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2024-2025学年八年级数学下册期末复习题--选择压轴题
【题型1 利用因式分解求值】
1.因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
2.若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3.已知满足，，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．0 D．-8
4.已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
【题型2 因式分解的应用】
1.三位数的平方的末三位数恰好是，这样的三位数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．多于2个
2.已知、是的两边，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
3.设，，，则数按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A． B． C． D．
4.现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．喜欢数学的小明的生日是11月2日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．如：对于多项式，因式分解的结果可以是，若，，则，，，于是可将“031165”作为密码．若小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则下列说法正确的有（ ）个
①按照多项式来分解，则小明的密码可以是913125；
②按照多项式来分解，则小明的密码可以是111903；
③按照多项式来分解，则小明的密码可以是090715；
④若按照多项式（a、b为常数）来分解，小明的密码是111505，则a＝1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型3 分式的运算】
1.已知（a，b，c互不相等）求（ ）
A． B．1 C． D．x无解
2.已知，将分式的分子、分母同时减1，得到分式，新分式的值在原分式的值上（ ）
A．有所增大 B．不变 C．有所减小 D．无法比较
3.已知，则代数式的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
4.设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为( )
A．1959 B．7954 C．82 D．3948
【题型4 由分式方程的解的情况求值】
1.若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
2.若分式方程有增根， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
3.若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B．或0
C．或或0 D．或或
4.若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 分式的实际应用】
1.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
2.一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　）
A．分钟 B．分钟
C．分钟 D．分钟
3.甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（　　）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
4.某班将举行一次知识竞赛活动，班长安排小红购买奖品，下面是小红买回奖品时与班长的对话．小红：我买了甲、乙两种笔记本共本，甲种笔记本的单价比乙种笔记本的少元，我给了老板元，老板给我找回元，其中买甲种笔记本花了元．班长：你肯定说错了！小红：我把自己口袋里的元一起当做找回的钱了．班长：这就对了！请你根据对话信息，计算乙种笔记本买了（ ）
A．本 B．本 C．本 D．本
【题型6 确定组成等腰三角形点的个数】
1.如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线运动，当为等腰三角形时，这个三角形底边的长不可能是（ ）
A． B．24 C． D．13
3.题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
4.如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
【题型7 与等腰三角形有关的最值问题】
1.如图，在中，，，点P是底边上的高上一点，若的最小值为，那么为（　　）

A． B．2 C． D．4
2.如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
3.如图，D，E分别在等边的边，上，且，与交于点F．延长到点P，使，若，，则下列结论错误的是（　　）
A． B．的长度的最小值等于
C．的长度为 D．的面积的最大值是的面积的
4.如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【题型8 由勾股定理求最值】
1.如图，在中，，，D为的中点，在边上存在一点E，连接，，则周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
3.如图，在边长为4的等边中，D 是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接，当最小时，的长度为（ ）．
A． B．2 C． D．3
4.如图，已知线段，，点E为边上动点，则的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．6
【题型9 由勾股定理求面积】
1.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3.如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．12
4.已知中，，，点O是两个底角的角平分线交点，点P在外，，，，的面积分别记为．若，则线段长的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．
【题型10 由勾股定理的逆定理判断三角形形状】
1.若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
2.一个三角形的三边长都是整数，它的周长为，则这个三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能
3.设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
4.已知的三边长分别为a，b，c且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【题型11 与不等式（组）的解集有关的计算】
1.如果关于的不等式组仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数组成的有序实数对最多共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．9个
2.若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
3.如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（　　）
A．3个 B．9个 C．7个 D．5个
4.从这六个数中，随机选取一个数，记为．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【题型12 方程与不等式的综合运用】
1.已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
3.已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4.已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【题型13 由平行四边形的性质求解】
1.如图，点为平行四边形外一点，连接，，，，若的面积为8，的面积为4，的面积为7，则的面积为（ ）．

A．21 B．19 C．17 D．15
2.已知在平行四边形中， ，，点E在上，，将沿翻折到，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
3.□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
4.如图在中，，，点C关于AD的对称点为E，连接交于点，点为的中点，．则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【题型14 与平行四边形有关的动点问题】
1.如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（ ）
A． B． C． D．
2.如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）．
A． B． C．3 D．5
3.如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（　　）

A．4 B． C． D．
4.如图，中，，点分别为上异于端点的四点，满足，分别为上异于端点的两点，连接，点O为线段上一个动点，从点M出发，运动到点N后停止，连接，当图中存在与四边形时，随着点O的移动，两者的面积之和变化趋势为（ ）
A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．一直不变 D．以上都不对
【题型15 数式与图形中的多结论问题】
1.如图，在等边三角形中，点是边上（不含端点）的动点，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点，连接、以下说法：①；②；③；④当点D在上自左向右运动时，四边形的面积先减小后增大，正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2.如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：平分；平分；；．其中正确结论的有（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4.如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，交于点F．则下列说法错误的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤若，则是的高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【题型16 数式与图形中的规律探究】
1.如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，将 向左平移个单位长度，得到 ；将 关于原点中心对称，得到 ；将 向右平移个单位长度，得到 ；将 关于原点中心对称，得到 ；将 向左平移个单位长度，得到 ……若按此规律作图形的变换，则的坐标为( )

A．， B．， C．， D．，
3.如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为（）
A． B． C． D．
4.如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到， ，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
【题型1 利用因式分解求值】
1.C
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．
【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12．
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1．
∴m的最大值为11．
故选C．
2.D
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
3.C
【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．
【详解】解： ， ，
又 ，
，
，，
，
，
，
代入得，=0．
故选：C．
4.D
【分析】由得.由于 ，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值.
【详解】由得
∵m，n均为正整数
或或或
或或或 或
解得或或或或或或或
∴或22或18或16
∴的最大值是36
故选：D
【题型2 因式分解的应用】
1.C
【分析】本题考查分解因式的应用，掌握提取公因式分解是解题的关键．
【详解】由题意知是的倍数，
∵，
∴（1）8整除且整除；（2）125整除且整除1)，
由（1）得，由（2）得，
∴共有两个，
故选C．
2.A
【分析】先分解因式，得出a＝b，直接判断即可．
【详解】解：a2﹣b2＝ac﹣bc，
（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，
即a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
3.A
【分析】运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．
【详解】解：，
，
，
所以．
故选：A．
4.B
【分析】依次把每个式子进行因式分解，然后代入验证即可．
【详解】解：①，
∵，，
∴，，，
∴小明的密码可以是0913125，故①错误；
②，
∵，，
∴，，
∴则小明的密码可以是111903，故②正确；
③原式
，
∵，，
∴，，，
∴小明的密码可以是090715，故③正确；
④，
∵小明的密码是111505，，，
∴则原式，
∴，故④错误；
故选：B．
【题型3 分式的运算】
1.C
【分析】将已知条件变形后可得：，可得并求解即可．
【详解】解：由可得：①
由可得：②
将②代入①可得
整理得：
同理可得：
∴
∵a、b、c互不相等
∴，解得：．
故选C．
2.C
【分析】先把进行化简，再根据进行判断即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，即，，
分式的分子、分母都减去1后所得的分式的值减小了．
故选：C．
3.D
【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值．
【详解】
∵
∴
∴
即原式的值为2030．
故选：D．
4.B
【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可．
【详解】解：设，则，
∴，
再设是数的平方数，
∴，
∴，
∵是某个整数的平方数，，
∴，
∴且a为正整数，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴的值可以为、、、，
∴所有满足条件的n之和为，
故选B．
【题型4 由分式方程的解的情况求值】
1.C
【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故选C．
2.A
【分析】使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2代入化简后的整式方程中即可求出k的值.
【详解】，
去分母得：1+2（x-2）=kx-1，
整理得：2x-2=kx，
∵分式方程有增根，
∴x=2，
将x=2代入2x-2=kx，
2k=2，
k=1，
故选：A.
3.D
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值．
【详解】去分母，得，
整理得，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，方程无解；
综上所述，满足题意的的值为或或，
故选D．
4.D
【分析】首先解出不等式组的解集，然后根据三个整数解求出的取值范围；接着将分式方程解出来，求出的值，结合取值范围取值求解即可．
【详解】解得
∵有且只有3个整数解，
∴，解得；
∵是整数，
∴
∵解为奇数，
∴为奇数，
∴
∵，
∴
∴
故选：D
【题型5 分式的实际应用】
1.C
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
，
，
即，所以选项正确；
，
，所以选项错误．
故选：．
2.C
【分析】根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解
【详解】解：由题意得：分钟．
故选：C
3.C
【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．
【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则
．
解得x＝20．
经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．
∴x=20是所列方程的解．
∴x-5=15．
∴甲的工作效率是，乙的工作效率是，
则丙的工作效率是．
∴一轮的工作量为：．
∴4轮后剩余的工作量为：．
∴还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：．
∴丙还需要工作小时．
故一共需要的时间是：3×4+2+ ＝14 小时．
故选：C．
4.C
【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种笔记本的单价为元，则乙种笔记本的单价为元，根据题意列出方程，求解检验即可，解题的关键读懂题意列出分式方程．
【详解】设甲种笔记本的单价为元，则乙种笔记本的单价为元，
由题意得：，整理得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
则甲种笔记本买了本，
∴乙种笔记本买了本，
故选：．
【题型6 确定组成等腰三角形点的个数】
1.C
【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，
∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；
当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；
当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．
∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．
故选C．
2.A
【分析】按照谁为等腰三角形的顶点分三种情况讨论分别求解即可．
【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论：
①为等腰三角形的顶点时，有，
相当于以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图1所示，
此时的底边；
②为等腰三角形顶点时，有，
相当于以点为圆心，为半径画圆，点在的延长线上，如图2所示，
此时的底边为，
在中，；
③为等腰三角形顶点时，有，如图3所示，
此时点在线段的垂直平分线上，的底边为，
综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为24或或13，
故选A．
3.B
【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可．
【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；
∴，，满足题意；

当时，存在满足条件的点只有一个；
∴；

当，存在满足条件的点只有个；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；

当时，存在满足条件的有三个点；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；
当，为等腰三角形；

当时，不存在满足条件的点，
∴甲、丙答案合在一起才完整，
故选：B．
4.C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．
【详解】解：如图：
在中，，，
，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有8个．
故选：C．
【题型7 与等腰三角形有关的最值问题】
1.B
【分析】作关于直线的对称线段，根据垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理计算即可．
【详解】如图，作关于直线的对称线段，

∵，，点P是底边上的高上一点，
∴，
∴，
∴，
过点P作于点D，
则，
∴,
过点B作于点E，交于点F，
∵，
∴当P与点F重合，点D与点E重合时，取得最小值，
且最小值为，
故，
∵
∴，
∴，
∴，
故选B．
2.C
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形
∵，
∴的最大值为14，
故选：C．
3.C
【分析】由等边三角形的性质得，，且，可证，由三角形的外角性质可得，可判断A正确；过点B作于点G，则，得到 ，当是中线时，点F在上，，最小，可判断B正确；在上截取，连接交于点H，证明，推出，得到，，，根据，得到，得到，即得；可判断C不正确；当时，点F到的距离最大，此时，得到，可判断D正确．
【详解】A. ．
∵是等边三角形，
∴，，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴A正确；
B. 的长度的最小值等于．
如图1，过点B作于点G，则，
∴，
当是中线时，点F在上，最小，
此时，；
∴B正确；
C. 的长度为．
如图2，在上截取，连接交于点H，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴C不正确；
D. 的面积的最大值是的面积的．
如图1，当时，F在上，点F到的距离最大，
此时，，
∴．
∴D正确．
故选：C．
4.C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故选：C．
【题型8 由勾股定理求最值】
1.A
【分析】由D为的中点可知．要求周长的最小值，就要求的最小值， 过点B作于O，延长到，使，则、B关于对称．连接交于点E，此时的值最小，根据勾股定理求出的值即可求解．
此题考查了线路最短的问题，确定动点E的位置时，使的值最小是关键．
【详解】
过点B作于O，延长到，使，则、B关于对称．
连接交于E，此时的值最小．
连接，
∵在中，，，
．
又，，
，，
．
∵D为的中点，，
，
，
周长的最小值．
故选：A
2.C
【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：

由平移性质得到，
，
作关于的对称点，连接，如图所示：

由对称性得到，
，
由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，
，
，
在长方形中，，，由矩形性质可得，
，
是的中点，
，
与关于的对称，
，
在长方形中，，
在中，，，，由勾股定理得到，
的最小值，
故选：C．
3.C
【分析】连接，证得，通过全等的性质，再利用点到线的距离垂线段最短以及勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：连接
等边边长为4，D 是的中点，，
，，，
在和中，
，
，，
当最小时，，
此时，
在中，
故选：C
4.C
【分析】以为斜边向下作等腰直角三角形，得出，进而将，用三角形的三边关系得出最小值为线段的长，进而即可得到答案．
【详解】如图所示，以为斜边向下作等腰直角三角形，连，

由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最小即取最小值时，E必在线段上，即最小值为线段的长，此时，

∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：C．
【题型9 由勾股定理求面积】
1.B
【分析】
连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解．
【详解】
解：连接，如图所示：

点、、分别是、、的中点，
，，
为等边三角形，也是等边三角形，
，
，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，
在和中，
，
，
同理，可得，
，
，
，
，
，解得，
故选：B．
2.C
【分析】先推导出正三角形的面积公式，设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：，则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：、、，则根据上图有：，，，结合，即可解答．
【详解】正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有，
∴正△XYZ的面积为：，
如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，
设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：，
则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：、、，
则根据上图有：，，，
即有，
∵，
∴，
即，
故选：C．
3.D
【分析】连接，设交于点，交于点，证明 ，进而证明，根据勾股定理得出，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
连接，设交于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
即，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
解得：，，
，
过点作于点，
设
∴
即，
解得：
∴
∴，
故选：D．
4.C
【分析】当点P在的左侧时，根据，可得，过点A作于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，，从而得到，过点P作的平行线，过点O作于点R，交于点T，连接，则，可得点P的运动轨迹是直线，再由，可得，再由点O是两个底角的角平分线交点，平分，可得过点O，继而得到，可证得，可得，然后在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得的最小值为；当点P在的右侧时，同理的最小值为；当点P在直线的下方时，同理的最小值为，即可求解．
【详解】解：当点P在的左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点A作于点D，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴，
∴，
过点P作的平行线，过点O作于点R，交于点T，连接，则，
∵的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线，
∵，
∴，
∵点O是两个底角的角平分线交点，平分，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得：，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为；
当点P在的右侧时，同理的最小值为；
当点P在直线的下方时，同理的最小值为；
∵．
∴的最小值为．
故选：C
【题型10 由勾股定理的逆定理判断三角形形状】
1.D
【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键．
利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到，及值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．
【详解】解：∵
∴
∴，，，
解得：，，，
∵，，
∴
∴是直角三角形．
故选：D．
2.D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x，另外两边之和为，则；根据题意求出的取值范围是解题关键．
【详解】解：设最长边为x，另外两边之和为，则
由三角形的三边关系得：，
∴，即：
∵三角形的三边长都是整数，
∴，即，
∴
∴x可以取4或5，
当时，三边只能是4，4，4，为等边三角形；
当时，三边有两种情况：①3，4，5，为直角三角形，②5，5，2，为等腰三角形．
故选：D
3.A
【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键．
把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】解：
∵，
∴
∵a、b、c是三角形的三边，
∴
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：A．
4.D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．完全平方公式的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用完全平方公式可得，再根据勾股定理逆定理可得的形状为直角三角形．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
的形状为直角三角形，
故选：D．
【题型11 与不等式（组）的解集有关的计算】
1.C
【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案．
【详解】∵解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2，
∴，，
解得：，，
即的整数值是-3，-2，的整数值是6，7，8，
即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，(-2，6)，(-2，7)，(-2，8)．
故选：C．
2.C
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
3.D
【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．
【详解】
∵解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x≤，
∴不等式组的解集为，
∵x的不等式组的整数解仅有7，8，9，
∴6≤＜7，9≤＜10，
解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况.
故选D
4.B
【详解】解得，
∵不等式组无解，
∴a ，
解方程得x=，
∵x=为整数，a ，
∴a= 3或1或 1，
∵a= 1时，原分式方程无解，故将a= 1舍去，
∴所有满足条件的a的值之和是 2，
故选B.
【题型12 方程与不等式的综合运用】
1.A
【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解．
【详解】解：，，
，，
，
、、都为正数，
∴，
，
，
．
故选：A．
2.D
【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，，
由得：，故A选项错误，不符合题意；
由①得：，
将代入②得：，
整理得：，故B选项错误，不符合题意；
为非负实数，
，，故C选项错误，不符合题意；
，
，
，
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
3.B
【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解．
【详解】解：联立方程组，
解得，，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣．
故选：B．
4.D
【分析】通过等式的性质得和可判断A和B正确；由题目条件判断，，可判断C正确；结合B和A推出，，作差计算可判断D错误．
【详解】解：∵，
∴，即，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，即，
∴，故选项B正确，不符合题意；
若，
∵，
∴，即，
∴，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，故选项C正确，不符合题意；
由B知，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由A知，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【题型13 由平行四边形的性质求解】
1.B
【分析】过P作交延长线于点F，过P作交延长线于点E，即为平行四边形边上的高；根据平行四边形的性质可得,，然后根据的面积为8，的面积为7可得四边形的面积为30；过P作交延长线于点G，利用面积关系即可解答．
【详解】解：过P作交延长线于点F，过P作交延长线于点E，即为平行四边形边上的高
∵平行四边形，
∴,
∵的面积为8，的面积为7，
∴,即，
∴四边形的面积为：;
过P作交延长线于点G，
∵的面积为4，四边形的面积为30，
∴,,
∴的面积为．
故选B
2.B
【分析】过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，先证明是等腰直角三角形，可得，设，则，，在中，根据勾股定理可得， ，从而得到，再由折叠的性质可得，，再结合，可得，从而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作交延长线于点G，过点E作于点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵将沿翻折到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3.C
【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值．
【详解】解：如图所示，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点是中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵□的面积为8，的长为整数，
∴，
即：，
∴整数为0或1或3．
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；
∴．
故选：C．
4.B
【分析】
如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于．构建计算即可．
【详解】
解：如图，取中点，连接交于，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
故选：．
【题型14 与平行四边形有关的动点问题】
1.C
【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：连接，，，，
∵正五边形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小，
过点E作于H，交于，
同理可求，
∴，
即当的值最小时，．
故选：C．
2.A
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，最大．
【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H，
∵平行四边形中,，
∴，
∵G是的中点，，
∴
∵点E，F分别为的中点，
∴，
∴最大时，最大，
∴N与B重合时最大，
在中，，则，
∴，，
∴
∴
∴，即长度的最大值为．
故选：A．
3.C
【分析】取的中点，连接，，，作交的延长线于，根据三角形全等的判定与性质可以得到，由三角形三边关系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，，作交的延长线于，

由题意可得：，，
点是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，，，
，
，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
，，，
，
，
，
在中，，，，
，
在中，，
，
的最小值为；
故选C．
4.D
【分析】本题考查平行四边形的性质，割补法求阴影部分的面积．熟练掌握平行四边形的性质，利用割补法表示出阴影部分的面积，是解题的关键．连接，设点到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为，利用面积公式求出，，发现均为定值，和也为定值，利用割补法得到与四边形的面积之和为，即可得出结论．
【详解】解：连接，设点到的距离为，到的距离为，到的距离为，到的距离为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为定值，是平行四边形的高，均为定值，
∴，，均为定值，
∵的边长是定值，
∴也为定值，
∵与四边形的面积之和为，为定值，
∴与四边形的面积之和保持不变，
当点O在HE，MN交点的左侧时， 如图，
，
而为定值，且变小，
故阴影部分面积是变化的，先变小，然后再保持不变，
故选：D．
【题型15 数式与图形中的多结论问题】
1.A
【分析】本题根据等边三角形性质证明，得到，根据折叠的性质得到，在结合题干的条件证明为等边三角形，得到，即可判断①，由①知，，即可判断②，根据对称的性质得到，结合等边三角形性质，得到，利用30度所对直角边等于斜边的一半，即可判断③，根据，得到，利用，即可判断④．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
在与中，
，
，，
线段沿翻折，得到线段，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
，
①正确．
由①知，，
与不全等．
②错误．
线段沿翻折，得到线段，
，，
，
，
，
③正确 ．
，
，
，即四边形的面积为一个定值．
④错误．
综上所述，正确的是①③，
故选：A．
2.D
【分析】根据等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；根据平行线的性质，等角对等边即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；即可得出答案．
【详解】解：证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，正确；
，，
，
平分，正确；
，
，
，
，
，
正确；
，，
点一定在的垂直平分线上，即垂直平分，
，故正确．
故选：D．
3.A
【分析】根据旋转的性质，证明，得到，，可判定①，结合三角形内角和可判断②，过点A作，，垂足分别为M，N，根据全等三角形面积相等，底边相等可得，利用角平分线的判定可判断③，根据勾股定理可得，可判断④．
【详解】解：由旋转可知：，，，
∴，即，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确，
过点A作，，垂足分别为M，N，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，故③正确；
∵，
∴，，
，，
∴，
，
∴，故④正确，
∴正确的有4个，
故选A．
4.A
【分析】当点D为中点时，即可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可求出．再结合三角形外角性质即得出，可判断②；在上截取，连接，易证，从而可得出，进而易证，得出，进而得出，可判断④；在④基础上作于点M，于点N，由角平分线的性质可知，再根据全等三角形的性质结合三角形面积公式即可得出，可判断③；延长至点K，使，连接，易证，得出．再证明，即得出，即是的高，可判断⑤．
【详解】解：当点D为中点时，由题意无法确定是否为中点，故①错误；
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
如图1，在上截取，连接，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
如图1，作于点M，于点N，

∵
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∴，故③正确；
如图2，延长至点K，使，连接，
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即是的高，故⑤正确．
综上可知错误的有1个．
故选A．
【题型16 数式与图形中的规律探究】
1.C
【分析】
本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴负半轴上，纵坐标为0，根据，，……得到横坐标为，据此即可求解．
【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组，
∵，
∴在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵，，……
∴当时，的横坐标为2，
当时，的横坐标为1，
当时，的横坐标为0，
……
当时，横坐标为，
∵，
∴，
则
∴的坐标是．
故选：C
2.B
【分析】根据平移与中心对称的性质得出规律，可得在第四象限，横坐标特征和一致，则 ，，即可求解．
【详解】解：将 向左平移个单位长度，得到 ,，，
∴，在第二象限；
∵将 关于原点中心对称，得到 ；
∴，在第四象限；
∵将 向右平移个单位长度，得到 ，
∴，在第四象限；
∵将 关于原点中心对称，得到 ；
∴，在第二象限
∵得到 ；将 向左平移个单位长度，得到 ，
∴，在第二象限，
……若按此规律作图形的变换，点所在的象限，四次一循环，
∵,
则在第四象限，横坐标特征和一致，则 ，，
故选：B．
3.C
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
面积为的正方形的边长为．
故选：C．
4.A
【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标．
【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点旋转，得到，
∴
，
则
同理可得，
……，
即
故选A

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