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2024-2025学年七年级数学下册期末复习题--解答压轴题
【题型1 相交线中的旋转问题】
1.点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设（），射线，作射线OE平分．
(1)如图1，若，且OD在直线AB的上方，求的度数（要求写出简单的几何推理过程）．
(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．
(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
2.张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒．
(1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)在旋转过程中，当为何值时，．
(3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
3.问题提出
已知一副直角三角尺按如图方式拼接在一起，其中与直线重合，，．
（1）在图中，的度数为______．
问题探究
（2）如图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转，且在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，当平分时，请求出的值．
问题解决
（3）如图，若三角尺绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
4.如图 1，点 O 在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O 以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
（1）图1中与互补的角有 ．
（2）当，求旋转的时间．
【操作二】：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图 3，在三角尺绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．
试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是： ．

【题型2 平行线中的定值问题】
1.如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．
(1)如图1，求的度数（用含的式子表示）；
(2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，．
①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由．
②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
2.已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数．
(3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值．
3.如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且．
(1)求证：；
(2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为．
①若，求的度数；
②当________时，为定值，此时定值为________．
4.如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝　 　度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°旋转360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
【题型3 平行线中探究角度之间的关系】
1.如图1，，为之间任意一点．
(1)若平分平分．求证：；
(2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论；
(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．
2.已知：，点分别在上，点为之间的一点，连接．

(1)如图1，若，求；
(2)如图2，分别为的平分线，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作的垂线交于点，点在上，，的延长线交的延长线于点，若，猜想与的倍数关系并证明．
3.点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．
（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
4.已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．
（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；
（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．
【题型4 完全平方公式在几何中的应用】
1.通过第14章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证与之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）；图3表示：_____________；
(2)【解决问题】①若，，则_______；
②当时，求的值．
(3)【拓展提升】如图4，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为42，求两个正方形的面积和．
2.【阅读理解】
“若x满足，求的值”
解：设，，则，，所以
【解决问题】
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．
(3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

3.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片边长为的正方形，中纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：____________________；方法2：________________________；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系．
_______________________________________________________；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知，则的值是____．
4.阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．
（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．
（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________
（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．
（4）根据图④，写出一个等式：__________．
（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．
类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．
（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．
【题型5 三角形三边关系的应用】
1.已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长．
2.按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．
3.如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长．
4.将长度为（，n是自然数）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，三边的长记为a、b、c，且满足．
(1)就，5，6的情况，分别写出所有满足题的．
(2)有人根据（1）中的情况，猜想到若铅丝的长度为（n为自然数，且）时，的个数一定为，这个猜想正确吗？请你对时的情况进行验证．
【题型6 利用网格求三角形的面积】
1.如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)求出的面积为 ；
(2)用不带刻度的直尺画出的边上的高，垂足为H；
(3)在图中方格中，能使的格点Q（不包括D点）共有 个．
2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点A、B、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段经过点P．
(1)过点P画线段，使得线段满足以下两个条件：① ②；
(2)过点Q画的平行线，与相交于点G；
(3)若格点H使得的面积等于6，则这样的点H共有 个．（画线时必须用小黑点标出重要的格点）
3.如图，在边长为1个单位的正方形网格中．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：

(1)画出边上的中线；
(2)画出边上的高线；
(3)的面积为______；
(4)在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点B）．
4.阅读下列材料：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以格点为顶点的多边形叫格点多边形，若格点多边形至少有一边是曲线，则称其为曲边格点多边形．
（1）求图（1）中格点三角形的面积；
（2）在图（2）中画出一个格点梯形，使它的面积等于9；（只需画出，不必说明）
（3）在图（3）中画出一个曲边格点多边形，使它的面积等于25，说明理由.
【题型7 利用轴对称进行设计】
1.（1）请你沿着图1中的虚线，用两种方法将图1划分为两个全等的图形；
（2）如图2，是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴（所画的三个图形不能全等）
2.下列三个图，均由4个完全相同的小正方形组合而成，分别添加一个相同的正方形，使它们成为不同的轴对称图形．
3.请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）
4.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，每个图中均已将两个小正方形涂色，请你按要求对各图中剩下的空白小正方形进行涂色：
(1)在图1中选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有___种选法；
(2)在图2中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为只有一条对称轴的轴对称图形；
(3)在图3中选择两个空白小正方形涂色，使涂色部分成为有两条对称轴的轴对称图形；
(4)在图4中选择三个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形．
【题型8 新定义问题】
1.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知，则　 　；
(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；
【拓展结论】
(4)已知、满足，求的最小值．
2.定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角．
(1)如图1，已知是的内联角．
① 当时， _____；
② 当直线时，求的度数．
(2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点．
①是的内联角吗？请说明理由；
② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数．
3.我们规定：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这个三角形为等角三角形．
(1)如图 1，∠ABC 的角平分线交 AC 于 D， 交 AB 于 E，
①请在图 1 中依题意补全图形；②△BDE______等角三角形；(填“是”或“不是”)．
(2)如图 2，AF 是∠GAC 的角平分线，．判断△ABC 是不是等角三角形，并说明理由．
(3)如图 3，BM，CM 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线， 使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．
4.我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

(1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【题型9 规律问题】
1.已知最外圈的小正方形个数分别为：，，；
(1)照这样的规律，接下来第4个和第6个图形最外圈的小正方形个数分别是： 、 ；第个图形最外圈的小正方形个数是： ；
(2)写出第个等式：（ ）-（ ）=（ ），并证明其正确性；
(3)利用（2）中的规律计算：．
2.已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由．
（2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果）
（3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
（4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）
3.（1）分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律，在图③中画出其中的阴影部分；
（2）在4×4的正方形网格中，请你用两种不同方法，分别在图①、图②中再将两个空白的小正方形涂黑，使每个图形中的涂黑部分连同整个正方形网格成为轴对称图形.
4.如图：的面积为，分别延长的三条边、、到点、、，使得，，，得到：再分别延长的三条边、、到点、、，使得，，，得到：……．按照此规律作图得到，求的面积．
【题型10 阅读理解类问题】
1.（1）阅读并补全上述推理过程．
如图1，已知点在外一点，连接，．求的度数．
解：过点作，
________，________．（ ）
又．
________．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）如图2所示，已知，、交于点，，在图2的情况下求的度数．
（3）如图3，已知，、交于点，、分别平分、，直线与直线交于点，若，则________．

2.阅读与理解
下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
2024年×月×日 星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示： 如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：．
任务：
(1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______；
A．数形结合思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 D．公理化思想
(2)请你用竖式除法计算：；
(3)若是的一个因式，则 ．
3.古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：

(1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，

∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．
(2)问题解决
如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）

4.【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．
【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
【题型11 利用图象解决分段计费问题】
1.某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元．
(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？
(2)试写出y与x之间的表达式；
(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？
2.为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：
月用水量 水费
不超过5t 每吨2.4元
超过5t 超过的部分按每吨4元收费
(1)该市某户居民5月份用水x t（x＞5），应交水费y元，写出y与x之间的关系式．
(2)如果某户居民某月交了24元水费，你能算出这个月这户居民用了多少吨水吗？
3.“十一”黄金周期间，欢欢一家随旅游团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：人以内（含 人），每人元；超过人的，超过的部分每人元．
（）写出应收门票费（元）与游览人数（人）（其中）之间的关系式．
（）利用（）中的关系式计算：若欢欢一家所在的旅游团共人，那么该旅游团购门票共花了多少钱？
4.我市通过“互联网+”“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．
(1)若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费　 　元；若李先生也在该停车场停车，并支付了11元停车费，则该停车场是按　 　小时（填整数）计时收费．
(2)当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的关系式．
参考答案
【题型1 相交线中的旋转问题】
1.（1）解：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵，即，
∴，
∵OE平分∠BOD，
∴．
（2），
，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∴
∵OE平分∠BOD，
∴．
（3）①当，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
②当，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵，
∴，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
③当，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
④当，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵，
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
综上分析可知，即或即或即或即．
2.（1）解：如图1，∵，．
∴
．
；
（2）如图2，∵当时，，
∴，
解得：（秒）．
∴当秒时，
；
（3）分3种情况：
①如图3，当平分时，．
∴，
解得：（秒）．
②如图4，当平分时，．
∴，即
解得：（秒）．
③如图5，当平分时，．
∴．
解得：（秒）
∴综上所述，当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分．
3.解：（1）∵，，
∴,
故答案为：；
（2）当边平分时，
∵，
∴，
∴旋转角为：，
∴（秒）；
（3）存在，理由是：
在旋转过程中，，
当在左侧时，
∵，
∴，
解得：；
当在右侧时，
∴
综上：的值为秒或秒．
4.（1）解：∵，，
∴，
由题意可知，
∴，
∴图1中与互补的角为和．
故答案为：和；
（2）解：∵将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转t秒，
∴三角尺旋转角度为度，
若，则需顺时针旋转或，
∴或，
解得：或，
答：旋转的时间秒或秒．
【操作二】存在．
∵的旋转速度是旋转速度的3倍，
∴，
设，则，
∵，
∴，
分三种情况讨论，
①当时，，
若，
则，
∴，不符合题意，舍去，
若，
则，
∴，不符合题意，舍去，
②当时，，，
若，
则，
∴，
则，
若，
则，
∴，
则，
③当时，，，
若，
，
∴，
则，
若，
则，
∴，
则，
故答案为：，，，．
【题型2 平行线中的定值问题】
1.（1）解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，当在左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴此时不存在常数k使得为定值，
如图所示，当在右侧时，
同理可得，
∴当，即时，，为定值；
综上所述，存在使得，为定值．
2.（1）解：如图所示，过点作，
，
，
，，
，
，
．
（2）如图所示，过点作，
，，，
平分，平分，
，
，
，，
；
（3）如图所示，将与的交点记作，

平分，且，
，，
平分，
，
设，
，
由（1）同理可得，，
，
，
在中，，
∴，即为定值．
3.（1）证明：如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
由（1）可得：
，，，
∴，
∴，，
①∵，
∴，
∴，，
∴；
②，定值为，理由如下：
当时，，
∴当时，为定值，此时定值为．
故答案为：；．
4.解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
∵∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
如图1﹣6，当时，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：，
综上所述：当t为或或或或或或时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当在上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当在下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝ ∠APN＝3t．
∴∠CPD＝
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【题型3 平行线中探究角度之间的关系】
1.（1）∵，
∴，
∵平分,平分，
∴，，
∴，即；
（2）如图，分别过,作，，
∵，
∴，
∴， ， ，，
∴，，
同理：，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∵，
∴，
（3），理由：
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
2.（1）证明：如图1，过作，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图2，
，
分别为的角平分线，
∴，
,
同理可得：，
由（1）得：，，
；
（3）解：猜想：，
理由如下：
如图3，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
3.解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．
∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，
∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴m=2x+2y，
∴x+y=m，
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，
∴∠BFD===．
4.解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【题型4 完全平方公式在几何中的应用】
1.（1）解：如图3所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
另一方面：大正方形是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，
，
故答案为：．
（2）解：①，
，
，，
，
，
故答案为：12；
②设，，
，，
，
，
由（1）可知：，
，
；
（3）解：设，，
，
，
图中阴影部分面积为24，
，
四边形和均为正方形，
，
，
，
．
2.（1）解：设，，则，，
∴；
（2）解：设，，则，，，，
∴．
（3）解：∵正方形ABCD的边长为x，，，
∴，，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
3.解：（1）图2大正方形的面积=，图2大正方形的面积=
故答案为：，；
（2）由题可得，，之间的等量关系为：故答案为：；
（3）①
②设2020-a=x，a-2019=y，则x+y=1，
∵，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴xy==-2，
即．
4.（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：
（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；
（2）图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，
小正方形的面积为（a﹣b）2，
每个长方形的面积为ab，
，
故答案为：；
（3）利用（2）的结论，
可知，
x＋y＝8，xy＝2，
（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；
（4）根据图④，
大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，
内部9块的面积分别为：
，
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（5）（3a＋b）（a＋3b）＝3a2＋3b2＋10ab，
，
即需要3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张宽、长分别为a、b的长方形纸片，
画图如下：
∴x＋y＋z＝16；
（6）根据图⑥，
大正方体的体积为（a＋b）3，
分割成8个“小块”的体积分别为：
，
（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2
故答案为：（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2．
【题型5 三角形三边关系的应用】
1.证明：在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
与的和小于四边形的周长．
2.（1）解：根据三角形的三边关系得：，即．
∵为偶数，
∴，
∴的周长为；
（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，
∴，解得，
∴
．
3.解：设，则，
边上的中线把的周长分成50和35两部分，，
①当，时，
，
解得：，
，
，
，
，满足条件；
，满足三边关系，
，；
②当，时，
，
解得：，
，
，
，
，
不满足三角形的三边关系，
不合题意，舍去，
综上：，．
4.（1）解：当时，有；
当时，有，；
当时，有，，．
（2）解：这个猜想不正确，
当时，，且，，得，即，9，10，11，
故可得共12组：
，，，，，，
，，，，，．
，
∴这个猜想不正确．
【题型6 利用网格求三角形的面积】
1.（1）解：由网格的特点可得，
故答案为：；
（2）解：如图所示，取格点E、F，连接交于H，即为所求；
（3）如图所示，根据平行线间间距相等，可知，在直线上的格点都符合题意（D除外），
∴一共有6个点符合题意，
故答案为：6．
2.（1）如图，线段即为所作，
（2）如图所示，直线即为所作，
（3）如图，若格点H使得的面积等于6，则这样的点H共有5个，
故答案为：5
3.（1）解：如图1，点即为所求；

（2）解：如图1；点即为所求；
（3）解：由题意知，，
故答案为：8；
（4）解：如图1，共有7个格点，
故答案为：7．
4. (1)格点三角形△ABC的面积等于6；
(2)不唯一，如：面积等于9的格点梯形如图；
（3）如图，分别作半径为2的圆弧AB和BC，则曲边三角形ABC的面积为4；同理，曲边三角形CDE的面积为9；又三角形ACE的面积为12，所以曲边五边形的面积为25.
【详解】正方形网格中，学会求格点多边形和曲边格点多边形面积
【题型7 利用轴对称进行设计】
1.(1)如图：
(2)如图：
2.解：如图所示．

3.解：如图所示：
．
4.（1）解：如图所示，选择一个空白小正方形涂色，使涂色部分成为轴对称图形，共有6种选法；
故答案为：6
（2）如图所示，

（3）如图所示，

（4）如图所示，

【题型8 新定义问题】
1.（1）解：∵，
∴是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵
，
为“完美数”，
∴
∴；
（4）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴当 ，时，的最小值为：．
2.（1）解：①∵是的内联角，
∴，
∵，
∴；
故答案为：80；
②∵是的内联角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①是，理由如下：
∵是的内联角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵是同旁内角，
∴是的内联角；
②∵是的内联角，，
∴，
当直线位于如下图所示位置时：
∴当是的内联角时，则：，
当是的内联角时，，解得：
当直线位于如下图所示位置时：
∵，
∴，
，

若是的关联角，则
，
∵，
∴（舍去）．
若是的关联角，则
，
得，
综上：当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时，．
3.（1）①如图所示：
②∵，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴△BDE是等角三角形；
故答案为：是．
（2）△ABC 是等角三角形，理由如下，
∵，
∴∠GAF=∠ABC，∠FAC=∠ACB，
∵AF平分∠GAC，
∴∠GAF=∠FAC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC 是等角三角形．
（3）如图，过点M作，交AB边于点D，交AC边于点E，
∵，
∴∠DMB=∠MBC，∠EMC=∠MCB，
∵BM，CM 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠DBM=∠MBC，∠ECM=∠MCB，
∴∠DMB=∠DBM， ∠EMC=∠ECM，
∴△DBM和△ECM均为等角三角形．
4.（1）解：材料：由题意得：，，，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
故答案为：；
探索一：；
证明：如图1，延长至点E使，连接，

∵是的“旋补中线”，
∴是的中线，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的“旋补中线”，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）是的“旋补中线”；
证明：如图，作于H，作交延长线于F，

∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中线，
∴是的“旋补中线”．
【题型9 规律问题】
1.（1）解：由题意知，第4个图形最外圈的小正方形个数为，
第6个图形最外圈的小正方形个数为，
∴第个图形最外圈的小正方形个数是，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可知，第个等式为，
证明：左边
，
∴左边=右边，等式正确；
（3）解：∵，，，，
∴
．
2.如图所示，过点P作，
∵
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）如图所示，过点作，过点作，
∵
∴
∵，，
∴
∴，
∴
∴；
（3）由（1）（2）可得，
当和之间有一个点P时，；
当和之间有两个点，时，；
∴当和之间有n个点时，
；
（4）当和之间有一个点P时，如图所示，
同（1）可得，；
和之间有两个点，时，如图所示，
同（2）可得，；
∴若内部有n个点时，
．
3.详解：（1）如图：
（2）
4.如图，连接A1B2， C1A2，B1C2，C2A3，B2C3，A2B3，
∵，
∴==a
∴
∵，
同理，
∴=7
∵，
∴==7a
∴
∵，
同理，
同理可得=72a
∴．
【题型10 阅读理解类问题】
1.解：（1）解：过点作，
，．（两直线平行内错角相等）
又．
．
，，两直线平行内错角相等，
（2）过点作，如图2，

，
，
，，
，
（3）过点作，如图3，
，

，
，
、分别平分、
，
；
故答案为：．
2.（1）解：根据由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想，
故选：B，
（2）解：
故答案为：，
（3）解：
∵余式为，，
∴商式的最后一项为，，解得：，
故答案为：．
3.（1）解：由题意可知，
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：

∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴，
所以，，
那么的周长为，
所以三点共线，
即两点之间，线段最短，那么的周长最小．
4.解：（1）①，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）延长，过点作于，如图所示：
，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：．
【题型11利用图象解决分段计费问题】
1.（1）解：由题意得：（元），
答：小丽家该月应交煤气费76元；
（2）当时，
由题意得：；
当时，
由题意得：，
所以y与x之间的表达式为；
（3）设小丽家4月份所用煤气量为a立方米，
因为（元），而88元元，
所以小丽家4月份所用煤气量超过50立方米，
由（2）得，
解得，
答：小丽家4月份所用煤气量为90立方米．
2.（1）解：由题意得：，
即．
（2）解：因为，
所以该户居民这个月用水量超过了5吨，
由（1）已得：，
当时，，解得，
答：这个月这户居民用了8吨水．
3.(1)当时，y=10(x 20)+20×25=10x+300(其中x是整数)；
(2)当x=54时，y=10x+300=840(元)，
答：购门票共花了840元．
4.（1）解：若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2＝7（元）；
若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），
∴停车场按5小时计时收费的．
故答案为：7；5；
（2）当停车计时x（单位：小时）取整数且x≥1时，此时需缴停车费为y＝3+2（x﹣1）＝2x+1．
答：停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的关系式为y＝2x+1．

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