项的系数为，进而得出规律，进行求解即可．
【详解】解：的第三项的系数为1，
的第三项的系数为，
的第三项的系数为，
，
∴的第三项的系数为：，
∴展开式的第三项的系数是．
18．已知，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了完全平方公式及其变形，设，则，，于是原式可变形为关于的等式，求出即为所求的式子的值．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：11．
19．如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 ．
【答案】/144度
【分析】本题考查平行线的性质、补角的定义，角平分线的定义，根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的定义推出，再根据补角的定义得到，即可求得的度数．
【详解】解：如图，延长交于G，
∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∵，与互补，
∴，
设，则，，
∴，
解得，，
即，
故答案为：．
20．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④．
【详解】解：在和中，
，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴垂直平分，
即，故②③正确，符合题意；
，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①②③．
故答案为：3．
21．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，为法线，如图：
∵，
∴，
∵为法线，
∴，
∵为法线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
22．如图，，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中结论正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵
，
∴为定值，故④正确．
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：①②④．
23．已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12．
（1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到 ；
（2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 ．
【答案】 1 29
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键．
（1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积；
（2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；．
【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：，
为正方形边长，，
，
，
故答案为：；
（2）图乙中阴影部分面积可以表示为：，
，
图丙中阴影部分面积为：
，
，，
，
，
，（舍去），
．
故答案为：．
24．如图，在中，，，分别是上任意一点，若，的面积为，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等，连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即得，得到，可知当点共线且时，的值最小，最小值为的长，利用三角形面积求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当点共线且时，的值最小，最小值为的长，如图，
∵的面积为，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
25．如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，长方形的面积是12．分别以为边在正方形外部作正方形①和正方形②，则正方形①和正方形②面积的和为 ．
【答案】33
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，根据题意得到，根据求出即可．
【详解】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，则，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即 正方形①和正方形②面积的和为33，
故答案为：33．
26．如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，
据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
【详解】解：根据题意可知，根据折叠得.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
27．已知：如图，在长方形中，, ．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时．和全等．
【答案】2或9
【分析】本题考查了全等三角形的判定及长方形的特点，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．结合和全等分两种情况进行讨论，①当时，②当时，根据题意得出和求解，即可解题．
【详解】解：①当时，和全等．
四边形为长方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
所以，
②当时，和全等．
与①同理，根据证得：，
在长方形中，， ．
，
，
，
解得．
所以，当t的值为2或9秒时．和全等．
故答案为：2或9．
三、解答题
28．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值．
当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)将变形为的形式________，则的最小值为______；
(2)如果，则；如果，则；如果，则．
已知，，请比较A与B的大小，并说明理由；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、代数式求值、整式的加减、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键；
（1）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，从而可以判断得解；
（2）依据题意得，，又对于任意实数满足，则，进而可以判断得解；
（3）依据题意，由，从而，则，可得，，进而代入计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意得，．
又∵对于任意实数满足，
．
的最小值为．
故答案为：；
（2）解：由题意得，
．
∵对于任意实数满足，
．
．
（3）解：∵，
∴，
∴．
∴，，
∴，，
；
29．规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空： ；
(2)若，，且，求的值．
(3)①若，，，请你尝试证明：；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据新定义的运算进行计算即可；
（2）根据，的定义可得，根据再进行计算即可；
（3）①根据，，进行计算即可；
②由，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵，，且，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴ ．
故答案为：3．
30．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
【答案】（1）①②（2）（3）
【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键：
（1）①根据平行线的性质进行求解即可；②证明，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可；
（2）证明，推出，利用平行线的性质，进行求解即可；
（3）证明，推出，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
31．阅读材料并解决问题：
利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．例如，求的最小值．
解：
．
无论x取何值，总是非负数，
即，所以．
所以当时，有最小值，最小值为5．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空： ；
(2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值；
(3)如图，比较两个长方形的面积，的大小，并说明理由．
【答案】(1)36；6
(2)变形见解析；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
（1）利用配方法即可得；
（2）利用配方法得，根据非负数的性质即可得；
（3）根据题意得，，利用作差法和配方法得，即可得．
【详解】（1）解：，
故答案为：，6；
（2）解：
，
无论x取何值时，总是非负数，
即，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：
，
，
∴
，
∵无论a取何值时，总是非负数，
即，
∴，
∴，
∴．
32．【问题初探】
（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：；
【类比探究】
（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系；
【学以致用】
（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数．
【答案】（）证明见解析；（）；（）
【分析】（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；
（）如图，过点作，可得，，即得，进而即可求证；
（）如图，过点作，过点作，可得，，即得，即得到，又由平行公理的推论得，即可得，进而即可求解；
本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（）证明：如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
33．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；
(1)直接写出图2中阴影部分的正方形的边长______________；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(2)若，，运用你所得到的公式，试求的值；
(3)如图3，点是线段上的一点，以、为边向两侧作正方形，两正方形的面积和，图中阴影部分面积为，求的长度．
【答案】(1)，
(2)49
(3)9
【分析】本题考查完全平方公式及应用，解题的关键是用不同方法表达同一图形面积．
（1）用代数式表示阴影部分正方形的边长即可求周长，再结合图2表示大正方形面积，利用等面积法可得答案；
（2）利用（1）结论，先计算即可得到答案；
（3）设，，根据已知求出即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得，阴影部分的正方形边长为，
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知：；
，，
；
（3）解：设，；
，图中阴影部分面积为，
，，
，
，
，
解得或（舍去），
．
34．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：
，
．
(1)根据以上变形填空：
已知，，则______；
(2)若，，求的值；
(3)如图，正方形、的边长分别为、，若，，求图中阴影部分的面积之和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据求出，即可求解；
（3）根据题意可得：，，，得到，根据，，，求出，进而得到，可求出的值，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
，
，
故答案为：；
（2） ，，
，
；
（3）正方形、的边长分别为、，
，，
，
，
，，
，
，
或（负值舍去），
．
35．【探索】
（1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系：_______；根据（1）的结论，若的值是_______．
【应用】
（2）如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．
【拓展】
（3）利用4张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，求之间的数量关系．
【答案】（1），12
（2）种草区域的面积和为19
（3）的面积为14
（4）
【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可；
（2）设，由题意得，，，根据代入计算即可．
（3）根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答．
【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为，
图②中4个小长方形的面积为，
∴；
∵，，
根据题意得，，
∴，
∴；
故答案为：，
（2）设，，
由题意得，，
∴，即，
∴
，
即种草区域的面积和为19．
（3）∵长方形的面积为，长方形的面积为．
∴，
∴，
∵不论的长为何值时，永远为定值，且，
∴的值与无关，
∴，
即a与b之间的数量关系为．
36．已知直线 ，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C．
(1)如图1，当点P在点A左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由；
(2)若，平分，交直线于点D．
①如图2，若点P在点A左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由；
②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①不变，②与之间的数量关系是：或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
（1）延长到E，由得，进而得，再根据平分得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数；
（2）①延长到E，设，根据角平分线的定义得，，再根据得，进而得，，再根据平分，得，然后根据可得结论；
②（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，根据，得，进而得，，，然后由平分得，则，据此得；（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，设，根据角平分线的性质得，，再根据，得，进而得，，，，然后根据平分得，则，据此可得．综上所述即可得出与之间的数量关系．
【详解】（1）解：延长到E，如图1所示：
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①点P在点A左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下：
延长到E，如图2所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
②与之间的数量关系是：或，理由如下：
（ⅰ）当点P在点A的左侧时，延长到E，如图3所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（ⅱ）当点P在点A的右侧时，延长到E，如图4所示：
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
综上所述：与之间的数量关系是：或．
37．如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示．
(1)观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______；
(2)根据（1）中的结论，若，，求；
(3)如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)2
(3)84
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，可得答案；
（2）将，代入（1）中公式即可；
（3）由正方形的边长为，则，得，设，得，则，代入即可．
【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，
，
故答案为：；
（2）解：∵，
将，代入得：，
，
，
∵，
，
故答案为：2；
（3）解：∵正方形的边长为，
，
，
设，
，
，
∴图中阴影部分的面积为84．
38．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式：______．
(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
①若，，求的值；
②若三个实数x，y，z满足，，求的值．
【答案】(1)
(2)①30；②
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．
（1）通过不同的方法计算图2中几何图形的面积建立等式；
（2）①先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的结论即可求解；
②由，求得，再结合（1）的结论即可求解．
【详解】（1）解：由图知，；
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴．
39．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题：
如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为．
【问题解决】
（1）下列结论错误的是（ ）
A．　B．　C．　D．
（2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数；
【探索发现】
（3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系．
【答案】（1）D
（2），，，
（3），理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键．
（1）根据平行线的性质逐项判断即可；
（2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可；
（3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论．
【详解】解：（1）A、∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
又∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意；
故选：D．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），
理由：过点E作，如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
40．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，直线，求证：
（1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内．
解：过点作直线，
①_______，
（已知），，
②_______，
③_______，
，
．
（2）如图2，直线，若，，则______．
【方法运用】
（3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由．
【联想拓展】
（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
【答案】（1）见解析（2）（3），理由见详解（4）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据平行线的判定与性质求解即可；
（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：过点作直线，
，
（已知），，
，
，
，
．
（2）如图，过点作，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
（3），
理由如下：如图，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图所示，
由（2）知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
由（1）知：．
41．【知识生成】
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．
【结论探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．
（1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，的等式是__________．
（2）若，求的值．
【类比迁移】
（3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）16；（3）22
【分析】本题考查了平方差公式、一元一次方程的应用．
（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，代入字母求出代数式即可；
（2）根据（1）代入数据计算即可；
（3）延长、交于点H，根据题意，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是56，得出方程：，求出，根据，列出代数式，求出阴影部分面积即可．
【详解】解：（1）图4中阴影部分的面积可以表示为：或，
∴，
故答案为：；
（2）若，
则
；
（3）如图：延长、交于点H，
设正方形的边长为x，正方形的边长为，由得：
，
，
，
即，
，
，
即
．
答：图中阴影部分的面积是22．
42．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②，请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为　　　；
(2)若m，n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查完全平方式的应用及几何背景．
（1）由图象中长方形面积大正方形面积小正方形面积求解；
（2）根据求解；
（3）利用完全平方公式求解．
【详解】（1）解：由图象可得：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：，
∵，
∴，
∴．
43．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按照小明的思路，求度数；
问题迁移：
（2）如图2，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键．
（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图所示，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
44．【问题情境】（1）如图1，，，，求度数．
【问题迁移】（2）如图2，，点P在射线上运动，（点P与点O，A，B不重合），，．直接写出，，之间的数量关系．
【拓展应用】（3）如图3，已知两条直线，点P在两平行线之间，且的平分线与的平分线相交于点Q，利用上面的结论，求的度数．
【答案】（1）；（2），，之间的数量关系为：或者或者；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）分点在线段上，点在线段右侧，点在线段左侧三种情况，过点P作，根据（1）的方法，利用平行线的性质解答即可；
（3）过点P作，过点Q作，利用（2）的结论和角平分线的定义解答即可．
【详解】解：（1）过点P作，则：，
，
∴．
∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2），，之间的数量关系为：或者或者．
①当点在线段上时，；理由如下：
如图，过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴；
②当点在线段右侧时，；理由如下：
如图，过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
③当点在线段左侧时，；理由如下：
过点P作，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
（3）过点P作，过点Q作，如图，
由（2）的结论可得：，，
∵的平分线与的平分线相交于点Q，
∴，．
∴
．
45．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形．
(1)上述操作能验证的等式是 ．
A． B． C．
(2)已知，，则 ．
(3)应用所得的公式计算：
(4)应用所得的公式计算：
【答案】(1)B
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）因为图1的面积，图2的面积，得到，即可得到答案；
（2）根据平方差公式得到，继而得到；
（3）利用平方差公式计算即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积，
，
故选：B；
（2）解： ，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：
．
46．如图1是一个长为、宽为的长方形（）．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，直接写出代数式之间的关系： ．
(2)若，则 ．
(3)若，求的值．
(4)如图，在长方形中，，点M和点N分别在和边上，并且，分别以和为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)20
(3)7
(4)17
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用是解题的关键．
（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）根据完全平方公式计算即可；
（4）设，则，，由得，然后利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）由可得，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴；
故答案为：20；
（3）解：∵，
∴
；
（4）解：设，则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，即．
∴图中阴影部分的面积为17．
47．把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：因为；所以；所以；得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
【初步应用】
（1）若，，则 ；
【类题探究】
（2）若m满足．求的值．
【拓展延伸】
（3）如图，点C在线段上，以为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
【答案】（1）3；（2）；（3）．
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）由完全平方公式即可计算；
（2）由完全平方公式即可计算；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，，即可求解
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）设，则，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
解得：，
∴阴影部分的面积．
48．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究：
(1)探究反射规律，如图3
①若，则___________（用含的代数式表示）．
②若光线，判断与的位置关系，并说明理由．
(2)模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数．
【答案】(1)①
②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键．
（1）①根据，即可得出结果；
②先求出，，再根据，可得，即，得出，可求出，即可；
（2）延长交于点，根据，得出，又因为，得出，根据，求出，则，即可由求解．
【详解】（1）解：①，，
，
故答案为：；
②，理由如下：
，，
，
同理，，
，
，
即，
，
，
；
（2）解：延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
49．综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考：
（）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______．
． ． ． ．
（）求中线长的取值范围．
【解决问题】
（）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长．
【答案】（）；（）；（）
【分析】（）根据全等三角形的判定即可求解；
（）由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解；
（）延长至，使，连接，可证，可得，，再证明，得到，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：（）为边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的理由是，
故选：；
（）∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（）延长至，使，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
50．如图1，已知点是外一点，连接，．
(1)已知，求的度数．
(2)如图2，已知，试说明：．
(3)如图3，已知，点在点的右侧，，．平分，平分，，交于点，点在与两条平行线之间，求．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由三角形内角和即可求解；
（2）过点C作，则有；再结合得，从而有，而，由此即可得出结论；
（3）由角平分线的条件得：，；过点E作，则；结合有，则有，由即可求解．
【详解】（1）解：由三角形内角和知：，
∴；
（2）解：如图，过点C作，
则，
即；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
（3）解：∵平分，平分，
∴，；
如图，过点E作，则；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴．
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