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2024-2025学年八年级数学下册5月份月考试卷（第1~5章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．如图，将边长为5的正方形沿的方向平移至正方形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．5 B．25 C．50 D．以上都不对
3．若计算分式的结果为整式，则中的式子可以是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，在中，，，是线段上的动点不含端点、若线段长为正整数，则点的个数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定
8．在中，，，垂直平分，垂足为D，交于点E，延长交延长线于点F，连接、．图中等腰三角形共有（ ）个

A．3 B．4 C．5 D．6
9．在中，①若，则是直角三角形；②若，则是直角三角形；③若，则是直角三角形；④若，则是直角三角形．⑤，则是直角三角形．其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在四边形中，，，，，则（ ）°
A．15 B．18 C．20 D．25
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．分解因式： ．
12．若关于x的分式方程有增根，则的值是 ．
13．已知且，则k的取值范围为 ．
14．如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是 ．
15．如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间 ．
16．如图，是为外一点，，，于点，交于点，，，则 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（1）分解因式：
① ②
（2）解不等式组：
18．（6分）已知，．
(1)当时，比较与0的大小，并说明理由；
(2)设，
①当时，求m的值；
②若m为整数，求正整数y的值．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标，请解答下列问题：
(1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点旋转后得到的，并写出点的坐标．
20．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米．
(1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
21．（8分）如图，已知村庄A，B分别在道路、上．
(1)尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）作图的基础上，连接、，过D作，，垂足分别为点E和点F，求证：．
22．（8分）[阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”（即的关联因式是）．
例如：与，因为，
所以是的“关联分式”．
【解决问题】
（1）______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”是．则．
所以．所以，即的“关联分式”是．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
【拓展延伸】
（3）观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：______．
23．（8分）（2024八年级·陕西西安·阶段练习）综合与实践
(1)如图①，在四边形中，，，连接．若点、分别在边，上，且．
①求证：是等边三角形；
②若，求四边形的面积；
(2)某小区有一块四边形空地，如图②，经测量：，，，，物业决定在此规划花园，以和为大致轮廓种植月季和薰衣草，如图③，为了观赏方便，物业决定过点规划三条路线，分别为、、（宽度忽略不计），其中，，，求三条路线的距离之和．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．若，则，正确，不符合题意；
B．若，则，正确，不符合题意；
C．若，则，正确，不符合题意；
D．若，则当时，，故不正确，符合题意；
故选D．
2．B
【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形，
所以阴影部分的面积．
故选：B．
3．B
【分析】
本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【详解】
解：
运算的结果为整式，
中式子一定含有的单项式，
故只有B项符合．
故选：B
4．C
【分析】
本题考查了利用平方差公式因式分解求代数式的值等知识，先利用平方差公式得到，根据，求出，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
5．C
【分析】先根据关于的不等式的解集为，得出的关系，即可求出答案．
【详解】关于的不等式的解集为，
，
，
故选：C．
6．C
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出的最小值，然后求出的取值范围．首先过作，当与重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：过作，
，
，
，
，
是线段上的动点不含端点、．
，
线段长为正整数，
的可以有三条，长为，，，
点的个数共有个，
故选C．
7．B
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
根据平均单价总钱数两次购买的斤数和求出甲、乙所购饲料的平均单价，然后作差法比较两单价的大小即可．
【详解】∵两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且），
∴甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）；
甲、乙两种饲料的平均单价的差是：
∵m、n是正数，
∴时，也是正数，
∴
∴乙的购货方式更合算．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识点，根据等腰三角形的定义可得是等腰三角形，由垂直平分线的性质可得，是等腰三角形，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质通过证明两角相等可得，是等腰三角形．
【详解】解： ，
是等腰三角形；
垂直平分，
，，
，是等腰三角形；
中，，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
，
，
，
，
是等腰三角形；
综上可知，，，，，是等腰三角形，共5个，
故选C．
9．A
【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①②⑤，根据勾股定理的逆定理即可判断③④．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故①正确。
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角∠C=180°×=75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故②错误。
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故③正确。
∵，
∴，
∴是直角三角形，故④正确。
∵，且，
∴
∴,
∴，
∴是直角三角形，故⑤正确。
即错误个数为：1．
故此题选：A．
10．A
【分析】延长BD到M使得DM=DC，由△ADM≌△ADC，得AM=AC=AB，得△AMB是等边三角形，得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAO即可解决问题.
【详解】如图，延长BD到M使得DM=DC.
∵∠ADB=75°，
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.
∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，
∴∠ADM=∠ADC.
在△ADM和△ADC中，
∵，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM=AC.
∵AC=AB，
∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=60°，
∴△AMB是等边三角形，
∴∠M=∠DCA=60°.
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，
∴∠BAO=∠ODC=30°.
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，
∴∠CBD=15°.
故选：A.
二．填空题
11．/
【分析】
本题考查因式分解．先提公式后，再用平方差公式即可分解因式．
【详解】．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值．
【详解】解：，
方程两边都乘，
得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，，
故答案为：．
13．
【分析】由得：，再代入，再解不等式组即可．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：
14．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，设交于点，连接，根据垂直平分线的性质得出 ，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设交于点，连接，
∵垂直平分，
的周长为：
，
当点与点重合时，的周长最小，
∵，，
∴的周长最小值为：
故答案为：．
15．或或
【分析】分情况讨论：，，画出图形分别求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
如图1，，
∴；
如图2，，
∴，
∴；
如图3，，
过点B作于D，则，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
综上所述，t的值是或或．
故答案为：或或．
16．1
【分析】连接，过点A作于点F，证明，求出，得出，证明为等边三角形，得出，设，则，，得出，证明垂直平分，得出，求出，证明，求出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接，过点A作于点F，如图所示：
∵，，
∴， ，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：1．
三．解答题
17．（1）①
；
②
（2），
解①得：，
解②得：，
∴．
18．（1）解：当时，．
理由：由题意，得：
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
（2）∵，
∴
∵，
∴，
，
解得，
检验：当时，，
∴是方程的解．
∴m的值为1；
②
∵m为整数，y是正整数，
∴或或，
解得或或．
19．（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）解：如图所示，即为所求，．
20．（1）解：为从村庄到河边最近的路．
证明：∵米，米，米，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为从村庄到河边最近的路；
（2）解：设米，
∵，
∴米，
∵米，
∴米，
∵，
∴在中，，
解得，
∴的长为169米．
21．（1）解：如图所示：是的角平分线，是线段的垂直平分线，与交于点D；
（2）证明：如图，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
又∵是的角平分线，，，
∴，
∴
∴
22．解：（1）∵，
，
∴是的“关联分式”．
故答案为：是；
（2）设的关联分式是N，则：
，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．
23．（1）解：①证明：∵，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
②∵，
∴S ABE=S ACF，
∴S四边形AECF= S AEC+ =+ =
如图1，作于G．
在等边三角形中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴S四边形AECF；
（2）解：如图2，延长到M，使，连接，作垂足为N．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴S四边形ABCD．
如图3，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴S四边形ABCD，
即，
∴，
∴三条路线的距离之和为．

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